朱芳來， 于勝志， 張建成

(同濟大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 201804)

?

基于觀測器的不匹配未知輸入系統(tǒng)的滑?？刂?/p>

朱芳來， 于勝志， 張建成

(同濟大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 201804)

摘要：對具有不匹配時變未知輸入的線性系統(tǒng)，研究了基于觀測器的滑?？刂破髟O(shè)計方法.首先，設(shè)計了一種與控制輸入無關(guān)、能直接抵消未知輸入影響的降維觀測器.通過該觀測器估計系統(tǒng)狀態(tài)，并提出了一種未知輸入代數(shù)重構(gòu)方法，進而利用高增益滑模觀測器給出了未知輸入一階微分的漸近估計方法.最后，提出了一種基于系統(tǒng)狀態(tài)估計、未知輸入重構(gòu)及未知輸入一階微分估計滑?？刂破餍碌脑O(shè)計方法，并通過仿真分析，論證了該方法的可行性和正確性.

關(guān)鍵詞：降維觀測器；滑?？刂破鳎晃粗斎胫貥?gòu)；未知輸入微分估計；高增益觀測器

在控制系統(tǒng)的設(shè)計中，設(shè)計者們往往需要處理一些不確定因素，例如建模的非精確性所導(dǎo)致的部分模型參數(shù)的不確定性、模型參數(shù)擾動，外部未知輸入的影響，執(zhí)行器故障的發(fā)生等.從廣義上來講，這些不確定性都可以看成是系統(tǒng)的輸入，由于它們都是未知的，所以可以統(tǒng)稱之為系統(tǒng)的未知輸入.由于在實際系統(tǒng)中，這些未知的因素普遍存在，所以，在控制系統(tǒng)的設(shè)計中，無論是控制器設(shè)計，還是觀測器設(shè)計，如何處理好未知輸入對設(shè)計的不良影響，成為設(shè)計者們的主要考慮問題之一，而這樣的設(shè)計，通常稱之為魯棒設(shè)計.

滑模控制器由于有著對參數(shù)和外部擾動的不敏感性，使得它成為處理具有不確定性，非線性項及有界外部未知輸入系統(tǒng)最為有效的魯棒控制方法之一[1].滑?？刂圃谔幚砥ヅ湮粗斎敕矫妫梢灾苯拥窒粗斎氲挠绊?，而達到平衡狀態(tài)的漸近收斂穩(wěn)定.而對于絕大多數(shù)的實際系統(tǒng)，未知輸入往往與控制輸入具有不同通道，這樣的未知輸入稱之為不匹配未知輸入.針對不匹配未知輸入抑制的研究，成為魯棒控制的研究熱點之一[2-8].文獻[8]提出了基于高階滑模觀測器的滑?？刂圃O(shè)計方法，其主要優(yōu)點是把時變未知輸入估計引入到控制器，然而其設(shè)計的高階滑模觀測器結(jié)構(gòu)太過復(fù)雜.

對觀測器設(shè)計而言，未知輸入觀測器(UIO)是魯棒觀測器設(shè)計的一類方法，受到了國內(nèi)外學(xué)者們的極大關(guān)注，早期的研究主要是在輸入未知的情況下也能夠估計系統(tǒng)狀態(tài)的觀測器[9]，后來發(fā)展到能對系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入同時估計的觀測器設(shè)計[10].現(xiàn)在應(yīng)用比較廣泛的是高增益觀測器和高階滑模觀測器，它們能夠精確估計系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入[11-12].例如文獻[12]提出了一種利用高增益滑模觀測器來估計系統(tǒng)狀態(tài)和重構(gòu)其未知輸入的方法,并提出了用高階滑模觀測器來估計系統(tǒng)輸出微分信息的方法.

在文獻[8]的提示下，本文針對具有不匹配時變未知輸入的系統(tǒng)，提出了一種新的基于系統(tǒng)狀態(tài)估計、未知輸入重構(gòu)及其一階微分估計的滑?？刂破鞯脑O(shè)計方法.本文創(chuàng)新點在于①提出了一種與控制輸入無關(guān)，且能直接消去未知輸入影響的魯棒降維觀測器設(shè)計方法，為基于觀測器的滑?？刂破髟O(shè)計帶來便利；②使用了一種未知輸入代數(shù)重構(gòu)方法，并基于未知輸入的重構(gòu)，結(jié)合二階高增益滑模觀測器的基礎(chǔ)上，提出了未知輸入一階微分漸近收斂的估計方法；③通過納入狀態(tài)估計，未知輸入重構(gòu)及其未知輸入一階微分估計的信息，提出了一種處理時變不匹配未知輸入的魯棒滑?？刂破髟O(shè)計方法.

