周海波，彭云飛，吳鴻敏，計(jì)　方(. 武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北　武漢 430064；. 中國艦船研究院，北京 009)

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圓柱殼變形計(jì)算方法研究

周海波1，彭云飛1，吳鴻敏1，計(jì)方2
(1. 武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北武漢 430064；2. 中國艦船研究院，北京 100192)

摘要:圓柱殼的變形特性計(jì)算一直受到廣泛的重視，解決這一問題的經(jīng)典板殼理論解法主要有解析法、數(shù)值法和半解析法。由于環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，采用純解析的方法求解非常困難。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法在船體結(jié)構(gòu)分析中已占主導(dǎo)地位，并已成為數(shù)值解法的典型代表。本文通過對底部簡支和懸臂薄壁圓柱殼的受力狀態(tài)進(jìn)行分析，建立有限元模型進(jìn)行仿真計(jì)算并與理論計(jì)算結(jié)果加以比對，分析不同計(jì)算方法對圓柱殼變形結(jié)果的影響。

關(guān)鍵詞：圓柱殼；變形；解析法；數(shù)值法

0　引　言

水下結(jié)構(gòu)物的主要載荷是承受深水靜壓力，這一受力特性決定了其耐壓結(jié)構(gòu)采用橫剖面為圓形的薄殼結(jié)構(gòu)，同時(shí)為了有效地提高耐壓結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，還必須在殼板上設(shè)置一系列橫向加強(qiáng)筋（肋骨）。因此，從結(jié)構(gòu)力學(xué)的角度來看，水下結(jié)構(gòu)物的耐壓船體主要是以一系列橫向肋骨加強(qiáng)的環(huán)肋圓柱殼。雖然耐壓船體鋼板厚度較大，但其直徑較大，屬于薄壁結(jié)構(gòu)。解決這一問題的經(jīng)典板殼理論解法主要有解析法、數(shù)值法和半解析法。由于環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，采用純解析的方法求解非常困難。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法在船體結(jié)構(gòu)分析中已占主導(dǎo)地位，并已成為數(shù)值解法的典型代表。由于有限元法把連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散成若干個(gè)幾何形狀規(guī)則的理想單元，所以能夠解決復(fù)雜的高次靜不定問題。但有限元法計(jì)算結(jié)果的精確與否，直接依賴于軟件使用的合理性和網(wǎng)格劃分的準(zhǔn)確性，所以又必須以經(jīng)典的板殼理論作支撐。

殼體結(jié)構(gòu)（即使是薄殼結(jié)構(gòu)）的穩(wěn)定性問題就其本質(zhì)來說，應(yīng)該歸屬于非線性理論范疇，但是一些重要的基本結(jié)果仍然是從線性理論中獲得。薄殼結(jié)構(gòu)的分支點(diǎn)問題可以用線性理論判別其特征。目前工程計(jì)算中大多仍是以線性理論解為基礎(chǔ)，依靠大量試驗(yàn)的結(jié)果得出某種規(guī)律，給出各類近似的修正公式。當(dāng)前對于線性理論解的研究，采用的主要方法有能量法、傳遞矩陣法等。

隨著現(xiàn)代力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值計(jì)算無論在理論，還是在計(jì)算技術(shù)方面都取得了巨大的進(jìn)步。常用的數(shù)值計(jì)算方法包括有限元法、有限差分法和邊界元法，而有限元法基于全離散的原理，可分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)屈曲和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜非線性屈曲問題，因此成為殼體結(jié)構(gòu)屈曲分析（尤其是非線性屈曲分析）的首要手段。

本文依據(jù)船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)理論，通過對理想底部簡支和懸臂薄壁圓柱殼的受力狀態(tài)進(jìn)行分析，同時(shí)建立有限元模型進(jìn)行仿真計(jì)算并與理論計(jì)算結(jié)果加以比對，分析不同計(jì)算方法對于圓柱殼力學(xué)性能結(jié)果的影響。

