鐘斌斌，李 妍，張永芳，陳 煒

（華中科技大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

0 引言

隨著電力電子變換器裝置廣泛應(yīng)用到電力系統(tǒng)中，直流與交流網(wǎng)絡(luò)通過換流器相互耦合，換流器諧波源模型直接影響到諧波分析的正確性和準(zhǔn)確性，成為目前學(xué)術(shù)界和工程界都非常關(guān)注的問題［1-4］。目前諧波分析中采用的換流器諧波源建模方法主要包括恒流源模型、Norton模型、諧波耦合導(dǎo)納矩陣模型、開關(guān)函數(shù)模型等［5-6］。 文獻(xiàn)［7］提出一個線性的簡化模型來近似表示諧波源在基波電壓初相位為零時的諧波特性，其各參數(shù)均需要通過多次實(shí)際運(yùn)行測量數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘逼近建模，求取較困難，且諧波次數(shù)越高，諧波電流誤差越大；文獻(xiàn)［8］基于諧波耦合導(dǎo)納矩陣，以解析方法推導(dǎo)晶閘管可控電抗器端口（交流側(cè)端口）電壓電流之間的耦合關(guān)系，并對交流側(cè)諧波源模型進(jìn)行了三方面的簡化，具有較高的精度和適用性；文獻(xiàn)［1，9］從工程實(shí)際出發(fā)，考慮觸發(fā)角受余弦信號的調(diào)制，利用脈沖寬度調(diào)制和脈沖位置調(diào)制的頻譜分析，運(yùn)用轉(zhuǎn)移函數(shù)法分析換流器兩側(cè)諧波分布，使工程實(shí)際中的諧波估算更加方便，結(jié)果更加精確；但上述建模方法均未對交直流兩側(cè)諧波相互耦合關(guān)系展開研究討論。

文獻(xiàn)［10-11］通過諧波傳遞函數(shù)矩陣和開關(guān)函數(shù)的方法建立諧波模型矩陣，研究交直流兩側(cè)諧波電壓、電流之間的關(guān)系，但僅對單相換流器開展分析；類似地，文獻(xiàn)［12-13］以三相整流橋?yàn)槔⒅C波模型，對整流器兩側(cè)的交互作用進(jìn)行分析，由于建模考慮觸發(fā)角非對稱，需通過牛頓-拉夫遜算法約束調(diào)整換相重疊角，該步驟需多次迭代計算整個參數(shù)矩陣，運(yùn)算復(fù)雜，在應(yīng)用于諧波分析時可能導(dǎo)致收斂困難。

考慮到電力系統(tǒng)中交流側(cè)系統(tǒng)諧波電壓幅值通常很小，不影響各開關(guān)器件的正常導(dǎo)通［14］，因此換流器觸發(fā)角一般是對稱的。本文基于二端口網(wǎng)絡(luò)的H參數(shù)矩陣定量描述換流器交流側(cè)電流與電壓、交流側(cè)電流與直流側(cè)電流、直流側(cè)電壓與交流側(cè)電壓、直流側(cè)電壓與電流之間的耦合關(guān)系。通過將換流器各開關(guān)器件的動作狀態(tài)分別以對應(yīng)的開關(guān)函數(shù)表示，在觸發(fā)角對稱條件下分析各換流階段換流器兩側(cè)電壓電流的數(shù)學(xué)關(guān)系，并以傅里葉變換為工具求解各H參數(shù)矩陣，建立換流器諧波全耦合模型。本文模型可廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)中存在各種背景諧波的交直流網(wǎng)絡(luò)；當(dāng)觸發(fā)角較大，換相重疊角較小時，可忽略換相過程影響得出簡化模型，適用于可控?fù)Q流器觸發(fā)角較大或者系統(tǒng)電抗較小的工程應(yīng)用背景。Simulink時域仿真結(jié)果驗(yàn)證了建模工作的準(zhǔn)確性。

