田祎　樊景博

摘 要：浮點數(shù)是C語言中的一種數(shù)據(jù)類型，但在標準C中并沒有給出其具體的描述，即數(shù)的存儲格式及表示范圍。部分經(jīng)典的C語言程序設計教程中給出了浮點數(shù)的表示范圍，但存在不嚴謹和值得商榷的地方。結合IEEE754標準，就C語言中浮點數(shù)內在存儲格式進行分析并給出結論。

關鍵詞：C語言；浮點數(shù)；表示范圍

中圖分類號：TP313 文獻標識碼：A

Abstract：The float is a data type in C language，but its in standard C and did not give a specific of description：that is the number of storage format and the scope of representation.Part of classically C language programming tutorial gives a range of floating-point represent，but there is not rigorous and need to discussion.Combined IEEE754 standards，provided analyzation and conclusions in C language in internal storage floating-point format.

Keywords：C language；floating-point；scope of representation

1 引言（Introduction）

浮點數(shù)運算是科學計算必須面對的問題，由于計算機內部本身不能精確地處理某些整數(shù)或小數(shù)，因此在運算時可能存在較大的誤差，運算結果將直接影響到系統(tǒng)的可靠性和安全性等。C語言因功能強大、程序設計靈活且支持底層應用，在科學計算、數(shù)據(jù)處理等領域中得到了廣泛應用，但C語言在浮點數(shù)運算方面也存在數(shù)據(jù)表示的不精確性等問題。經(jīng)典C語言并沒有對浮點數(shù)專門說明，國內很多教材雖述及浮點數(shù)，但也只是給出表示范圍，對于浮點數(shù)的解釋尚不夠充分，描述尚不夠嚴謹，因此學生在對浮點數(shù)的學習過程中經(jīng)常存在這樣或那樣理解上的困惑。這里就浮點數(shù)的表示范圍，結合IEEE754做進一步的分析，為以后浮點數(shù)教學和學習給出參考[1]。

2 浮點數(shù)的表示及范圍（The range of floating-point and representation）

總體而言，浮點數(shù)的表示形式一般格式指滿足一般的二進制數(shù)機器碼（包括定點整數(shù)和定點小數(shù)）的規(guī)定規(guī)則；而IEEE754[2]格式則在一般格式上進一步做了一些約定，以便表示數(shù)時比較方便和高效。

（1）一般表示法

其主要有兩種格式，分別如圖1和圖2所示。

一般浮點數(shù)尾數(shù)采用純小數(shù)（隱含位為0）來表示，即尾數(shù)M與定點小數(shù)表示方法相同，由于尾數(shù)的符號位決定整個浮點數(shù)的符號，故有時采用圖2的形式；當尾數(shù)真值為0（不論階碼何值），或階碼的值比能在機器中表示的最小值還小，計算機把該浮點數(shù)看成零值，稱為機器零，即浮點數(shù)表示不了真值絕對值很接近0的數(shù)，只能看成0處理；尾數(shù)通常用原碼或補碼表示，階碼一般用移碼或補碼表示。因此其表示范圍如圖3所示。

3 C語言中浮點數(shù)的表示（C language representation of floating point numbers）

C語言所使用的浮點數(shù)符合IEEE754標準，該標準在1985年審核通過，目的是讓遵守IEEE標準的機器之間運行的程序可以相互直接移植，另外也讓程序員可以輕松寫出有用的、魯棒的浮點數(shù)應用程序。

3.1 IEEE754

IEEE標準從邏輯上用三元組{S，E，M}表示一個數(shù)N[3]，如圖4所示。

IEEE標準754規(guī)定了三種浮點數(shù)格式：單精度、雙精度、擴展精度，分別對應C語言里頭的float、double和long double。不同的編譯系統(tǒng)對long double型的處理方法不同，Turbo c分配16個字節(jié)，而Visual C++6.0則分配8個字節(jié)。

單精度：N共32位，其中S占1位、E占8位、M占23位，如圖5所示。

M雖然是23位或者52位，但它們只是表示小數(shù)點之后的二進制位數(shù)，也就是說，假定 M為“010110011...”，在二進制數(shù)值上其實是“.010110011...”。而事實上，標準規(guī)定小數(shù)點左邊還有一個隱含位[4]，絕大多數(shù)情況下是1，當N對應的n非常小的時候，比如小于2^（-126）（32位單精度浮點數(shù)），于是M對應的m最后結果可能是“m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”。