1系統(tǒng)描述及背景知識

考慮具有未知輸入的線性時不變系統(tǒng)

y=Cx

(1)

式中：x∈Rn為狀態(tài)向量；y∈Rp(1≤p

假設(shè)1：(A,B)可控的.

假設(shè)2：rank(C[BD])=rank([BD])=m+q.本文針對具有此類屬性的特定系統(tǒng)設(shè)計降維觀測器，并給出了未知輸入重構(gòu)的方法.

注1：對于系統(tǒng)(1)，由于輸入矩陣B和未知輸入矩陣D線性無關(guān)，所以系統(tǒng)(1)稱之為不匹配未知輸入系統(tǒng).對具有不匹配干擾或者未知輸入系統(tǒng)進行魯棒控制設(shè)計，是目前魯棒控制研究的熱點之一.

(2)

(3)

假設(shè)5：rank([A12D11])=rank(A12)，即為了補償式(2)中未知輸入.

本文的主要目的是設(shè)計基于狀態(tài)估計和未知輸入重構(gòu)及未知輸入微分估計的滑?？刂破?，使得一部分狀態(tài)漸近收斂穩(wěn)定，而另一部分狀態(tài)是鄰域收斂穩(wěn)定.為此，設(shè)計了降維觀測器來估計系統(tǒng)的狀態(tài)，并在此基礎(chǔ)上提出了未知輸入重構(gòu)方法，然后利用高增益滑模觀測器給出了未知輸入的一階微分的漸近收斂估計.

2系統(tǒng)狀態(tài)的估計

提出一種降維觀測器設(shè)計方法來估計系統(tǒng)的狀態(tài).

引理1[12]：假設(shè)2和假設(shè)3成立的充分必要條件是：對任意的對稱正定矩陣Q∈Rn×n,如下的矩陣方程

(4)

關(guān)于正定矩陣P∈Rn×n，矩陣H∈R(q+m)×p和L∈Rn×p有解.

(5)

(6)

對系統(tǒng)狀態(tài)作如下變換

(7)

其中ξ1∈Rp,ξ2∈Rn-p.所以,式(5)轉(zhuǎn)化為

(8)

定理1:在假設(shè)2～假設(shè)4的情況下，如下系統(tǒng)

(9)

注2：由式(9)所確定的降維觀測器，具有這樣的特點：一是跟控制輸入無關(guān)，這給基于觀測器的滑模控制器設(shè)計帶來便利，這使得控制器設(shè)計和觀測器設(shè)計具有獨立性.同時，降維觀測器的誤差動態(tài)方程不受未知輸入的影響，這表明降維觀測器對未知輸入具有極強的魯棒性.

3未知輸入的重構(gòu)

系統(tǒng)狀態(tài)方程(1)可以改成

(10)

由假設(shè)2可知，矩陣CE的廣義逆矩陣為(CE)+=[(CE)T(CE)]-1(CE)T.所以可得

由上式，可以得到η的重構(gòu)方法

(11)

如下的二階高增益滑模觀測器，提供了有界光滑信號r的一階微分在有限時間內(nèi)的精確估計[13]

(12)

4基于觀測器的控制器設(shè)計

(13)

基于系統(tǒng)狀態(tài)估計，未知輸入重構(gòu)及未知輸入微分估計，提出滑?？刂破髟O(shè)計如

(14)

定理2:由式(14)定義的滑?？刂破鳎梢允瓜到y(tǒng)的動態(tài)特性在有限時間內(nèi)達到觀測滑模面式(13)上.

證明：對S求導(dǎo)則有

(15)

將式(14)代入式(15)，整理之后有

(16)

另一方面式(2)可以等價地寫為

(17)

將式(16)代入式(17)，整理之后得到

(18)

綜上所述，系統(tǒng)的具體流程框如圖(1)所示.

圖1　系統(tǒng)的流程框圖

5系統(tǒng)仿真

考慮如下的系統(tǒng)：

對于本例，取未知輸入為d=sin(3t).由降維觀測器所給出的系統(tǒng)狀態(tài)估計見圖2，系統(tǒng)未知輸入的重構(gòu)及未知輸入的一階微分估計效果如圖3所示.圖4給出了滑模控制信號曲線.狀態(tài)控制效果如圖5～圖6所示，由圖5可以看出控制器能將系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2控制漸近收斂到0，而圖6表明閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)x3有界.

