徐國(guó)曄 王兆浩

摘要：基于鄰域粗糙集模型和覆蓋粗糙集模型，分別構(gòu)造了兩類(lèi)擬陣結(jié)構(gòu)，即鄰域上近似數(shù)誘導(dǎo)的擬陣和覆蓋上近似數(shù)誘導(dǎo)的擬陣。一方面，通過(guò)廣義粗糙集定義了兩類(lèi)上近似數(shù)，并證明了它們滿(mǎn)足擬陣?yán)碚撝械闹裙?，從而由秩函?shù)的觀點(diǎn)出發(fā)得到了兩類(lèi)擬陣； 另一方面，利用粗糙集方法研究了這兩類(lèi)擬陣的獨(dú)立集、極小圈、閉包、閉集等的表達(dá)形式，說(shuō)明了粗糙集中的上近似算子與擬陣中的閉包算子的關(guān)系，進(jìn)一步通過(guò)探討覆蓋和擬陣的關(guān)系，得到了覆蓋中的元素及其任意并是由覆蓋上近似數(shù)誘導(dǎo)的擬陣的閉集。

關(guān)鍵詞：粗糙集；擬陣；覆蓋；鄰域；上近似數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：Based on neighborhoodbased rough set model and coveringbased rough set model， two matroidal structures which were matroid induced by neighborhood upper approximation number and matroid induced by covering upper approximation number were constructed. On one hand， two types of upper approximation number were defined through generalized rough set， and they were proven to satisfy rank function axiom in matroid theory， thus two types of matroids were obtained from the viewpoint of the rank function. On the other hand， some properties， such as independent sets， circuits， closures， closed sets， were proposed through rough set approach. Moreover， the concentions between upper approximation operators and closure operators were investigated. Futhuremore， the relationship between the covering and the matroid was studied. Result shows that elements and any union of them in covering are the closed sets of matroid induced by covering upper approximation number.

Key words：rough set； matroid； covering； neighborhood； upper approximation number

0 引言

粗糙集是1982年由Pawlak提出來(lái)的，主要解決信息系統(tǒng)中的粒度問(wèn)題，該理論是建立在等價(jià)關(guān)系或者劃分上的，核心概念是上下近似算子。目前該理論已被廣泛應(yīng)用于屬性約簡(jiǎn)[1]、規(guī)則提取、特征選擇等領(lǐng)域。但由于等價(jià)關(guān)系太過(guò)嚴(yán)格，一些學(xué)者對(duì)粗糙集進(jìn)行了推廣[2]。其中，基于鄰域的粗糙集和基于覆蓋的粗糙集就是經(jīng)典粗糙集的推廣形式，這些廣義粗糙集由于更具有一般性，因此近年來(lái)受到研究者的廣泛關(guān)注。

將其他理論，如模糊集、拓?fù)鋵W(xué)、格論等，融入到廣義粗糙集中，是粗糙集進(jìn)行推廣研究的一個(gè)重要方面。其中，研究粗糙集理論與擬陣?yán)碚摰慕Y(jié)合，既有重大的理論意義，又有深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義。擬陣是一種應(yīng)用型極強(qiáng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它已廣泛應(yīng)用于整數(shù)規(guī)劃、組合優(yōu)化、邏輯電路等領(lǐng)域。擬陣具有完備的理論體系和廣闊的應(yīng)用平臺(tái)。建立擬陣和廣義粗糙集的聯(lián)系，有利于充分利用擬陣的理論體系和應(yīng)用平臺(tái)來(lái)發(fā)展粗糙集，這對(duì)于進(jìn)一步發(fā)展粗糙集是有深遠(yuǎn)意義的。

擬陣可以由它的獨(dú)立集、基、極小圈、秩函數(shù)、閉包算子或閉集等唯一地確定。文獻(xiàn)[3-7]分別利用擬陣的獨(dú)立集公理[3]、基公理[4]、閉包公理[5-6]和閉集公理[7]研究了覆蓋粗糙集或鄰域粗糙集的擬陣結(jié)構(gòu)。本文從擬陣的秩函數(shù)出發(fā)，構(gòu)造了兩類(lèi)擬陣結(jié)構(gòu)，在廣義粗糙集理論中引入了擬陣。首先基于鄰域粗糙集和覆蓋粗糙集定義了上近似數(shù)，通過(guò)研究上近似數(shù)的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其滿(mǎn)足擬陣?yán)碚撝兄裙淼娜齻€(gè)條件，進(jìn)而由其作為秩函數(shù)誘導(dǎo)兩類(lèi)擬陣結(jié)構(gòu)； 其次討論了擬陣中獨(dú)立集、極小圈、閉包、閉集等特征； 最后研究了這兩類(lèi)擬陣結(jié)構(gòu)的一些其他性質(zhì)，進(jìn)一步揭示了覆蓋與擬陣的關(guān)系，即覆蓋中的元素及其任意并都是擬陣的閉集。

1 基本概念

1.1 粗糙集

命題23和注4說(shuō)明覆蓋中的元素及其任意并都是擬陣M（fTH）的閉集，然而反過(guò)來(lái)并不成立。因此很自然會(huì)考慮覆蓋滿(mǎn)足什么條件時(shí)，集合T={∪B|BC}滿(mǎn)足閉集公理，進(jìn)而由閉集出發(fā)考慮擬陣與粗糙集結(jié)合的問(wèn)題。

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了廣義粗糙集和擬陣之間的關(guān)系，構(gòu)造了覆蓋粗糙集和鄰域粗糙集下的兩類(lèi)擬陣結(jié)構(gòu)，并利用粗糙集的方法研究了這兩類(lèi)擬陣的特性。具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)定義上近似數(shù)，分別給出了由鄰域上近似數(shù)和覆蓋上近似數(shù)誘導(dǎo)的擬陣，得到了這兩類(lèi)擬陣的獨(dú)立集、極小圈、閉包、閉集等表達(dá)形式。討論了粗糙集中上近似算子與擬陣中閉包算子的關(guān)系，并研究了覆蓋和擬陣的關(guān)系。這些結(jié)果為進(jìn)一步豐富粗糙集的理論和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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