3.2 楊路明先生教材中對實數(shù)類型的描述

楊路明先生在其主編的《C語言程序設計教程》是這樣描述實數(shù)類型的：實數(shù)類型的數(shù)據(jù)即實型數(shù)據(jù)，在C語言中實型數(shù)據(jù)又被稱為浮點型數(shù)據(jù)[1]。實型數(shù)據(jù)的值域在計算機中表示只是數(shù)學中實數(shù)的一個子集。Turbo C的實型數(shù)據(jù)又分為單精度型和雙精度型兩種，它們所占內存字節(jié)數(shù)及取值范圍如表1所示。

3.3 存在問題

根據(jù)以上描述，單精度數(shù)的取值范圍大約在-1038—1038；雙精度數(shù)的取值范圍大約-10308—10308，這個表述本身是沒有問題的，但為了有利于基礎教學，為學生建立一個正確的概念[5]，認為以上表述不夠精確。因為尾數(shù)隱藏位值可能為1或者0，因此存在最小可以規(guī)格化的數(shù)。如果按標準規(guī)定隱藏位值為1，以上表述的取值范圍就過于籠統(tǒng)，而且從最小可規(guī)格化的數(shù)到0的表示之間，也沒有任何形式的過渡。比如最小規(guī)格化的數(shù)再小一點的數(shù)，便只能是0了，所以這種籠統(tǒng)的表示一方面不利于學生理解；另一方面，不能使學生真正明白為什么不能進行浮點數(shù)判等。

4 結論（Conclusion）

浮點數(shù)的表示范圍與階碼和尾數(shù)的位數(shù)以及采用的浮點數(shù)表示格式有關。IEEE754標準中，單精度數(shù)所能表示的最大正規(guī)格化數(shù)，其階碼和尾數(shù)的值分別為（11111110）b，（111 1111 1111 1111 1111 1111）b，該數(shù)二進制數(shù)值為1.（23個1）×2127，而能表示的最小正規(guī)格化數(shù)，其階碼和尾數(shù)部分的二進制值分別為1和0，該數(shù)二進制數(shù)值為1.（23個0）×2-126。同理可得，雙精度所能表示的最大正規(guī)格化數(shù)和最小正規(guī)格化數(shù)，其二進制數(shù)值分別為1.（51個1）×21023和1.（51個0）×21022。因此，在基礎課程教學中，應將其表示如表2所示。

由表2學習者可清楚看到浮點數(shù)的表示范圍，并可得到兩個問題，一是0如何表示，是否有正負0之分；二是在最小規(guī)格化數(shù)到0之間的數(shù)如何表示。

0的偏移指數(shù)為00…00b，有效數(shù)字段亦為00…00b。0的偏移指數(shù)是保留的，也就是說0的偏移數(shù)不能用來表示正常的實數(shù)。并且，只有0做除數(shù)時，0才有正負之分，否則正0和負0沒有區(qū)別。

當N對應的n非常小的時候，在最小規(guī)格化數(shù)到0之間，稱其為微小數(shù)，比如小于2^（-126）（32位單精度浮點數(shù)），于是M對應的m最后結果是m=0.010110011...，它的有效數(shù)字的最高位為0，這種表示為非規(guī)格化表示，引起精度丟失，但有效擴展了能表示的非常小數(shù)的范圍。

《C程序設計》是理工類專業(yè)學生步入計算機程序設計世界的第一門課程[5]，建立科學嚴謹?shù)挠嬎銠C認識觀尤為重要，而楊路明先生主編的《C語言程序設計教程》是C語言教學的經(jīng)典教材，在諸如以上討論的方面有值得商榷的地方，應該給予必要的論述，促使學生深入理解計算機的內部世界[6]，為學生步入計算機世界打下一個良好的基礎。

參考文獻（References）

[1] 楊路明.C語言程序設計教程[M].北京：北京郵電大學出版社，2008.

[2] 唐朔飛.計算機組成原理（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 朱亞超.基于IEEE754的浮點數(shù)存儲格式分析研究[J].計算與信息技術，2010，8（10）：1207-1280.

[4] IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic.ANSI/IEEE Standard 754-1985.Institute of Electrical and Electronics Engineers，August 1985.

[5] 田祎，樊景博.計算機程序設計語言類課程整合教學探討[J].商洛學院學報，2012，4（26）：28-30.

[6] 田祎.項目教學法在計算機語言實驗教學中的應用[J].商洛學院學報，2010，5（24）：91-93.

作者簡介：

田 祎（1983-），男，碩士，講師.研究領域：計算機應用技術.

樊景博（1966-），男，本科，教授.研究領域：數(shù)據(jù)庫.