李克娥,余美晨,孫佳偉

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

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基于Copula模型的滬深股指相關(guān)性比較研究

李克娥,余美晨,孫佳偉

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

[摘要]Copula理論(技術(shù))是一種建立在聯(lián)合分布的基礎(chǔ)上,可以按照不同的要求靈活構(gòu)建出所需數(shù)學(xué)模型的函數(shù)理論。由于能夠更好地刻畫(huà)出隨機(jī)變量間非線性、非對(duì)稱(chēng)、非正態(tài)的分布特征,Copula理論近20年來(lái)被廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域之中。介紹了多種常用Copula函數(shù)以及主要的相關(guān)性度量指標(biāo),利用多種不同的常規(guī)Copula函數(shù)模型,分別對(duì)不同階段滬、深股指日收益率之間的相關(guān)性進(jìn)行了比較研究,并對(duì)不同Copula函數(shù)模型之間的擬合效果做了比較。對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，“牛市”時(shí)2個(gè)市場(chǎng)間的相關(guān)性最弱,該階段t-Copula函數(shù)模型的擬合效果最好。

[關(guān)鍵詞]Copula函數(shù); 秩相關(guān)系數(shù); 尾部相關(guān)系數(shù)

股票市場(chǎng)作為一個(gè)地區(qū)乃至于國(guó)家經(jīng)濟(jì)和金融活動(dòng)的寒暑表,大量投機(jī)者和投資者活躍在股票市場(chǎng)之中,當(dāng)股票市場(chǎng)出現(xiàn)不良現(xiàn)象例如無(wú)貨沽空等,往往會(huì)引發(fā)股災(zāi)等各種危害。中國(guó)有上海股票交易所和深圳股票交易所2個(gè)交易市場(chǎng),保持2個(gè)市場(chǎng)的健康發(fā)展對(duì)國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展至關(guān)重要。根據(jù)股市行情的不同可大致將其劃分為“牛市”、“熊市”、“過(guò)渡期”3個(gè)階段,在以往關(guān)于滬、深股指之間相關(guān)性的研究中,通常只針對(duì)某一時(shí)間段的數(shù)據(jù)進(jìn)行整體分析,容易忽略不同階段之間的特點(diǎn)以及差異性。

Copula函數(shù)自20世紀(jì)90年代后期被Rockinger M等應(yīng)用到金融領(lǐng)域,便立即得到廣泛使用[1]。Copula對(duì)應(yīng)的中文意思是“連接”,Copula函數(shù)就是一種連接函數(shù)[2]。依據(jù)Sklar的研究成果，利用特定的連接函數(shù)和邊際分布函數(shù)能夠分解任一已知多元分布函數(shù),與之相對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)可以被唯一確定,當(dāng)且僅當(dāng)該函數(shù)的邊際分布是連續(xù)函數(shù)的時(shí)候[3]。作為一種新的統(tǒng)計(jì)分析方法,Copula函數(shù)可以幫助更加方便靈活的研究一些金融方面的問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)對(duì)Copula函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用上的研究雖然做了很多,尤其是相關(guān)性以及金融風(fēng)險(xiǎn)分析等領(lǐng)域,不過(guò)在實(shí)證分析方面的研究并不是很多。下面,筆者結(jié)合前人研究工作的方法和結(jié)果,采用多種常用Copula函數(shù)對(duì)不同時(shí)間段的滬、深股指日收益率間的相關(guān)性進(jìn)行了對(duì)比研究。

1常用Copula函數(shù)

1.1正態(tài)Copula函數(shù)

正態(tài)Copula函數(shù)也被稱(chēng)為高斯Copula函數(shù),N元正態(tài)Copula函數(shù)[4，5]的表達(dá)式為:

C(u1,u2,…,uN;ρ)=Φρ[Φ-1(u1),Φ-1(u2),…,Φ-1(uN)]

(1)

其密度函數(shù)的表達(dá)式為:

(2)

式中, ρ表示對(duì)角線元素全為1的N階對(duì)稱(chēng)正定矩陣；|ρ|為正定矩陣ρ的行列式；Φρ表示相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ,并且服從N元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)；Φ-1為Φ(服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù))的反函數(shù)；ξT=[Φ-1(u1),Φ-1(u2),…,Φ-1(uN)]；I為單位矩陣。

1.2 t-Copula函數(shù)