1　圓柱殼的無矩理論

工程中，最大厚度遠(yuǎn)小于中面曲率半徑和另外2個(gè)方向尺寸的殼體稱為薄殼，薄殼理論是 19 世紀(jì)末在基爾霍夫?樂甫假設(shè)的基礎(chǔ)上建立起來的。在薄殼理論中，如果殼體的幾何形狀和表面載荷都是連續(xù)可微函數(shù)，則殼體處于無彎矩的應(yīng)力狀態(tài)，此稱之為柱殼的無矩理論[1]。

如圖1 所示，q1，q2，q3分別為柱殼所受載荷分別在縱向、環(huán)向及法向的分量；FT1，F(xiàn)T2及FT12= FT21分別為縱向拉壓力、環(huán)向拉壓力及平錯(cuò)力，則柱殼的無矩理論平衡方程由下式給出[2]：

彈性方程由下式給出：

式中：u，v，w分別為柱殼中面內(nèi)各點(diǎn)的縱向、環(huán)向及法向位移。

現(xiàn)假設(shè)一各向同性材料的懸臂圓柱殼，其彈性模量為E，泊松比μ，密度為ρ，長為l，R-r = δ，一端固支，一端自由，如圖2 所示。

圖1　柱殼的無矩理論Fig. 1　Non-distance theoretical of cylindrical shell

圖2　懸臂圓柱殼Fig. 2　Cantilevered cylindrical shell

取圓柱殼中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)樽笥覂蛇厡ΨQ，所以只對 α 正方向進(jìn)行計(jì)算，每單位面積的載荷為q0= ρδg，q1= 0，q2= q0sinφ，q3= q0cosφ，由式（1）得：

因此，對于懸臂圓柱殼在自身重力作用下，柱殼任一點(diǎn)縱向、環(huán)向及法向變形量u，v，w由下式給出[3]：

式中：α 為圓柱殼上任意一點(diǎn)距固定端的距離，自由端 α = l[4]；

2　圓柱殼的有矩理論

如圖3 所示，圓柱殼臥置在平臺(tái)上，A 為圓柱殼上任意位置的截面，M0，M1為作用于圓柱殼任意截面A 的彎矩。取縱向右半圓的圓柱殼進(jìn)行分析，薄壁圓柱殼的截面厚度遠(yuǎn)小于曲率半徑，作用于筒體任意截面 A 的垂直力對彎矩M的影響甚微[5]，故省略計(jì)算。

A0截面：X0= R，Z0= 0；A2截面：X2= 0，Z2=R；A 截面：X = Rcosφ，Z = Rsinφ。M2為第Ⅰ象限 A2至 A 的圓柱殼自重作用于 A 截面的彎矩，P/2 是平臺(tái)對右半圓圓柱殼的反作用力傳遞到 A0截面的值。設(shè)第Ⅰ象限的圓柱殼于 A0截面處固定之，則在 M2作用下，A2分別向下和向左位移[6]。

圖3　底部簡支圓柱殼Fig. 3　Bottom simply supported cylindrical shell

式中：F為圓柱殼的截面積；γ為材料比重。

圓柱殼下半圓的第Ⅳ象限，設(shè)第Ⅳ象限的圓柱殼于 A0截面處固定之，則在 M1作用下，A1分別向上和向左位移。P/2 是第Ⅰ象限圓柱殼的自重作用于 A0截面的值，M1為平臺(tái)對右半圓圓柱殼向上的反作用力 P和第Ⅳ象限圓柱殼向下的自重，共同作用于任意截面A 的彎矩。

則分別作用于第Ⅰ和第Ⅳ象限的彎矩相等M1= M2= M。即作用于圓柱殼任意截面 A 的彎矩相等[7]。

以第Ⅳ象限為例計(jì)算彎矩M值：令ε0= 0，。其中，ε0為線應(yīng)變，ω為角應(yīng)變。由于理想圓柱殼，其截面 A0和 A1之間的夾角，自重變形后仍為直角，故 A0和 A1之間的角度改變?chǔ)う?= 0。

