滕晶(貴州大學理學院,貴州貴陽 550025)

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高階廣義不確定性原理對量子力學中粒子能量及量子化條件的修正

滕晶(貴州大學理學院,貴州貴陽 550025)

【摘 要】廣義不確定性原理已經(jīng)廣泛的運用在物理學中,本文以廣義不確定性原理為基礎,針對如下兩種情況進行修正:第一種情況是一個質(zhì)量為m,自旋為1/2的自由粒子的本征值的修正。第二種情況是研究一個盒子中的粒子,根據(jù)其特有的邊界條件,從而對其波函數(shù)進行求解。在本文中,我們將證明,當影響因子趨向于0,結(jié)論將自然過渡到傳統(tǒng)的狄拉克方程,說明本文的計算結(jié)果具有一定的準確性。

【關鍵詞】量子力學 廣義不確定性原理 粒子

在近代物理學中，一些著名的理論例如:弦理論、圈量子引力理論、黑洞理論等都會自然導致一個結(jié)論——最小長度與最大動量的存在。更多的是，最小長度理論對非對易幾何學也有頗深的影響。在當今的數(shù)學物理當中，若是深入研究到量子層面，我們似乎很難避免與最小長度最大動量的聯(lián)系。因此，研究在廣義不確定性原理之下的量子力學顯得非常的有意義。

而如何將該原理融入到已有經(jīng)典結(jié)論進行研究成為研究者的一個重大難題。在現(xiàn)代的研究中，經(jīng)典的時空觀念已經(jīng)不再適用于量子引力。更為準確的說，當研究者認為長度小于普朗克長度，傳統(tǒng)的連續(xù)性的時空分解的概念已經(jīng)不再適用。盡管最小長度與最大動量的存在，對于一些具體的現(xiàn)象的影響是微乎其微的，但是該原理就像牛頓力學對宏觀世界的影響一樣無時無刻作用于微觀世界中。在量子力學中，原則上可以分別測量某粒子的準確動量和位置，這個結(jié)果可以從海森堡不確定性原理中得出。所以如果想要將最小長度和最大動量理論融入到量子力學中，那么就必須從修正海森堡不確定性原理著手，這便是本文重點闡述的廣義不確定性原理[1-6]。由于量子引力的普遍性，無論是相對論量子力學或者是非相對論量子力學，最小長度與最大動量都影響著哈密頓量[7-8]，這個額外增加的哈密頓量將對體系產(chǎn)生影響?；诖?，作者基于廣義不確定性原理，以一個質(zhì)量為m，自旋為1/2的粒子作為研究對象，探索粒子哈密頓量的變化、波函數(shù)的變化以及能量的修正，從而期望對整個物理過程有一個合理的解釋。

1 廣義不確定性原理

最為經(jīng)典的廣義不確定性原理的表達式是由Ali et al.創(chuàng)立，其表達式如下:

α—廣義不確定性關系的參數(shù)，無量綱

根據(jù)這個經(jīng)典的表達式，我們可以算出最小長度最大動量的表達式[9-10]:

從這個結(jié)論出發(fā)，前人對許多量子力學的問題都進行了修正，并且得出了很多建設性的結(jié)論。然而，該表達式本身卻有著無法克服的困難，主要原因如下:

由于該提議本身出自于微擾，因此，只對小量有較好的模擬性。

盡管最小長度可以被之前理論解釋，但是最大動量的提出與DSR理論中的最大動量并不相同。事實上，該表達式只是給出了測量動量的上界，并不是可觀測的動量的值。

為了克服以上困難，我們采用如下所示的高階表達式[11]:

α—廣義不確定性關系的參數(shù)，無量綱

Mp—是普朗克質(zhì)量，g；

α0—無量綱的廣義不確定原理參數(shù)。

根據(jù)上面廣義不確定性關系的式子，得到式(5):

α—廣義不確定性關系的參數(shù)，無量綱

在坐標表象中，坐標與動量可以分別表示成如下的式子:

2 高階廣義不確定性原理對一個自由粒子的影響分析

這一部分以一個質(zhì)量為m，自旋為1/2的粒子作為研究對象。自旋為1/2的粒子必須用狄拉克方程來表示，具體式子如下所示:

該方程的解為:

下面我們將高階廣義不確定性原理的式子融入到狄拉克方程中。

該式在一維空間中的方程可表達為下式:

在這個方程中，當a趨向于0，方程自然過渡到常規(guī)的狄拉克方程。因此我們假設以下等式為修正的狄拉克方程的解。將這個式子代回到(14)中，我們可以計算得到

從求解當中，當a趨向于0時，結(jié)論自然過渡到傳統(tǒng)的解，這與所預期的是相一致的。

3 高階廣義不確定性原理對一個盒子中的粒子影響分析

與非相對論情況不同的是，一個相對論粒子在一個盒子中，無法利用邊界條件進行計算，這是由于在邊界上會出現(xiàn)一個所謂的克萊因謬論，從而使反射波的強度發(fā)生突變，高于入射波的強度，并且導致負能量粒子的數(shù)量增加。為了解決這個問題，Alberto，F(xiàn)iolhais，Gil等人建立了如下的假設。

m、M表明兩個獨立的常數(shù)，三個空間中的波函數(shù)分別為式

根據(jù)上一部分的結(jié)論已知在區(qū)域1與區(qū)域3有:

對上面幾式分析，如果M足夠的大，那么k就形同虛無。當M趨向于無窮大時，那么第一個和第三個區(qū)域的波函數(shù)將會變?yōu)?。根據(jù)條件，波函數(shù)只存在于盒子內(nèi)，因此在邊界上的波函數(shù)為0，根據(jù)此邊界條件獲得式(24)、(25):利用之前給出的波函數(shù)(19)—(21)與邊界條件，作者計算得到:

如此，在z=0處粒子出現(xiàn)的概率就變?yōu)榱?，這個方法同樣適用于z=L處。因此，在盒子外面粒子出現(xiàn)的概率就變?yōu)榱?。利用等式(16)(17)與(28)，我們得到:

我們發(fā)現(xiàn)，式子的第一部分來自于相對論量子力學的影響，式子的后二部分則來自于廣義不確定性原理。我們發(fā)現(xiàn)，當高階廣義不確定性關系參數(shù)趨向于0時，結(jié)論自然過渡到非相對論的情況。

4 結(jié)語

本文基于高階廣義不確定性原理下，對一個自由粒子與在一個盒子中的粒子進行研究獲得了如下結(jié)論:

(1)基于此原理，作者對狄拉克方程中的動量進行修正。并且給出修正后的能量。從得到的式子發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)a趨向于0時，結(jié)論會過渡到通常的量子力學結(jié)論。

(2)第二部分是以一個盒子中的粒子作為計算，由于粒子處于一個封閉的空間，因此在盒子的邊界上，波函數(shù)必須為0，然后作者將第一部分中的結(jié)論運用到這一部分，通過計算，得出量子化條件。通過對求解出來的式子進行分析發(fā)現(xiàn)，廣義測不準原理對整個體系的影響是比較小的，但是這些微小的影響對現(xiàn)在或以后量子領域的研究具有較為深刻的意義。

參考文獻:

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[10]P.Pedram, Europhys.Lett.89 (2010) 50008.

[11]PouriaPedram,arXiv:1210.5334v[hep-th]19Oct2012.