古力加馬力·依斯馬義

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，想要將微積分理論弄清楚，就必須要將極限理論進行透徹的分析.因此，在某種意義上，對極限理論的理解能夠為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).極限理論是一種研究事物動態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法，它是高等數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的重要組成部分，是區(qū)別初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志.極限理論在高等數(shù)學(xué)中扮演著極為重要的角色，對函數(shù)連續(xù)的概念、導(dǎo)數(shù)和微積分等定義的確定有著十分重要的作用.

一、極限理論的發(fā)展歷程

高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最為廣泛的一門學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高等數(shù)學(xué)要對靜態(tài)數(shù)量關(guān)系和動態(tài)數(shù)量關(guān)系進行研究和分析，在這一背景下，極限作為一種研究事物的方法應(yīng)運而生.在我國，無限分割是最早出現(xiàn)的極限思想，我國數(shù)學(xué)家劉徽提出了以割圓術(shù)的方法來求圓的面積，后來，數(shù)學(xué)家祖沖之也通過割圓術(shù)計算圓的面積，并將圓周率精確到小數(shù)點后7位.隨著歷史的推進，數(shù)學(xué)家波爾查諾最早提出用極限理論方法在區(qū)間上進行連續(xù)的方法，而經(jīng)過數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯和柯西的努力，極限理論擺脫了幾何直觀和想象，變得更加成熟，逐漸形成了現(xiàn)在一系列的極限理論.

二、極限理論在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.高等數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容中均包含著極限思想

在高等數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，微積分無疑是其最核心的內(nèi)容，而微分和積分的實質(zhì)就是極限思想.同時，在高等數(shù)學(xué)其他重要的概念里，函數(shù)連續(xù)概念和導(dǎo)數(shù)的定義都是極限思想給出.可以說，高等數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容中均包含著極限思想.

（1）函數(shù)連續(xù)概念. 函數(shù)連續(xù)的概念是由極限思想定義的.如果簡單地從圖形上來看，連續(xù)函數(shù)就像是坐落在坐標(biāo)系上的連綿山脈.但是這種直觀的感受并不精確，直到數(shù)學(xué)家柯西和維爾斯特拉斯建立了基本的極限理論，函數(shù)連續(xù)的概念才得到了精確的定義.可以說，函數(shù)連續(xù)概念也是極限理論的一種表現(xiàn)形式.

（2）導(dǎo)數(shù). 導(dǎo)數(shù)的定義以極限為基礎(chǔ)，也是極限理論的一種表現(xiàn)形式.在最初，一位法國數(shù)學(xué)家在研究極值問題時提出了導(dǎo)數(shù)的概念，而在之后的研究過程中，先后有德國數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家在求已知曲線的切線和研究物體運動速度時建立了相同的模型來解決問題.盡管這兩個研究課題在形式上并不相同，甚至不是同一個領(lǐng)域的問題，但是他們都可以在極限理論的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)的定義來解決問題.

（3）微積分. 積分有定積分、不定積分、多重積分和曲面積分等多種形式，不定積分是利用導(dǎo)數(shù)的反運算性質(zhì)來推導(dǎo)的定義，而導(dǎo)數(shù)又是以極限理論為基礎(chǔ)的.因此，不定積分也是極限理論的表現(xiàn)形式.另外，其他形式的一些積分形式都是由極限直接定義的.例如定積分的研究，數(shù)學(xué)家在研究曲邊梯形的面積和變力作功時，引入了定積分的定義，它是一種經(jīng)過“分割，近似求和，取極限”的求解方式，是一種較為特殊的極限.

2.極限使高等數(shù)學(xué)的各部分得到統(tǒng)一

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，極限方法是一種研究數(shù)學(xué)變量問題的基本方法，它使人們從有限認(rèn)識到無限認(rèn)識.在某種意義上，極限理論體現(xiàn)了常量和變量的對立統(tǒng)一，是一種將客觀世界的量變問題轉(zhuǎn)換成質(zhì)變過程的理論，它可以將函數(shù)連續(xù)概念、導(dǎo)數(shù)和微積分等高等數(shù)學(xué)的各部分進行統(tǒng)一處理.例如，在正項級數(shù)和極限的關(guān)系中，正項級數(shù)的序列成單增態(tài)勢，因此根據(jù)單調(diào)有界函數(shù)必有極限的性質(zhì)，在進行項級數(shù)討論時，學(xué)生可以利用取絕對值的方法，將其轉(zhuǎn)化成正項級數(shù)或非負(fù)項級數(shù)，并解出正確答案.

這說明級數(shù)與無窮限廣義積分之間可相互轉(zhuǎn)換.

由此可見，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個部分，都可以在極限的本質(zhì)“其差值為無窮小量”的基礎(chǔ)上來進行定義的轉(zhuǎn)換，極限理論的出現(xiàn)和使用，使高等數(shù)學(xué)的各部分有機地統(tǒng)一在一起，更好地幫助學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解.

綜上所述，極限理論是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中最基礎(chǔ)的知識，也是高等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容.極限理論為微積分的教學(xué)打下了堅實的基礎(chǔ)，它是一門以極限理論為主要研究工具來研究函數(shù)的學(xué)科.因此，教師在教學(xué)過程中要注重對學(xué)生極限思考的鍛煉，幫助學(xué)生理清極限理論的重要概念，使學(xué)生能夠掌握極限理論的實質(zhì)性問題，從而更好地強調(diào)極限理論在高等數(shù)學(xué)中的地位.