付春紅

【摘 要】在實(shí)際教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)遭遇“理想與現(xiàn)實(shí)”的尷尬窘?jīng)r：學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)后，往往學(xué)起來(lái)感覺(jué)很容易，但真正在解決問(wèn)題時(shí)又顯得很困難，形成了極大的效果反差。因此，教師在教學(xué)中要真正順應(yīng)學(xué)生的思維，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑。通過(guò)以學(xué)生用“平均數(shù)”解決問(wèn)題的路徑為研究點(diǎn)，充分展示學(xué)生的思考路徑，以此為“磚”，引發(fā)思考，提出課堂教學(xué)要關(guān)注學(xué)生思考問(wèn)題的方式和路徑，發(fā)出了“順應(yīng)學(xué)生思維”架構(gòu)課堂的聲音。

【關(guān)鍵詞】平均數(shù) 解決問(wèn)題 思考路徑

“平均數(shù)”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，是統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域中的一個(gè)重要的概念。在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在理解“平均數(shù)”的概念、計(jì)算平均數(shù)時(shí)總是能夠做到輕而易舉、百發(fā)百中，可是在應(yīng)用這個(gè)概念解決問(wèn)題時(shí)卻又不盡如人意。盡管我們?yōu)閷W(xué)生提供了、講解了、鞏固了一個(gè)又一個(gè)的優(yōu)質(zhì)方法，可一部分學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)依然不知所措，離我們的理想相去甚遠(yuǎn)。這么大的效果反差，引起了我們的思考：是教學(xué)方法出了問(wèn)題？是我們不了解學(xué)生？是我們的方法不夠優(yōu)質(zhì)？……學(xué)生在解決與這個(gè)概念相關(guān)的問(wèn)題時(shí)思考的路徑是怎樣的呢？帶著這些問(wèn)題，我們利用一道題目對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行了深度的探尋。

測(cè)試題目：

此題的設(shè)計(jì)沒(méi)有評(píng)價(jià)學(xué)生是否會(huì)計(jì)算平均數(shù)，而是把評(píng)價(jià)的目標(biāo)放在了對(duì)平均數(shù)意義的理解上，通過(guò)對(duì)平均數(shù)意義的理解來(lái)解決問(wèn)題。此題正確率為75.09%。學(xué)生是怎樣思考的呢？為了更好地展示“冷靜”數(shù)據(jù)背后的“火熱”，我們對(duì)120名學(xué)生進(jìn)行了追蹤，現(xiàn)將學(xué)生的思考過(guò)程展示出來(lái)，并進(jìn)行學(xué)生學(xué)習(xí)路徑分析。

路徑一：假設(shè)法，確定平均數(shù)。

在參與調(diào)研的120名學(xué)生中，有10名學(xué)生采用了假設(shè)的方法來(lái)解決問(wèn)題。

從圖上我們可以看出，面對(duì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的入手點(diǎn)，都是根據(jù)要求將小麗和小東設(shè)成符合條件（在11～29之間）的數(shù)，再求平均數(shù)。雖然學(xué)生在設(shè)數(shù)的過(guò)程中有所不同：有的學(xué)生設(shè)一個(gè)大數(shù)、一個(gè)小數(shù)；有的學(xué)生設(shè)成兩個(gè)比較大的數(shù)；有的學(xué)生則設(shè)的是兩個(gè)數(shù)之間的平均數(shù)，但是用的都是假設(shè)法，都是在通過(guò)對(duì)求平均數(shù)的方法的重現(xiàn)解決問(wèn)題。那學(xué)生是怎么想到要用到假設(shè)法的呢？為了了解學(xué)生的真實(shí)想法，我們對(duì)其中的1名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研。

師：你是怎么解答這道題目的？

生：我是先把每個(gè)數(shù)都寫(xiě)出來(lái)，然后加起來(lái)，再除以幾個(gè)人的數(shù)就行了。

師：你是怎樣想到要這樣做的？

生：因?yàn)榍笃骄鶖?shù)就是要先把這幾個(gè)人的數(shù)加起來(lái)，然后再除以這幾個(gè)人。

師：你對(duì)計(jì)算平均數(shù)方法很熟悉，可是我們題目中沒(méi)有把每個(gè)數(shù)都說(shuō)出來(lái)，你怎么能算出平均數(shù)呢？