垂直方向的自重變形量 U 是指垂直位置的圓柱殼中徑在垂直方向的減少量。第Ⅳ象限 A1點(diǎn)在垂直方向往上的位移 U1：

正號(hào)表示圓柱殼的最低點(diǎn) A1垂直向上位移，垂直位置的圓柱殼中徑在垂直方向的減少量 U 由下式給出[8]：

其中：I 為圓柱殼的截面慣性矩；E 為材料彈性模量。

3　有限元仿真

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法在船體結(jié)構(gòu)分析中已占主導(dǎo)地位[9]，目前主要有MSC/Ansys/ Abaqus等大型通用有限元軟件，本文通過Ansys建立典型圓柱殼有限元模型，計(jì)算底部簡支及懸臂圓柱殼變形問題。

1）理想圓柱殼底部簡支狀態(tài)的自重變形

選取圓柱殼的直徑分別為 4 000 mm，5 000 mm，6 000 mm，圓柱殼壁厚為 20 mm，30 mm，40 mm 共 9種計(jì)算工況。材料屬性為 ρ = 7.85 × 10-9t/mm3，E = 2.1 × 105MPa，μ = 0.3。模型邊界條件為底部簡支，對整個(gè)模型施加 g = 9 800 mm/s2的重力載荷。9種計(jì)算工況下圓柱殼變形仿真計(jì)算結(jié)果如表 1 和圖4 所示，有限元仿真解與有矩理論值對比如表 2 所示。

仿真計(jì)算結(jié)果表明底部簡支的理想圓柱殼在自身重力作用下垂直變形量隨內(nèi)徑的增大而增大，隨厚度的增大而減小。同時(shí)，仿真解與理論解的差值控制在10% 左右，且圓柱殼直徑越小，厚度越大，即圓柱殼變形值越小，計(jì)算誤差越小。

表1　底部簡支圓柱殼仿真計(jì)算結(jié)果Tab. 1　Simulation calculation results of bottom simply supported cylindrical shell

圖4　底部簡支的理想圓柱殼垂直變形量隨直徑和壁厚變化曲線Fig. 4　Vertical deformation of bottom simply supported cylindrical shell under different diameter and thickness

表2　簡支圓柱殼垂直變形有限元仿真解與有矩理論值對比Tab. 2　The constrast of analytical method and numerical method

2）懸臂圓柱殼的自重變形

為研究懸臂圓柱殼的自重變形，依然選取圓柱殼的直徑分別為 4 000 mm，5 000 mm，6 000 mm，圓柱殼壁厚為 20 mm，30 mm，40 mm 共 9 種計(jì)算工況，自由端變形量的仿真結(jié)果如表 3 和圖5 所示，有限元仿真解與無矩理論值對比如表 4 所示。

表3　懸臂圓柱殼仿真計(jì)算結(jié)果Tab. 3　Simulation calculation results of cantilevered cylindrical shell

圖5　懸臂圓柱殼端面變形量隨直徑和壁厚變化曲線Fig. 5　Surface deformation of cantilevered cylindrical shell under different diameter and thickness

表4　懸臂圓柱殼端面變形有限元仿真解與無矩理論值對比Tab. 4　The constrast of analytical method and numerical method

從仿真結(jié)果可知，對于自身重力作用下的懸臂圓柱殼，仿真解與理論解誤差較小，且自由端的變形量隨圓柱殼內(nèi)徑的增大而減小，與圓柱殼厚度無關(guān)，同一端面各點(diǎn)的變形量大致相同，即對于懸臂圓柱殼，重力載荷對自由端面圓度影響不大。由式（4）可知，不同圓柱殼厚度δ下，無矩理論給出的變形量結(jié)果一致，這是因?yàn)闊o矩理論將此類圓柱殼假設(shè)為薄壁圓柱殼，忽略了圓柱殼厚度對自由端變形的影響，仿真結(jié)果與理論解具有極高的一致性，表明該假設(shè)合理。

