武美芳，韋　沛，楊旭海

(1. 中國科學(xué)院國家授時中心，陜西 西安 710600； 2. 中國科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時技術(shù)重點實驗室，陜西 西安 710600； 3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

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機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差確定方法

武美芳1,2,3，韋沛1,2,3，楊旭海1,2

(1. 中國科學(xué)院國家授時中心，陜西 西安 710600； 2. 中國科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時技術(shù)重點實驗室，陜西 西安 710600； 3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

Method of Determination of GEO Satellite Precise Clock Bias during Maneuvering

WU Meifang，WEI Pei，YANG XuHai

摘要：分析了多種精密衛(wèi)星鐘差的插值方法，構(gòu)建了GEO衛(wèi)星機(jī)動模型，并結(jié)合插值方法，確定機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差，并將結(jié)果與iGMAS最終產(chǎn)品進(jìn)行了比較和分析。結(jié)果表明，三次樣條插值是用于確定機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差的最優(yōu)方法,其結(jié)果精度可達(dá)0.01～0.38 ns。

關(guān)鍵詞：GEO衛(wèi)星；機(jī)動；精密衛(wèi)星鐘差；插值；衛(wèi)星鐘差確定

GNSS提供全球連續(xù)的定位與授時服務(wù)，目前最主要的應(yīng)用包括導(dǎo)航測繪、國土資源監(jiān)測、氣象學(xué)、地震學(xué)、安全救援等領(lǐng)域。因此，精度并不是需要考慮的唯一參數(shù)，完備性、連續(xù)性、可用性、可靠性等也是值得關(guān)注的。我國自主建設(shè)和運(yùn)行的北斗導(dǎo)航系統(tǒng)(以下簡稱BDS)，《北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)公開服務(wù)性能規(guī)范(1.0版)》也明確規(guī)定了除精度之外的連續(xù)性、可用性的相關(guān)指標(biāo)。

我國的BDS用地球靜止軌道衛(wèi)星(以下簡稱GEO)作為導(dǎo)航星座。但是，GEO導(dǎo)航衛(wèi)星在軌道壽命期內(nèi)，由于信號干擾、軌位限制等問題，必須定期進(jìn)行機(jī)動，這種機(jī)動會產(chǎn)生推力，導(dǎo)致動力學(xué)建模誤差，進(jìn)而影響定軌精度和衛(wèi)星鐘差的確定。因此，在目前的BDS導(dǎo)航文件中，機(jī)動當(dāng)天連續(xù)8 h，衛(wèi)星狀態(tài)為“不可用”，而在目前的精密鐘差產(chǎn)品中，也不包含GEO衛(wèi)星機(jī)動期間的鐘差和軌道數(shù)據(jù)。這種情況一方面直接影響了BDS的可用性和連續(xù)性指標(biāo)，制約了某些領(lǐng)域的應(yīng)用，如安全救援和地震減災(zāi)；另一方面也給利用GEO衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品開展的科學(xué)研究帶來了一定的影響。因此，GEO機(jī)動期間衛(wèi)星鐘差研究及確定就顯得極為重要。

衛(wèi)星機(jī)動期間，只有星歷、衛(wèi)星鐘差不可用，軌道等其他因素是完好的，如果能確定機(jī)動期間的衛(wèi)星鐘差，則衛(wèi)星機(jī)動帶來的影響可大大消除。從本質(zhì)上來講，機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差確定是一個插值問題，即利用機(jī)動前后的已知的精密星鐘差來內(nèi)插得到機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差。

一、鐘差插值方法的分析

機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差確定需要鐘差內(nèi)插，而用于內(nèi)插的數(shù)學(xué)方法很多，如二次多項式插值、三次樣條插值及高次多項式插值(如拉格朗日多項式、切比雪夫多項式)等，從理論上講，這些方法都可以用于精密鐘差的內(nèi)插。

1. 二次多項式插值

衛(wèi)星鐘的鐘差包括鐘差、頻偏、頻漂及鐘的隨機(jī)誤差。衛(wèi)星鐘的這種偏差可用二階多項式的形式加以表示。設(shè)二階多項式的系數(shù)分別為a0、a1、a2，由最小二乘求解模型參數(shù)，衛(wèi)星鐘差為衛(wèi)星鐘時間T與導(dǎo)航系統(tǒng)的時間t之差，其關(guān)系式如下