生：雖然沒(méi)給數(shù)，可是題目中說(shuō)了“小麗和小東踢的個(gè)數(shù)比小華少，比小剛多”，所以我就按照要求先把小麗和小東的數(shù)都假設(shè)成一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)比29少比11多就行了，這樣就能列算式計(jì)算了。

通過(guò)對(duì)話可以看出，學(xué)生對(duì)計(jì)算平均數(shù)的方法的掌握還是很牢固的，他們?cè)噲D通過(guò)已知的計(jì)算方法找到解題思路。在這個(gè)學(xué)生的心目中，要計(jì)算平均數(shù)就要先有數(shù)據(jù)，題目中沒(méi)有直接給出數(shù)據(jù)，那么就要根據(jù)給出的信息找到一個(gè)符合條件的數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算出確切的數(shù)值進(jìn)行選項(xiàng)的判斷。

路徑二：移多補(bǔ)少，確定平均數(shù)。

在被追蹤的120名學(xué)生中有30人采用了這個(gè)方法， 比較典型的方法如下：

從圖上我們可以直觀地感受到學(xué)生在嘗試運(yùn)用“移多補(bǔ)少”的方法解決問(wèn)題，他們是怎樣想到的呢？帶著這個(gè)疑問(wèn)我們對(duì)圖4這個(gè)學(xué)生進(jìn)行了追蹤訪談。

師：讓你找到他們的平均數(shù)，你這是干嘛呢？（手指里面的加法和減法算式）

生：我想把多的給少的，這樣就能找到平均數(shù)。

師：你是怎樣想到要這樣做的呢？

生：在上課時(shí)，老師給我們講平均數(shù)時(shí)就是這樣找的。

師：怎樣找的？

生：就是移多補(bǔ)少找的，那時(shí)候是說(shuō)水深的事情，把高處的土移到低處去，然后河的底下就平了，老師告訴我們這個(gè)平的河底的水深就是平均數(shù)。

師：看來(lái)移多補(bǔ)少在你心中留下了深刻印象，可是這道題中小麗和小東的條形都是空的，你怎么還能夠通過(guò)移多補(bǔ)少找到他們平均數(shù)的范圍呢？

生：這里38是最大的，所以肯定得給最少的小剛補(bǔ)上，給他9個(gè)，就是29個(gè)了，而小剛得到后才18個(gè)，小麗和小東在29和11之間，再怎么移多補(bǔ)少，他們幾個(gè)人的平均數(shù)也是比29少，比11多，所以能夠確定他們的平均數(shù)在11～29之間。

師：你說(shuō)小紅給小剛9個(gè)，小剛才18個(gè)，為什么要加上一個(gè)‘才字，你想說(shuō)明什么？

生：就是給完了也是少，其他的再怎么勻乎勻乎還是在這個(gè)范圍內(nèi)。

我們都清楚地知道，對(duì)于平均數(shù)可以簡(jiǎn)單地理解為：平就是拉平，均就是相等。即幾個(gè)不相等的數(shù)在“和”不變的情況下，通過(guò)移多補(bǔ)少而變得相等，這個(gè)相等的數(shù)就是平均數(shù)。這樣一個(gè)抽象的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)對(duì)課堂學(xué)習(xí)情景的再現(xiàn)，把移多補(bǔ)少的過(guò)程巧妙地遷移到了這道題中。正是對(duì)“學(xué)習(xí)過(guò)程”的生動(dòng)再現(xiàn)與巧妙遷移，才使得他們?cè)诮鉀Q這樣一道看似“無(wú)法”的問(wèn)題時(shí)多了一條路徑。

路徑三：意義加特點(diǎn)，確定平均數(shù)

平均數(shù)介于最大數(shù)和最小數(shù)之間，能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，是一個(gè)虛擬的數(shù)。依據(jù)平均數(shù)的這一意義、特點(diǎn)，學(xué)生能否尋找到解決問(wèn)題的路徑呢？