4　結(jié)　語

本文采用無矩理論及有矩理論對理想圓柱殼的變形進(jìn)行分析，通過有限元方法對典型圓柱殼變形仿真計(jì)算并與理論值進(jìn)行對比，得出以下結(jié)論：

1）無矩理論適用于一端固支，一端自由的圓柱殼自重變形計(jì)算，有矩理論僅適用于圓柱殼為理想圓柱殼，底部簡支的情況；

2）對于一端固支，一端自由的圓柱殼，仿真結(jié)果表明，自由端的變形量隨圓柱殼直徑的增大而減小，與圓柱殼厚度無關(guān)，同一端面各點(diǎn)的變形量大致相同，即重力載荷對自由端面圓度影響不大，這與經(jīng)典無矩理論規(guī)律一致；

3）對于理想圓柱殼底部簡支的情況，仿真結(jié)果表明，圓柱殼在自身重力作用下，垂直位置的圓柱殼中徑在垂直方向的減少量隨直徑的增大而增大，隨厚度的增大而減小，變形量基本上與內(nèi)徑的四次方成正比，與厚度的二次方成反比，這與經(jīng)典有矩理論規(guī)律一致；

4）對于復(fù)雜圓柱殼結(jié)構(gòu)，圓柱殼的幾何形狀和所受載荷不再是連續(xù)可微函數(shù)，理論計(jì)算具有較大的局限性，限元方法較為合理準(zhǔn)確。

參考文獻(xiàn)：

[1]LIU J H, FRANCIS A. Theoretical analysis of local indentation on pressured pipes[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2004, 81(12): 931–939.

[2]JAROSLAV MACKERLE. Fipressured pipes[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2004, 81: 931–939

[3]張鐘華. 簡支圓管在重力作用下的應(yīng)力狀態(tài)[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 1982, 4(1): 32–35.

[4]王敏中. 簡支圓管在自重作用下的彎曲[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 1983, 5(6): 52–54.

[5]PLANCQ D, BERTON M N, PIERRE G, et al. Complete analytic elastic study of a 90° branch connection of a cylinder on a sphere subjected to a bending load[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1997, 71(1): 61–69.

[6]ZINGONI A, PAVLOVI? M N. Discontinuity phenomena around the supports of stepwise-thickened spherical steel tanks. Part 1: theoretical considerations and parametric results[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1993, 53(3): 405–435.

[7]呂延茂. 薄壁筒體臥置狀態(tài)圓度的探索[J]. 化學(xué)工業(yè)與工程技術(shù), 2004, 25(1): 49–54.

[8]呂延茂. 薄壁筒體臥置狀態(tài)圓度的測量和計(jì)算[J]. 壓力容器, 2004, 21(8): 16–21.

[9]MACKERLE J. Finite element analysis of fastening and joining: A bibliography (1990–2002)[J]. The International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2003, 80(4): 253–271.

Research on calculation methods of cylindrical shell Deformation

ZHOU Hai-bo1, PENG Yun-fei1, WU Hong-min1, JI Fang2
(1. Wuhan Second Ship Design and Research Institute, Wuhan 430064, China; 2. China Ship Research and Development Academy, Beijing 100192, China)

Abstract:Calculation on the deformation of cylindrical shell is a key problem, analytical method, numerical method and semi-analytic method become effective method to solve these problems. Because of the complexity of ring-stiffened cylindrical shell,it is difficult to use analytical method, FEM becomes the representation of numerical method by the developing of computer technology. The stress condition of typical cylindrical shell was anslysed in this paper, and the FEM model was established. According to the contrast of analytical method and numerical method, The influence of different methods to the cylindrical shell deformation was analysed.

Key words:cylindrical shelldeformation；analytical method；numerical method

作者簡介:周海波(1987–)，男，工程師，研究方向?yàn)榇翱傮w設(shè)計(jì)。

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51409139）

收稿日期:2015–09–06； 修回日期: 2015–11–05

文章編號(hào)：1672–7619(2016)03–0001–04

doi：10.3404/j.issn.1672–7619.2016.03.001

中圖分類號(hào)：U661.44

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A