1 換流器H參數(shù)諧波模型

1.1 H參數(shù)矩陣及其物理意義

圖1 三相換流器電路Fig.1 Circuit of three-phase converter

根據(jù)圖1三相換流器電路，將其視為二端口網(wǎng)絡(luò)，如圖2所示，建立基于H參數(shù)的二端口網(wǎng)絡(luò)方程（1）。

圖2 換流器二端口網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Dual-port network of converter

通過H參數(shù)二端口網(wǎng)絡(luò)方程（1）可直觀地觀察到，換流器兩側(cè)電壓、電流之間的耦合關(guān)系可以用H參數(shù)矩陣表示，其中H11矩陣表示交流側(cè)電流與電壓之間的相互耦合關(guān)系，H12矩陣表示交流側(cè)電流與直流側(cè)電流之間的相互耦合關(guān)系，H21矩陣表示直流側(cè)電壓與交流側(cè)電壓之間的相互耦合關(guān)系，H22矩陣表示直流側(cè)電壓與電流的相互耦合關(guān)系。

本文研究三相換流器諧波模型，將式（1）擴(kuò)展為三相換流器的H參數(shù)二端口網(wǎng)絡(luò)方程（2），其中，H11擴(kuò)展為3×3矩陣，即虛線左上角9個矩陣；H12擴(kuò)展為3×1矩陣，即虛線右上角3個矩陣；H21擴(kuò)展為1×3矩陣，即虛線左下角3個矩陣；H22矩陣依舊為1×1矩陣，即虛線右下角Hdd矩陣。以交流側(cè)a相電流為例，矩陣Haa、Hab、Hac分別表示交流側(cè)a相電流與交流側(cè)a、b、c三相電壓之間的相互耦合關(guān)系，矩陣Had表示其與直流側(cè)電流之間的相互耦合關(guān)系。

因此，通過求解上式16個H參數(shù)矩陣，三相換流器交直流兩側(cè)諧波的相互耦合關(guān)系可以定量地用二端口網(wǎng)絡(luò)方程的H參數(shù)矩陣進(jìn)行描述。

1.2 考慮換相過程的開關(guān)函數(shù)

為描述交直流兩側(cè)的諧波交互影響，本文將換流器開關(guān)器件的每個動作狀態(tài)都通過一個開關(guān)函數(shù)進(jìn)行描述，表示該區(qū)間內(nèi)交直流兩側(cè)電壓、電流的波形關(guān)系。如圖3所示，將開關(guān)器件工作狀態(tài)由開關(guān)函數(shù)Hx進(jìn)行描述，即將電壓、電流開關(guān)函數(shù)分解成多個Hx開關(guān)函數(shù)展開研究。其上標(biāo)x表示此時工作區(qū)間內(nèi)x號開關(guān)器件處于導(dǎo)通狀態(tài)，例如H12表示此時換流器的1號和2號2個開關(guān)器件同時處于導(dǎo)通狀態(tài)；H456表示此時有4號、5號和6號3個開關(guān)器件同時處于導(dǎo)通狀態(tài)，即該區(qū)間為換相過程。

圖3 開關(guān)函數(shù)原理圖Fig.3 Schematic diagram of switching functions

1.3 指數(shù)形式傅里葉變換

為方便矩陣運(yùn)算及直觀體現(xiàn)諧波模型的作用機(jī)理，本文將各開關(guān)函數(shù)Hx以指數(shù)形式的傅里葉變換表示

以Ix=HxI為例，令其矩陣形式如式（3）所示，其中諧波傅里葉系數(shù) hxn可通過式（4）求得［15］。

其中，θ、δ分別為Hx末端、始端相位。

可以看到，整個二端口網(wǎng)絡(luò)方程中的H參數(shù)矩陣元素均為常數(shù)（僅與觸發(fā)角、換相重疊角有關(guān)），而與換流器兩側(cè)交直流電壓、電流無關(guān)。

