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2016-05-24 09:51:12易先型
新校園·上旬刊 2016年3期
易先型
一、定理描述
定比分角定理1：任意三角形ABC，以一條BC的平行線與AB的延長(zhǎng)線相交的點(diǎn)D、以A為圓心，AC為半徑的圓弧與BC的平行線相交的點(diǎn)E、點(diǎn)A形成三角形ADE。
重復(fù)步驟：以∠FGH=∠ABC的三角形FGH，得到三角形FIJ。如果xBC=GH，xDE=IJ，那么就有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。
定比分角定理2：仍然以定理1的圖形，如果sin∠BAC/sin∠DAE=sin∠GFH/sin∠IFJ，且∠BAC∠DAE∠GFH∠IFJ均為銳角，那么有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。
定理1證明：據(jù)圖1可得，2BC=GH，2DE=IJ，
BC=ACsin∠BAC/sin∠ABC，DE=AEsin∠DAE/sin∠ADE=ACsin∠DAE/sin∠ABC GH=FHsin∠GFH/sin∠FGH=2BC=2ACsinBAC/sinABC ，IJ=FJsin∠IFJ/sin∠FIJ=2DE=2ACsin∠DAE/sinABC，得sin∠GFH=sin∠BAC*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC，sin∠IFJ=sin∠DAE*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC；令∠BAC=x∠DAE，則有∠GFH=x∠IFJ，即∠BAC/∠DAE=∠GFH∠IFJ=x，證畢。
定理2證明：BC/DE=sin∠BAC/sin∠DAE=GH/IJ=sin∠GFH/sin∠IFJ，由定理1可知，如∠BAC、∠DAE、∠GFH、∠IFJ為銳角，則有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ，證畢。
二、三等分角證明
任意角∠A，在兩條邊的延長(zhǎng)線上各取點(diǎn)B、C，使AB=AC，連結(jié)BC。
在BC上取中點(diǎn)D，連結(jié)AD，AD為三角形ABC的角平分線。取與BC等長(zhǎng)的EF、FG做直角邊為EF、FG的等邊直角三角形EFG。在三角形EFG上做以EH、HI為直角邊，且∠HEI=1/3∠FEG=15°的直角三角形EHI，H在EF的延長(zhǎng)線上，EI=EG。取與HI等長(zhǎng)的JK，J在AD的延長(zhǎng)線上，與AJ、AK做直角三角形AJK，AK=AC。在KJ的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)L，使KJ=JL，連結(jié)AL。
運(yùn)用定比分角定理解決尺規(guī)作圖三等分任意角，據(jù)圖得：CD=FG，HI=JK，∠FEG/∠HEI=1/3。
由定比分角定理1可得：∠CAD/∠JAK=1/3
∴∠BAL=∠LAK=∠KAC=∠BAC/3，證畢。
三、二倍立方證明
任意立方體ABCDEF（圖省略），AB=1。取兩倍AB長(zhǎng)度的GI，做GI為斜邊，GH、HI為直角邊的等邊直角三角形GHI。在三角形GHI上做以GJ、JK為直角邊的三角形GJK，且∠JGK=1/3∠HGI=15°，GK=GI。在HI的延長(zhǎng)線上取三倍JK長(zhǎng)度的HL。做以IL為直角邊、長(zhǎng)度為AB的IM為斜邊的直角三角形MIL。分別做以JK、JN為直角邊，NK為斜邊的直角三角形JNK和以HI、HO為直角邊、IO為斜邊的直角三角形HIO，且∠JNK=∠HOI=∠IML。取長(zhǎng)度為IO的QR為直角邊、長(zhǎng)度為8的PR為斜邊做直角三角形PQR，在QR的延長(zhǎng)線上取長(zhǎng)度為ML的線段RS。做以長(zhǎng)度為NK的TU、PT為直角邊、PU為斜邊的三角形PTU，T在PQ的延長(zhǎng)線上，PU=PR。取PU的中點(diǎn)V與PT的中點(diǎn)W，連結(jié)VW。以VW的長(zhǎng)度為依據(jù)，做立方體A'B'C'D'E'F'，作圖過程省略。
運(yùn)用定比分角定理解決尺規(guī)作圖二倍立方，據(jù)圖3得：IL=3JK-HI=IL=3GIsin∠JGK-GIsin∠HGI=3GIsin∠JGK-GIsin3∠JGK=4GIsin ∠JGK^3
由定比分角定理得：∠QPR=3∠TPU
RS=3TU-QR=3JK/sinψ-HI/sinψ=IL/sinψ
又3TU-QR=3PUsin∠TPU-PRsin∠QPR=3PRsin∠TPU-PRsin3∠TPU=4PRsin∠TPU^3
∴4PRsin∠TPU^3=IL/sinψ=1，即sin∠TPU^3=IL/ 4PRsinψ=1/32∴sin∠TPU=[2^（1/3）]/4
又有三角形PWV相似于三角形PTU，PV=PU/2
∴PVsin∠TPU=2^（1/3）
