◎郭子坤 郭柏壽

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)附屬中學(xué)，陜西 楊凌 712100；2.西北農(nóng)林科技大學(xué)，陜西 楊凌 712100)

幾種運(yùn)動軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式
——基于物體所受合外力與其初速度夾角的分析

◎郭子坤1郭柏壽2

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)附屬中學(xué)，陜西 楊凌 712100；2.西北農(nóng)林科技大學(xué)，陜西 楊凌 712100)

采用數(shù)學(xué)分析的方法，求解上述5種運(yùn)動軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式，證明其軌跡的幾何形態(tài)，僅做借鑒，以增強(qiáng)高中階段學(xué)生對物理問題進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演繹的意識.

一、合外力F和初速度v0夾角θ=0

顯然，上面方程組定義的運(yùn)動軌跡為與x軸重合的直線，為勻加速直線運(yùn)動，當(dāng)F=0時(shí)為勻速直線運(yùn)動，此為勻加速直線運(yùn)動的特殊情況.

圖1 v0與F夾角θ=0

二、合外力F和初速度v0夾角θ=π

當(dāng)F和v0矢量夾角θ=π時(shí)，它們位于同一條直線上且方向相反，以其所在的直線作為x軸，起點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系(見圖2).v0在x軸上的分量為vx=v0cosθ=v0cosπ=-v0，v0在y軸的分量為vy=v0sinθ=v0sinπ=0.根據(jù)牛頓第一和第二定律可知，該物體t時(shí)于x軸和y軸上的位移由下面的聯(lián)立方程決定：

上述方程組定義的運(yùn)動軌跡顯然為與x軸重合的直線，該物體先做初速度為v0的勻減速直線運(yùn)動，當(dāng)速度減至0時(shí)，將沿合外力F方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動.

圖2 v0與F夾角為θ=π

三、合外力F和初速度v0夾角

以物體運(yùn)動起點(diǎn)為原點(diǎn)O，v0所在的直線為x軸(規(guī)定沿v0方向?yàn)閤軸正方向)，合外力F所在的直線為y軸(規(guī)定沿F方向?yàn)閥軸的正方向)，見圖3.

由圖3可知，物體在x軸方向所受的力為0，根據(jù)牛頓第一運(yùn)動定律，在x軸方向沒有力來改變該方向的運(yùn)動狀態(tài)，所以物體在x軸的分運(yùn)動為初速度等于v0的勻速直線運(yùn)動，時(shí)刻t時(shí)，在x軸方向的位移為：x=v0t.

①

②

圖3 v0與F夾角為

③

四、合外力F和初速度v0夾角

圖4 F與v0夾角

⑥

五、合外力F和初速度v0夾角<θ<π

同樣，以物體運(yùn)動起點(diǎn)為原點(diǎn)O，F(xiàn)所在直線為y軸，F(xiàn)方向?yàn)閥軸正方向；以垂直于y軸的直線為x軸，將x與v0呈銳角的方向定為x軸正方向，如圖5所示.

圖5 F與v0夾角

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