圖2　系統(tǒng)狀態(tài)及其估計值

圖3　未知輸入d重構(gòu)及一階微分估計

圖4　控制器u的輸出

圖5　引入控制器后的系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2及其估計值

Fig.5The system statex1,x2and their estimations after the introduction of the controller

圖6　引入控制器后的系統(tǒng)狀態(tài)x3及其估計值

Fig.6The system statex3and its estimation after the introduction of the controller

6結(jié)論

針對具有不匹配時變未知輸入的系統(tǒng)，研究了基于觀測器的滑模控制器設(shè)計方法.所提出的降維觀測器跟控制輸入信號無關(guān)，使得控制器設(shè)計和觀測器設(shè)計能獨立實施.控制器設(shè)計，通過引入狀態(tài)的估計，未知輸入重構(gòu)及其未知輸入一階微分的估計，提出了能處理時變不匹配未知輸入的滑?？刂破髟O(shè)計方法.為此，提出了基于未知輸入重構(gòu)去漸近收斂估計未知輸入一階微分的思想和方法.如何將結(jié)論上升到非線性系統(tǒng)，是值得進一步考慮的研究內(nèi)容.

參考文獻:

[1]Man Z H, Paplinski A P, Wu H R. A robust MIMO terminal sliding mode control scheme for rigid robotic manipulators[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1994,39(12): 2464.

[2]Kim K S,Park Y,Oh S H. Designing robust sliding hyperplanes for parametric uncertain systems: a Riccati approach[J].Automatica,2000,36(7):1041.

[3]Silva J M A, Edwards C, Spurgeon S K. Sliding-mode output-feedback control based on LMIs for plants with mismatched uncertainties[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009,56(9):3675.

[5]Gao Z, Liao X Z. Integral sliding mode control for fractional-order systems with mismatched uncertainties[J]. Nonlinear Dynamics, 2013, 72(1): 27.

[6]Mondal S, Mahanta C. Chattering free adaptive multivariable sliding mode controller for systems with matched and mismatched uncertainty[J]. ISA Transactions, 2013, 52(3): 335.

[7]Yang J, Li S H, Yu X H. Sliding-mode control for systems with mismatched uncertainties via a disturbance observer[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics,2013, 60(1): 160.

[8]de Loza A F, Bejarano F J, Fridman L. Unmatched uncertainties compensation based on high-order sliding mode observation[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control 2013,23:754.

[9]韓冬，朱芳來.一類未知輸入系統(tǒng)的降維觀測器設(shè)計[J].上海交通大學(xué)學(xué)報，2012,46(11): 1779.

HAN Dong,ZHU Fanglai. Reduced-order observer design for system with unknown inputs[J].Journal of Shanghai Jiaotong University, 2012,46(11):1779.

[10]Yang J Q, Zhu F L, Sun X J. State estimation and simultaneous unknown input and measurement noise reconstruction based on associated observers[J]. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 2011,27(10): 846.

[11]de Loza A F, Punta E, Fridman L,etal. Nested backward compensation of unmatched perturbations via HOSM observation[J].Journal of the Franklin Institute—Engineering and Applied Mathematics,2014, 351(5): 2397.

[12]Zhu F L. State estimation and unknown input reconstruction via both reduced-order and high-order sliding mode observers[J]. Process Control, 2012,22(1): 296.

[13]Levant A.High-order sliding modes: differentiation and output feed-back control[J]. International Journal of Control, 2003,76: 924.

[14]Edwards C,Spurgeon S K.Sliding mode control[M].London: Taylor and Francis,1998.

Observer-based Sliding Mode Control for System with Mismatched Unknown Input

ZHU Fanglai, YU Shengzhi, ZHANG Jiancheng

(College of Electronics and Information Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China)

Abstract：An investigation was made into the sliding mode control design method for a class of linear system with unmatched time-varying unknown inputs. A reduced-order observer was developed to be independent of the control inputs and able to overcome the influence of the unknown inputs. Moreover, an algebraic unknown input reconstruction method based on state estimation was developed. Besides, an estimation method of the first-order derivatives of the unknown inputs was proposed by means of a high-gain sliding mode observer. Finally, based on the estimation of the system states, the reconstruction of the unknown input and the first derivative estimation, a novel sliding mode controller was constructed，and a simulation analysis validated the effectiveness of the proposed method.

Key words：reduced-order observer; sliding mode controller; unknown input reconstruction; unknown input differential estimation; high-gain sliding mode observer

文獻標(biāo)志碼：A

中圖分類號：TP15

基金項目：國家自然科學(xué)基金(61074009)

收稿日期：2015—06—02

第一作者： 朱芳來(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，工學(xué)博士，主要從事研究方向為觀測器設(shè)計，滑?？刂频?

E-mail：zhufanglai@#edu.cn