Nelson(1998)在正態(tài)Copula函數(shù)的基礎(chǔ)上,從t分布推導(dǎo)得到多元t-Copula函數(shù)[6]。N元t-Copula函數(shù)的表達(dá)式為:

(3)

其密度函數(shù)的表達(dá)式為:

(4)

1.3阿基米德Copula函數(shù)

在1986年Genest和Mackay[7]才首次提出了阿基米德Copula函數(shù),函數(shù)的具體表達(dá)式為:

(5)

式中,φ(u)表示阿基米德Copula函數(shù)C(u1,u2,…,uN)的生成元,φ(1)=0,對(duì)任意u∈[0,1],都有φ′(u)<0,φ″(u)>0;φ-1(u)表示φ(u)的反函數(shù),是在區(qū)間[0,∞)上單調(diào)連續(xù)并且非增的函數(shù)[5]。

阿基米德 Copula函數(shù)由其生成元唯一確定，表1給出了3種常用單參數(shù)二元阿基米德Copula函數(shù)的表達(dá)式。

表1　3種常用單參數(shù)二元阿基米德Copula函數(shù)列表

1.4經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)

設(shè)(Xi,Yi)(i=1,2,…,n)是來(lái)自總體(X,Y)的樣本,記X,Y的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)分別為Fn(x)和Gn(y),定義樣本的經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)[8，9]如下:

(6)

式中，I[·]為示性函數(shù)。

2Copula函數(shù)與相關(guān)性度量

目前針對(duì)隨機(jī)變量間相關(guān)性的度量方法有很多,通常分為秩相關(guān)系數(shù)法和尾部相關(guān)系數(shù)法,前者一般指的Kendall秩相關(guān)系數(shù)法以及Spearman秩相關(guān)系數(shù)法[10]。Schweizer和Wolff(1981)證明了Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs均可根據(jù)相應(yīng)的Copula函數(shù)給出[11]。

2.1Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ

令(X1,Y1),(X2,Y2)為二維隨機(jī)向量(X,Y)的組觀測(cè)值,若(X1-X2)(Y1-Y2)>0,則稱(chēng)(X1,Y1)和(X2,Y2)是和諧的(concordant)；若(X1-X2)(Y1-Y2)<0,則稱(chēng)他們是不和諧的(discordant)。

定義1設(shè)(X1,Y1),(X2,Y2)是二維隨機(jī)向量(X,Y)的2個(gè)不同觀測(cè)值,P((X1-X2)(Y1-Y2)>0)表示兩者間和諧的概率，P((X1-X2)(Y1-Y2)<0)表示兩者間不和諧的概率,兩者之差就是X與Y的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ,即：

τ=P((X1-X2)(Y1-Y2)>0)-P((X1-X2)(Y1-Y2)<0)

(7)

設(shè)(X1,Y1)為取自總體(X,Y)的樣本,連接函數(shù)為C(u,v),則樣本的Kendall秩相關(guān)系數(shù)：

(8)

Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ度量了變量間的一致性程度。

2.2Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs

定義2 設(shè)(X,Y)與(X0,Y0)相互獨(dú)立,(X,Y)有聯(lián)合分布H(X,Y),對(duì)應(yīng)的邊緣分布為F(X)與G(Y),X0∈X,Y0∈Y且(X0,Y0)～F(X)G(Y),X與Y的Spearman秩相關(guān)系數(shù)定義如下:

ρs=3[P((X-X0)(Y-Y0)>0)-P((X-X0)(Y-Y0)<0)]

(9)

這里X與Y相互獨(dú)立。在對(duì)隨機(jī)變量X和Y進(jìn)行單調(diào)性相同的嚴(yán)格變換時(shí),Spearson秩相關(guān)系數(shù)ρs的數(shù)值不會(huì)改變。

設(shè)(X,Y)的Copula函數(shù)為C(u,v),u=F(X),v=G(Y) ,則Spearson秩相關(guān)系數(shù)ρs又可以表示為：

(10)

Spearson秩相關(guān)系數(shù)ρs度量了變量間變化的協(xié)調(diào)性。

2.3尾部相關(guān)系數(shù)

對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析的時(shí)候,更需要考慮的問(wèn)題是：當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量X增加(或減少)時(shí),另一個(gè)隨機(jī)變量Y是否會(huì)隨之增加(或減少)；如果后者受到前者的影響,影響有多大。這時(shí)就需要研究隨機(jī)變量之間的尾部相關(guān)性[12]。

定義3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布分別為F(x)和G(y),分別定義:

(11)

(12)式中，λup和λlo分別表示X與Y的上尾相關(guān)系數(shù)和下尾相關(guān)系數(shù)。當(dāng)λup和λlo存在，且λup,λlo∈[0,1],若λup(λlo)>0,則稱(chēng)隨機(jī)變量X,Y上尾(或下尾)相關(guān);若λup(λlo)=0,則稱(chēng)隨機(jī)變量X,Y上尾(或下尾)漸近獨(dú)立。

常用二元Copula函數(shù)Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs和尾部相關(guān)系數(shù)λ的解析式見(jiàn)表2。

由表2可知,5種常用Copula函數(shù)模型中,正態(tài)Copula和Frank Copula這2種函數(shù)模型的尾部相關(guān)系數(shù)(上尾λup與下尾λlo)均為0,說(shuō)明這2種模型無(wú)法描述滬深股指之間的尾部相關(guān)性，因此后面研究滬深股指之間尾部相關(guān)性時(shí)只需考慮其他3種函數(shù)模型。其中，Gumbel-Copula函數(shù)對(duì)變量在上尾部的變化比較敏感,而 Clayton-Copula函數(shù)對(duì)變量在下尾部的變化比較敏感。

3實(shí)證分析

從上證指數(shù)與深證成指同時(shí)期日收益率中各取4組數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源于網(wǎng)易股票數(shù)據(jù)),跨度分別為2002年1月至2004年1月(前平穩(wěn)期)、2005年10月至2007年10月(暴漲期,牛市)、2007年11月至2009年11月(暴跌期,熊市)、2011年1月至2013年1月(后平穩(wěn)期)各480個(gè)數(shù)據(jù)。將4組數(shù)據(jù)分別記為前期、牛市、熊市、后期。

表2　5種常用二元Copula函數(shù)的相關(guān)性度量系數(shù)表達(dá)式

ρ和a都是Copula函數(shù)中的參數(shù)。

3.1相關(guān)系數(shù)的估計(jì)及比較分析

借助Matlab軟件,分別計(jì)算出4組數(shù)據(jù)的秩相關(guān)系數(shù)和尾部相關(guān)系數(shù),結(jié)果見(jiàn)表3、表4和表5。

表3　各時(shí)段Kendall秩相關(guān)系數(shù)

表4　各時(shí)段Spearman秩相關(guān)系數(shù)

表5　各時(shí)段尾部相關(guān)系數(shù)

由表3和表4可以看出,相對(duì)于其他時(shí)間段,“牛市”時(shí)滬、深股指之間的秩相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)了大幅度的減小,也就是說(shuō)在“牛市”時(shí),滬、深2個(gè)市場(chǎng)收益率間的一致性下降了,其中一個(gè)市場(chǎng)的變化對(duì)另一個(gè)市場(chǎng)的影響較其他階段要弱。從表5可以發(fā)現(xiàn),在t-Copula函數(shù)模型中,滬深股指之間的尾部相關(guān)性呈現(xiàn)出隨著時(shí)間的推移而逐步增強(qiáng)的趨勢(shì),其中,從“熊市”到后期的增長(zhǎng)幅度要遠(yuǎn)大于之前的增長(zhǎng)幅度,這說(shuō)明金融危機(jī)之后,在國(guó)外經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不容樂(lè)觀的情況下,國(guó)內(nèi)上市公司之間的聯(lián)系更加緊密,企業(yè)家們將更多的目光關(guān)注到國(guó)內(nèi)的市場(chǎng)之中。而Gumbel-Copula與Clayton-Copula這2種函數(shù)模型,則分別細(xì)致地刻劃了滬深股指之間的上尾相關(guān)性和下尾相關(guān)性,與t-Copula函數(shù)模型不同的是,滬深股指之間的上尾或下尾相關(guān)性并沒(méi)有呈現(xiàn)出明顯的隨時(shí)間推移而增強(qiáng)的趨勢(shì),不過(guò)“熊市”時(shí)的上尾(下尾)相關(guān)性均強(qiáng)于“牛市”時(shí),進(jìn)一步證實(shí)了“牛市”時(shí)市場(chǎng)間的聯(lián)系更弱。

再分別將各Copula函數(shù)求出的秩相關(guān)系數(shù)與原始數(shù)據(jù)的秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比(越接近原始數(shù)據(jù)的函數(shù)說(shuō)明其反映的效果越好),對(duì)比折線圖分別見(jiàn)圖1、圖2、圖3、圖4。