∴立方體A'B'C'D'E'F'的體積=[2^（1/3）]^3=2=兩倍立方體ABCDEF的體積，證畢。
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重復(fù)步驟：以∠FGH=∠ABC的三角形FGH，得到三角形FIJ。如果xBC=GH，xDE=IJ，那么就有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。
定比分角定理2：仍然以定理1的圖形，如果sin∠BAC/sin∠DAE=sin∠GFH/sin∠IFJ，且∠BAC∠DAE∠GFH∠IFJ均為銳角，那么有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。
定理1證明：據(jù)圖1可得，2BC=GH，2DE=IJ，
BC=ACsin∠BAC/sin∠ABC，DE=AEsin∠DAE/sin∠ADE=ACsin∠DAE/sin∠ABC GH=FHsin∠GFH/sin∠FGH=2BC=2ACsinBAC/sinABC ，IJ=FJsin∠IFJ/sin∠FIJ=2DE=2ACsin∠DAE/sinABC，得sin∠GFH=sin∠BAC*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC，sin∠IFJ=sin∠DAE*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC；令∠BAC=x∠DAE，則有∠GFH=x∠IFJ，即∠BAC/∠DAE=∠GFH∠IFJ=x，證畢。
定理2證明：BC/DE=sin∠BAC/sin∠DAE=GH/IJ=sin∠GFH/sin∠IFJ，由定理1可知，如∠BAC、∠DAE、∠GFH、∠IFJ為銳角，則有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ，證畢。
二、三等分角證明
任意角∠A，在兩條邊的延長(zhǎng)線上各取點(diǎn)B、C，使AB=AC，連結(jié)BC。
在BC上取中點(diǎn)D，連結(jié)AD，AD為三角形ABC的角平分線。取與BC等長(zhǎng)的EF、FG做直角邊為EF、FG的等邊直角三角形EFG。在三角形EFG上做以EH、HI為直角邊，且∠HEI=1/3∠FEG=15°的直角三角形EHI，H在EF的延長(zhǎng)線上，EI=EG。取與HI等長(zhǎng)的JK，J在AD的延長(zhǎng)線上，與AJ、AK做直角三角形AJK，AK=AC。在KJ的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)L，使KJ=JL，連結(jié)AL。
運(yùn)用定比分角定理解決尺規(guī)作圖三等分任意角，據(jù)圖得：CD=FG，HI=JK，∠FEG/∠HEI=1/3。
由定比分角定理1可得：∠CAD/∠JAK=1/3
∴∠BAL=∠LAK=∠KAC=∠BAC/3，證畢。
三、二倍立方證明
任意立方體ABCDEF（圖省略），AB=1。取兩倍AB長(zhǎng)度的GI，做GI為斜邊，GH、HI為直角邊的等邊直角三角形GHI。在三角形GHI上做以GJ、JK為直角邊的三角形GJK，且∠JGK=1/3∠HGI=15°，GK=GI。在HI的延長(zhǎng)線上取三倍JK長(zhǎng)度的HL。做以IL為直角邊、長(zhǎng)度為AB的IM為斜邊的直角三角形MIL。分別做以JK、JN為直角邊，NK為斜邊的直角三角形JNK和以HI、HO為直角邊、IO為斜邊的直角三角形HIO，且∠JNK=∠HOI=∠IML。取長(zhǎng)度為IO的QR為直角邊、長(zhǎng)度為8的PR為斜邊做直角三角形PQR，在QR的延長(zhǎng)線上取長(zhǎng)度為ML的線段RS。做以長(zhǎng)度為NK的TU、PT為直角邊、PU為斜邊的三角形PTU，T在PQ的延長(zhǎng)線上，PU=PR。取PU的中點(diǎn)V與PT的中點(diǎn)W，連結(jié)VW。以VW的長(zhǎng)度為依據(jù)，做立方體A'B'C'D'E'F'，作圖過程省略。
運(yùn)用定比分角定理解決尺規(guī)作圖二倍立方，據(jù)圖3得：IL=3JK-HI=IL=3GIsin∠JGK-GIsin∠HGI=3GIsin∠JGK-GIsin3∠JGK=4GIsin ∠JGK^3
由定比分角定理得：∠QPR=3∠TPU
RS=3TU-QR=3JK/sinψ-HI/sinψ=IL/sinψ
又3TU-QR=3PUsin∠TPU-PRsin∠QPR=3PRsin∠TPU-PRsin3∠TPU=4PRsin∠TPU^3
∴4PRsin∠TPU^3=IL/sinψ=1，即sin∠TPU^3=IL/ 4PRsinψ=1/32∴sin∠TPU=[2^（1/3）]/4
又有三角形PWV相似于三角形PTU，PV=PU/2
∴PVsin∠TPU=2^（1/3）
∴立方體A'B'C'D'E'F'的體積=[2^（1/3）]^3=2=兩倍立方體ABCDEF的體積，證畢。
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