2 換流器模型諧波分析

2.1 交流側(cè)電流

根據(jù)圖3中交流側(cè)電流開關(guān)函數(shù)，其諧波分析可以在換流器截止、導(dǎo)通換相、導(dǎo)通和截止換相4個連續(xù)區(qū)間討論，即為4個區(qū)間的各電流相量之和。以a相電流為例，其截止期間相電流為0；在導(dǎo)通換相、導(dǎo)通和截止換相期間，通過各區(qū)間的電流開關(guān)函數(shù)和交流側(cè)電流線性組合，如式（5）所示。

其中，I1和I4為導(dǎo)通期間電流，I561和I234為導(dǎo)通換相期間電流，I123和I456為截止換相期間電流，可由式（6）得到。

其中為換流器交流側(cè)電流為各開關(guān)函數(shù)Hx所對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的交流側(cè)電流。

2.1.1 導(dǎo)通期間交流側(cè)電流

導(dǎo)通期間，由電流開關(guān)函數(shù)可知，交流側(cè)電流等于直流側(cè)電流，即得到：

根據(jù)上式分析可知，導(dǎo)通期間，交流側(cè)電流僅與直流側(cè)電流有耦合關(guān)系，且當(dāng)直流側(cè)電流中有諧波成分時，在交流側(cè)將耦合產(chǎn)生除特征諧波以外的非特征諧波。

2.1.2 換相期間交流側(cè)電流

根據(jù)圖3中導(dǎo)通換相和截止換相期間的電流開關(guān)函數(shù)，換流器某相電流中一個開關(guān)器件導(dǎo)通換相期的開始同時伴隨著另外一相電流中對應(yīng)的開關(guān)器件截止換相期的開始，它們之間的電路等效關(guān)系如圖4所示，其中電壓、電流的上標(biāo)“off”表示截止換相期，“on”表示導(dǎo)通換相期。

圖4 換流器換相過程Fig.4 Commutation process of converter

根據(jù)圖4電路換相過程中電壓、電流關(guān)系，可得到其數(shù)學(xué)關(guān)系式如式（8）所示，且本文并未將換相過程進(jìn)行線性化處理。

截止端換相電流ioff與導(dǎo)通端換相電流ion兩者之和始終等于直流側(cè)Idc；且ioff在換相初始相位（φc）時等于 Idc，ion在換相初始相位（φc）時等于 0。 得到截止換相處的交流側(cè)電流表達(dá)式為：

將式（9）以傅里葉級數(shù)指數(shù)形式表示：

得到截止換相電流ioff（ωt）的頻域傅里葉系數(shù)為：

根據(jù)式（11）可知，截止換相過程中，交流側(cè)電壓與電流存在耦合關(guān)系，當(dāng)交流側(cè)電壓含有系統(tǒng)諧波情況下，交流側(cè)電流中將耦合產(chǎn)生相應(yīng)的非特征諧波；另外交流側(cè)電壓和直流側(cè)電流共同作用耦合產(chǎn)生直流成分。

將上式轉(zhuǎn)換成矩陣形式：

等效成：

其中，IM為2n+1階單位矩陣；為系統(tǒng)側(cè)電抗的對角矩陣；φc為換相初始相位。

同理，可得導(dǎo)通換相電流ioff（ωt）頻域矩陣形式：

根據(jù)上式可知，導(dǎo)通換相過程：交流側(cè)電壓、電流存在耦合關(guān)系，當(dāng)交流側(cè)電壓含有系統(tǒng)諧波情況下，交流側(cè)電流中將耦合產(chǎn)生相應(yīng)的非特征諧波。

2.1.3 諧波模型參數(shù)