T-t=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2

(1)

式中，t0為參考?xì)v元；系數(shù)a0、a1、a2分別為t0時刻的鐘差、鐘速及鐘速的變率。因此，二階多項式插值可用于衛(wèi)星鐘差插值。

2. 拉格朗日多項式插值

拉格朗日多項式插值模型也可用于鐘差插值。但是，衛(wèi)星鐘差除了包括鐘差、頻偏、頻漂等產(chǎn)生的誤差外，還包含鐘差的隨機(jī)項，由于衛(wèi)星鐘差的隨機(jī)項的不確定性，導(dǎo)致衛(wèi)星鐘差變化無規(guī)律可循，高次拉格朗日多項式用于鐘差內(nèi)插時的精度并不理想。國內(nèi)的相關(guān)學(xué)者也證明了上述結(jié)論，并指出：當(dāng)拉格朗日多項式的階數(shù)取2時，可以得到最佳的內(nèi)插結(jié)果，此時標(biāo)準(zhǔn)差和最大誤差都最??；當(dāng)階數(shù)大于10時，內(nèi)插精度越來越低，即多項式階數(shù)越高，衛(wèi)星鐘差插值的精度越低，振蕩現(xiàn)象越明顯。因此，如果鐘差的內(nèi)插采用拉格朗日多項式，建議階數(shù)不要超過10，以保證內(nèi)插的精度和穩(wěn)定度。

定義拉格朗日插值函數(shù)如下

(2)

式中

是n次插值基函數(shù)，滿足條件

對于n階插值，即有n+1個已知點，內(nèi)插位于這n+1個點之間的任意位置的函數(shù)值。

3. 三次樣條插值

三次樣條插函數(shù)是分段三次多項式，在每個節(jié)點處有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，設(shè)[a,b]上給出一組節(jié)點a≤x0

1)s(x)∈c2[a,b]。

2)s(x)在每個小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上是三次多項式，則稱s(x)是節(jié)點x0,x1,…,xn上的三次樣條函數(shù)。

3) 若s(x)在節(jié)點上還滿足插值條件s(xi)=f(xi)，(i=0,1,…,n-1)，則稱s(x)為[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)。

二、算例分析

1. 確定試驗方案

本試驗首先構(gòu)造衛(wèi)星機(jī)動期間鐘差試驗數(shù)據(jù)；其次利用插值模型對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行插值以確定GEO衛(wèi)星機(jī)動期間的鐘差，插值模型包括二次多項式、三次樣條插值和拉格朗日多項式插值；最后，將iGMAS中GEO衛(wèi)星精密鐘差作為真值，用于檢驗3種模型的精度并得出結(jié)論。

2. 構(gòu)造試驗數(shù)據(jù)

GEO衛(wèi)星機(jī)動當(dāng)天，其廣播星歷中有連續(xù)8 h的數(shù)據(jù)狀態(tài)顯示為不可用，且沒有事后精密鐘差及軌道數(shù)據(jù)。因此必須利用GEO非機(jī)動時段的精密鐘差數(shù)據(jù)構(gòu)造GEO衛(wèi)星機(jī)動數(shù)據(jù)作為試驗數(shù)據(jù)。

非機(jī)動日的精密鐘差數(shù)據(jù)為iGMAS官方網(wǎng)站上發(fā)布的BDS中2014年7月15日C03號GEO衛(wèi)星的精密鐘差數(shù)據(jù)，其采樣間隔為5 min，一天共有288個歷元，如圖1所示。

圖1　2014年7月13日C03號衛(wèi)星精密鐘差數(shù)據(jù)

