程玲

隨機事件的頻率與概率

例1 某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被下屆奧運會指定為乒乓球比賽專用球，目前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進行了抽樣檢測，檢查結(jié)果如下表所示：

（1）計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；

（2）從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少（結(jié)果保留到小數(shù)點后三位）？

解析 （1）依據(jù)公式[f=mn]，計算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.

（2）由（1）知，抽取的球數(shù)[n]不同，計算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數(shù)的增多，頻率在常數(shù)0.950的附近擺動，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率約為0.950.

變式1 某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：

（1）若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

（2）在樣本車輛中，車主是新司機的占[10%]，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占[20%]，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.

解析 （1）設(shè)[A]表示事件“賠付金額為3000”元，[B]表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得：[P（A）=1501000=0.15]，[P（B）=1201000=0.12]. 由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以概率為[P（A）+P（B）=0.27].

（2）設(shè)[C]表示事件“投保車輛新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有100輛，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有24輛，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為0.24，由頻率估計概率得，[P（C）=0.24].

點撥 頻率是個不確定的數(shù)，可以在一定程度上反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小. 但從大量重復(fù)試驗中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某一固定的值，該值就是概率.

隨機事件的關(guān)系

例2 一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標以數(shù)字1，2，3，4，5，6. 將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)事件[A]表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件[B]表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，事件[C]表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，則（ ）

A. [A]與[B]是互斥而非對立事件

B. [A]與[B]是對立事件

C. [B]與[C]是互斥而非對立事件

D. [B]與[C]是對立事件

解析 根據(jù)互斥與對立的定義作答，[A?B=][出現(xiàn)點數(shù)1或3，]事件[A，B]不互斥更不對立. [B?C][=?，][B?C=Ω]（[Ω]為必然事件），故事件[B，C]是對立事件.

答案 D

變式2 對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈. 設(shè)[A={兩次都擊中飛機}，][B={兩次都沒擊中飛機}，][C={恰有一次擊中飛機}，][D={至少有一次擊中飛機}，]其中彼此互斥的事件是 ，互為對立事件的是 .

答案 [A與B，A與C，B與C，B與D B與D]

點撥 對于互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件. 這些可以類比集合進行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗結(jié)果，從而判定所給事件的關(guān)系.

互斥事件、對立事件的概率

例3 經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：

求：（1）至多2人排隊等候的概率是多少？

（2）至少3人排隊等候的概率是多少？

解析 記“無人排隊等候”為事件[A，]“1人排隊等候”為事件[B，]“2人排隊等候”為事件[C，]“3人排隊等候”為事件[D，]“4人排隊等候”為事件[E，]“5人及5人以上排隊等候”為事件[F，]則事件[A，B，C，D，E，F(xiàn)]彼此互斥.

（1）記“至多2人排隊等候”為事件[G，]

則[G=A+B][+C，]

所以[P（G）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）]

[=0.1+0.16+0.3=0.56].

（2）法一：記“至多3人排隊等候”為事件[H，]

則[H=D+E+F，]

所以[P（H）=P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.44.]

法二：記“至多3人排隊等候”為事件[H，]則其對立事件是[G，]

所以[P（H）=1-P（G）=0.44].

變式3 某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門. 首次到達此門，系統(tǒng)會隨機為你打開一個通道. 1號通道需要1小時走出迷宮，2，3號則分別需要2，3個小時返回智能門. 再次來到智能門時，系統(tǒng)會隨機打開一個未到過的通道，直至走出迷宮為止.

求：（1）求走出迷宮時恰好用了1小時的概率；

（2）求走出迷宮的時間超過了3小時的概率.

解析 記“選擇1號通道”為事件[A；]

“先選擇2號通道，再選擇1號通道”為事件[B；]

“先選擇2號通道，再選擇3號通道，再選擇1號通道”為事件[C；]

“先選擇3號通道，再選擇1號通道”為事件[D；]

“先選擇3號通道，再選擇2號通道，再選擇1號通道”為事件[E.]

易知，[A，B，C，D，E]互為互斥事件，且[P（A）=13，P（B）][=P（C）=P（D）][=P（E）=16].

（1）[P=P（A）=13.]

（2）法一：[P=P（C+D+E）=P（C）+P（D）+P（E）=12.]

法二：[P=1-P（A+B）=12.]

點撥 （1）解決此類問題，首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或?qū)α⑹录?，再選擇概率公式進行計算. （2）求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：①直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率加法公式計算；②間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式[P（A）=1-P（A）]求解，即用正難則反的數(shù)學(xué)思想，特別是“至多”“至少”型問題，用間接法更為簡便.

概率是反映自然規(guī)律的基本模型，當今社會，概率已經(jīng)成為一個常用詞匯，為人們的決策提供依據(jù)，與我們的生活息息相關(guān). 研究概率還涉及了必然與或然的辯證關(guān)系，是培養(yǎng)大家應(yīng)用意識和思維能力的良好載體. 新課標下的當今教育更注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，學(xué)而時習(xí)之，學(xué)以致用才是學(xué)習(xí)的最終目的.