綜上，將各個區(qū)間對應(yīng)的Iaca代入上式，得到換流器交流側(cè)電流完整表達(dá)式。

以上表明交流側(cè)電流與電壓在換相期間存在耦合關(guān)系；在導(dǎo)通期間，交流側(cè)電流與直流側(cè)電流存在耦合關(guān)系。

將諧波模型矩陣式（2）與式（15）聯(lián)立，即可得到換流器諧波模型矩陣中各個H參數(shù)矩陣：

2.2 直流側(cè)電壓

根據(jù)圖3中直流側(cè)電壓開關(guān)函數(shù)的描述，同樣可以在截止、導(dǎo)通換相、導(dǎo)通和截止換相4個連續(xù)期間進(jìn)行討論，即通過幅值分別為0、0.5、1和0.5的水平線段進(jìn)行近似［16］。以a相為例，其截止期間的直流側(cè)電壓為0；其他3個期間通過開關(guān)函數(shù)與其對應(yīng)的交流側(cè)電壓（考慮系統(tǒng)電抗產(chǎn)生的壓降后）線性組合得到直流側(cè)電壓，如式（20）所示［12］。

根據(jù)上式分析可知，直流側(cè)電壓與交流側(cè)電壓及直流側(cè)電流均耦合，當(dāng)忽略交流側(cè)阻抗ZL產(chǎn)生的壓降時，直流側(cè)電壓僅與交流側(cè)電壓耦合。

由諧波模型矩陣式（2）與式（20），即可得到換流器諧波模型矩陣中剩余各個H參數(shù)矩陣：

3 諧波簡化模型

當(dāng)換流器電路參數(shù)和觸發(fā)角確定，其直流側(cè)電流直流分量和換相重疊角μ分別為：

其中，U為交流側(cè)線電壓有效值；R為直流側(cè)負(fù)載電阻；α為觸發(fā)角；Ls為交流側(cè)等效電抗；ω=2πf為角頻率。

得到換相重疊角關(guān)于觸發(fā)角及換流器電路參數(shù)的表達(dá)式：

根據(jù)式（26）和圖5，當(dāng)觸發(fā)角（α＜90°）逐漸增大，換相重疊角將逐漸減小，相應(yīng)的換相過程的開關(guān)函數(shù)區(qū)間減小，即換相過程對換流器諧波模型的影響減小。因此，當(dāng)換相重疊角較小時，可不考慮換相過程的影響，諧波模型矩陣式（2）中左上角9個參數(shù)矩陣均為0矩陣，且其余7個參數(shù)矩陣也大幅簡化，可將式（16）—（19）和（21）—（24）中換相過程開關(guān)函數(shù)（H561等）置0得到，得到簡化模型矩陣式（27）。

圖5 換相重疊角與觸發(fā)角關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between commutation overlap angle and firing angle

從上述分析可知，當(dāng)不考慮換相過程時，換流器簡化諧波模型很大程度上簡化了諧波模型，特別是交流側(cè)電流與電壓之間不存在耦合關(guān)系，交流側(cè)電流僅與直流側(cè)電流耦合。

4 算例仿真分析

本節(jié)通過對比本文建立的頻域諧波模型和Simulink時域仿真結(jié)果，驗(yàn)證基于H參數(shù)的換流器諧波全耦合模型的準(zhǔn)確性。由于本文重點(diǎn)研究換流器交直流兩側(cè)諧波交互作用機(jī)理，故在建模分析過程中認(rèn)為換流器交流側(cè)系統(tǒng)阻抗相等。算例采用三相全控整流橋，具體參數(shù)為：系統(tǒng)線電壓有效值為400 V，交流側(cè)電感Ls=0.2 mH，直流負(fù)載側(cè)電阻R=5 Ω，負(fù)載電感L=0.5 H。

4.1 無系統(tǒng)背景諧波情況

當(dāng)不存在系統(tǒng)背景諧波，即理想環(huán)境下，本文建立的諧波模型及其簡化模型和Simulink時域仿真得到兩側(cè)諧波幅值對比如表1所示。

