山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(252000)　夏迎雪　于興江

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一道數(shù)學(xué)高考題的多解和推廣

山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(252000)夏迎雪*于興江

2015年浙江高考理科卷第19題為解析幾何題，主要考察直線與圓錐曲線綜合，并結(jié)合面積最大值問題進(jìn)行綜合考察.在解題過程中，考生要熟練掌握直線與圓錐曲線的基本計(jì)算方法.對(duì)韋達(dá)定理的使用、交點(diǎn)存在性的判斷、不等式解法等知識(shí)點(diǎn)的要求較高.筆者給出此題的多種解法，并利用幾何畫板對(duì)三角形面積最大值問題進(jìn)行探究，從而推廣出一般性的結(jié)論.

圖1

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求ΔAOB面積的最大值.

1.第(1)問的兩種解法

2．第(2)問的三種解法

解法2：由正弦定理變形可得

解法3:不妨設(shè)AB所在直線與x軸交于點(diǎn)N，第一問中已經(jīng)求出交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=b=

3．探究推廣

在歷年高考數(shù)學(xué)中，圓錐曲線問題是必考題型，求兩個(gè)交點(diǎn)和原點(diǎn)O所構(gòu)成的三角形的面積問題更是高考中的熱點(diǎn)題型.筆者現(xiàn)給出如下結(jié)論：

下面分情況討論：

圖① 圖② 圖③

情況1若0<|m|

圖④ 圖⑤ 圖⑥

參考文獻(xiàn)

[1]柳俊婷，于興江.關(guān)于最大值的兩個(gè)定理[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版)，2015,2.

[2]孫玉英，于興江.探究引申剖析啟示——一道高考題的賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2013,10.