由于不同函數(shù)的尾部有對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)和不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)2種情況,因此將正態(tài)Copula函數(shù)、t-Copula函數(shù)和Frank-Copula函數(shù)(尾部對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu))與Gumbel-Copula函數(shù)和Clayton-Copula函數(shù)(尾部不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu))分開(kāi)考慮。從圖1、圖2、圖3、圖4中不難看出,就秩相關(guān)性而言,盡管在各時(shí)間段5種常用Copula函數(shù)模型的反映效果有些波動(dòng),但整體來(lái)說(shuō)正態(tài)Copula函數(shù)的效果要優(yōu)于Frank-Copula函數(shù),后者又好于t-Copula函數(shù); Clayton-Copula函數(shù)的效果則明顯差于Gumbel-Copula函數(shù)。

圖1　對(duì)稱(chēng)尾部的Copula函數(shù)τ值折線圖　　　　圖2　非對(duì)稱(chēng)尾部的Copula函數(shù)τ值折線圖

圖3　對(duì)稱(chēng)尾部的Copula函數(shù)ρs值折線圖 　　　　圖4　非對(duì)稱(chēng)尾部的Copula函數(shù)ρs值折線圖

3.2模型評(píng)價(jià)

分別求出各Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的平方歐式距離：

(13)

求出的d2值越小,表示擬合原始數(shù)據(jù)的情況越好,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖5和圖6。

由圖5和圖6不難看出,在平方歐式距離標(biāo)準(zhǔn)下,二元t-Copula模型與正態(tài)Copula模型擬合滬、深兩市日收益率觀測(cè)數(shù)據(jù)的效果明顯優(yōu)于Frank-Copula模型;Gumbel-Copula模型則優(yōu)于Clayton-Copula模型。

圖5　對(duì)稱(chēng)尾部的Copula函數(shù)平方距離計(jì)算結(jié)果折線圖　圖6　非對(duì)稱(chēng)尾部的Copula函數(shù)平方距離計(jì)算結(jié)果折線圖

4結(jié)語(yǔ)

用多種常用Copula函數(shù)模型分別對(duì)“前期(過(guò)渡期)”、“牛市”、“熊市”、“后期(過(guò)渡期)”4個(gè)不同時(shí)間段的滬、深指數(shù)日收益率間的相關(guān)性進(jìn)行了實(shí)證研究。通過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn),5種常用Copula函數(shù)模型的擬合效果在熊市階段均優(yōu)于牛市階段,這說(shuō)明牛市時(shí)更容易出現(xiàn)極端事件,也就是說(shuō),在市場(chǎng)行情不好的時(shí)候人們會(huì)更加理性,而在行情走好時(shí)更容易選擇盲目冒險(xiǎn)。當(dāng)市場(chǎng)行情波動(dòng)較大(牛市或熊市)時(shí),正態(tài)Copula函數(shù)模型的效果要好于t-Copula函數(shù)模型。從相關(guān)性的角度來(lái)說(shuō),“牛市”時(shí)市場(chǎng)間的相關(guān)性更弱,這時(shí)t-Copula函數(shù)模型的擬合效果最好。此外,滬、深股指之間的尾部相關(guān)性有隨時(shí)間增強(qiáng)的趨勢(shì)。Gumbel-Copula模型的擬合效果優(yōu)于Clayton-Copula模型,說(shuō)明滬、深股指之間的上尾相關(guān)性要強(qiáng)于下尾相關(guān)性。不過(guò)要想表現(xiàn)出滬、深指數(shù)之間復(fù)雜的相關(guān)性,僅僅依靠某一函數(shù)模型是不可能的，往后會(huì)在常用Copula函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造出更加靈活有效的混合Copula函數(shù)。

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[編輯]張濤

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1673-1409(2016)13-0001-06

[中圖分類(lèi)號(hào)]O211

[作者簡(jiǎn)介]李克娥(1975-)，女，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事于應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:756843019@qq.com。

[基金項(xiàng)目]湖北省教育廳青年人才項(xiàng)目(20141306)；長(zhǎng)江大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科科學(xué)研究發(fā)展基金項(xiàng)目(2013cjy03);湖北省高等學(xué)校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目(20140920)。

[收稿日期]2016-01-19

[引著格式]李克娥,余美晨,孫佳偉.基于Copula模型的滬深股指相關(guān)性比較研究[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(13)：1～6.