由于在衛(wèi)星機(jī)動當(dāng)天，衛(wèi)星的實際機(jī)動時間不會超過2 h，因此相應(yīng)去掉非機(jī)動日精密鐘差數(shù)據(jù)中連續(xù)2 h的數(shù)據(jù)，即圖1中133—156個歷元，生成GEO衛(wèi)星機(jī)動數(shù)據(jù)作為試驗數(shù)據(jù)。如圖2所示，在生成的試驗數(shù)據(jù)中，已知數(shù)據(jù)分為兩部分，即第1—132個歷元和第156—288個歷元，長度264，有鐘差數(shù)據(jù)；未知(待計算)數(shù)據(jù)為第133—156個歷元，長度24，無鐘差數(shù)據(jù)。

圖2　生成的C03號衛(wèi)星機(jī)動數(shù)據(jù)

3. 分析試驗結(jié)果

使用生成的試驗數(shù)據(jù)，結(jié)合拉格朗日多項式、三次樣條和二次多項式3種插值方法，內(nèi)插計算衛(wèi)星機(jī)動期間缺失的鐘差數(shù)據(jù)，并利用iGMAS提供的精密衛(wèi)星鐘差作為真值，計算插值殘差，C03號衛(wèi)星殘差結(jié)果如圖3—圖5所示。

圖3　C03號衛(wèi)星拉格朗日插值計算殘差

圖4　C03號衛(wèi)星三次樣條插值計算殘差

圖5　C03號衛(wèi)星二次多項式計算殘差

由于目前iGMAS公布的BDS精密鐘差的內(nèi)符合精度在0.5 ns左右，因此，內(nèi)插精度應(yīng)該優(yōu)于0.5 ns。為了驗證該結(jié)論，分別計算3種模型插值殘差的均方根誤差和最大誤差，并統(tǒng)計其插值精度，見表1。

表1　內(nèi)插統(tǒng)計結(jié)果　ns

表1表示BDS 2014年7月15日C01—C05號，共5顆GEO衛(wèi)星分別用3種插值模型得到的殘差統(tǒng)計結(jié)果。從結(jié)果可以看出：

1) 二階多項式模型在3種插值模型中，插值精度最差，最大時甚至大于1 ns，故不可用于確定機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差。

2) 三次樣條插值和低階拉格朗日多項式的插值精度均在亞納秒量級，均可滿足實際應(yīng)用需求。

3) 三次樣條插值精度和低階拉格朗日多項式的插值精度相差不大，約在0.01 ns量級。

4) 除C03號衛(wèi)星外，三次樣條插值的精度優(yōu)于低階拉格朗日多項式。

5) 三次樣條插值的穩(wěn)定性較好，其殘差的最大值均小于其他兩種插值模型。

6) 綜上所述，確定機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差，可以使用三次樣條插值和低階拉格朗日多項式插值方法。從優(yōu)到劣為三次樣條插值、低階拉格朗日插值。

三、結(jié)束語

通過算例證明，大多數(shù)情況下，三次樣條插值是3種方法中確定機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差的插值方法中效果最好的插值方法。由于在iGMAS系統(tǒng)中，GEO衛(wèi)星精密鐘差精度在0.5 ns左右，而三次樣條插值精度可達(dá)到0.01～0.38 ns(針對算例數(shù)據(jù))，因此可認(rèn)為三次樣條插值結(jié)果能夠滿足實際應(yīng)用的需求；同時，其插值的穩(wěn)定性也明顯優(yōu)于低階拉格朗日插值和二次多項式插值；并且，三次樣條插值函數(shù)是分段三次多項式，在每個節(jié)點處有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，插值結(jié)果連續(xù)光滑，且插值計算簡便，運(yùn)算效率高。綜上所述，三次樣條插值是確定機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差的理想方法。由此，機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差可以通過三次樣條插值得以確定，BDS的可用性、連續(xù)性指標(biāo)得以提高，并且對利用GEO衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品開展的科學(xué)研究具有一定的意義。

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中圖分類號：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：0494-0911(2016)04-0018-03

作者簡介：武美芳(1985—)，女，工程師，主要從事北斗導(dǎo)航的研究工作。E-mail: wumeifang@ntsc.ac.cn

收稿日期：2015-06-03

引文格式： 武美芳，韋沛，楊旭海. 機(jī)動期間的GEO衛(wèi)星鐘差確定方法[J].測繪通報，2016(4)：18-20.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0113.