由表1結(jié)果可知，本文所建立的換流器諧波模型在無背景諧波情況下?lián)Q流器兩側(cè)的特征諧波幅值與時域仿真結(jié)果基本一致，誤差較?。涣硗?，隨著觸發(fā)角增大，本文簡化諧波模型的精確度有較大提高；可以預(yù)見當(dāng)觸發(fā)角增大到一定程度時，該簡化模型將有很強(qiáng)的實(shí)用性。

表1 無背景諧波情況下?lián)Q流器兩側(cè)諧波幅值Table1 Amplitude of harmonics at both sides of converter without background harmonics

根據(jù)表2可知，在本文算例設(shè)定條件下，當(dāng)觸發(fā)角大于30°時，簡化模型交流側(cè)電流總諧波畸變率（THD）和直流側(cè)電壓紋波系數(shù)（RF）均與仿真結(jié)果接近，可建議采用簡化模型展開分析研究。

表2 電流總諧波畸變率與電壓紋波系數(shù)結(jié)果分析Table 2 Analysis of current THD and voltage RF

4.2 有系統(tǒng)背景諧波情況

當(dāng)考慮系統(tǒng)含有背景諧波，假設(shè)三相供電電源A相發(fā)生諧波畸變，含有5次正序諧波電壓，幅值為系統(tǒng)相電壓的5%；且負(fù)載直流側(cè)電流中亦發(fā)生畸變，含有5次正序諧波電流，其幅值為直流電流的5%，此時取觸發(fā)角為15°。

考慮主導(dǎo)非特征諧波，交流側(cè)正序h次諧波擾動，將在直流側(cè)產(chǎn)生h±（6k±1）次諧波；直流側(cè)h次諧波擾動將在交流側(cè)產(chǎn)生 h±1 次諧波［14，16］。 按照上述分析，本算例應(yīng)在特征諧波的基礎(chǔ)上在交流側(cè)產(chǎn)生 3、4、6、9、15、…次非特征諧波擾動；在直流側(cè)產(chǎn)生 4、8、10、14、16、…次非特征諧波。

本文諧波模型及其簡化形式和時域仿真結(jié)果的諧波頻譜見圖6、7?？梢?，交直流側(cè)電壓、電流各諧波次數(shù)與理論分析及時域仿真一致，且各諧波幅值誤差較小，可以驗(yàn)證本文諧波全耦合模型對分析換流器交、直流兩側(cè)諧波全耦合具備有效性和準(zhǔn)確性。

圖6 有背景諧波情況下交流側(cè)電流諧波頻譜Fig.6 Harmonic spectrum of AC-side current with background harmonics

圖7 有背景諧波情況下直流側(cè)電壓諧波頻譜Fig.7 Harmonic spectrum of DC-side voltage with background harmonics

5 結(jié)語

本文通過引入二端口網(wǎng)絡(luò)的H參數(shù)矩陣，將換流器各開關(guān)器件的動作狀態(tài)分別以對應(yīng)的開關(guān)函數(shù)表示，在觸發(fā)角對稱條件下分析各換流階段交直流兩側(cè)的電壓電流數(shù)學(xué)關(guān)系，并以傅里葉變換為工具求解各H參數(shù)矩陣，建立諧波全耦合模型。各H參數(shù)矩陣定量地描述了換流器交流側(cè)電流與電壓、交流側(cè)電流與直流側(cè)電流、直流側(cè)電壓與交流側(cè)電壓、直流側(cè)電壓與電流之間的耦合關(guān)系。本文諧波模型對存在各種復(fù)雜背景諧波狀況的交直流系統(tǒng)均可適用；當(dāng)觸發(fā)角較大、換相重疊角較小時，可不考慮換相過程的影響，得到簡化模型，適用于可控?fù)Q流器觸發(fā)角較大或系統(tǒng)電抗較小的工程應(yīng)用背景。最后在Simulink時域仿真中驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性。

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