通過(guò)追蹤我們發(fā)現(xiàn)，120名學(xué)生中有80人采用了這個(gè)方法，通過(guò)對(duì)比，我們找到了2個(gè)最具有代表性的學(xué)生的作品。

針對(duì)其中的2名學(xué)生我們進(jìn)行了訪談。

訪談一：針對(duì)圖6學(xué)生的訪談。

師：題目讓你們找到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，你也沒(méi)有計(jì)算的過(guò)程，也沒(méi)有找全這組數(shù)據(jù)，怎么就準(zhǔn)確地說(shuō)出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是在11～29之間。

生：因?yàn)槠骄鶖?shù)就是一個(gè)平均情況，是這組數(shù)據(jù)的一個(gè)情況（學(xué)生對(duì)于整體情況這件事雖然不會(huì)準(zhǔn)確描述，但是能夠感受到平均數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵）。從題中可以看出小麗和小東都在29以下，11以上，所以這組數(shù)據(jù)中雖然有1個(gè)人是38個(gè)比較大，但是其他4人都比38少很多，這樣一看，不用算也知道整體上不會(huì)超過(guò)29，也不會(huì)比11少，所以我認(rèn)為應(yīng)該選擇A。

由這個(gè)學(xué)生的回答，我們可以清楚地感受到“平均數(shù)反映的是這組數(shù)據(jù)的總體情況”這件事已經(jīng)在他的心目中生根發(fā)芽，應(yīng)用起來(lái)也是得心應(yīng)手。

圖7學(xué)生解決問(wèn)題的方式似乎和圖6學(xué)生相同，但是他的表達(dá)方式似乎更加抽象一些，他又是怎樣想的呢？下面是我們的訪談實(shí)錄。

訪談二：針對(duì)圖7學(xué)生的訪談。

師：這道題讓你找到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，你怎么就寫(xiě)了一個(gè)大部分就知道了，這個(gè)大部分是什么意思？

生：因?yàn)槠骄鶖?shù)是一組數(shù)據(jù)的情況，是這些數(shù)據(jù)勻乎完了的數(shù)值，在這幾個(gè)人中，就一個(gè)38比較大，其他的數(shù)好幾個(gè)都是11～29之間的數(shù)，就是小紅一人多點(diǎn)，她一人給他們勻乎也勻不了多少，也不能改變什么。所以說(shuō)，他們的總體情況還是不會(huì)變什么，得聽(tīng)大多數(shù)的，所以選擇A。

師：你說(shuō)的聽(tīng)大多數(shù)的是不是就是你題中寫(xiě)的——

生：大部分。

師：是永遠(yuǎn)都聽(tīng)大部分的嗎？這個(gè)少數(shù)人就不起任何作用嗎？

生：小紅雖然多，但是只是一點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)整體不起太大作用，改變不了什么。

師：你覺(jué)得什么時(shí)候會(huì)改變點(diǎn)什么？

生：除非她特別多或者特別少，才能把那些“大部分”變大或者變小。

通過(guò)對(duì)圖6和圖7兩位同學(xué)的訪談我們可以看出，對(duì)于平均數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵：在最大數(shù)和最小數(shù)之間，較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，并且能夠運(yùn)用這個(gè)特性正確分析數(shù)據(jù)特點(diǎn)，靈活解決問(wèn)題。

通過(guò)對(duì)上面這3種路徑的分析，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，或是根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行數(shù)據(jù)的假設(shè)，或是根據(jù)平均數(shù)得來(lái)的過(guò)程進(jìn)行數(shù)據(jù)的“拼補(bǔ)”，或是根據(jù)對(duì)平均數(shù)意義的理解進(jìn)行推測(cè)，不同特質(zhì)的學(xué)生采用了不同的解決問(wèn)題的路徑。但是這些方法沒(méi)有一個(gè)是教師手把手教的，而是學(xué)生在對(duì)基本概念理解的基礎(chǔ)上的一種“獨(dú)創(chuàng)”的“好”方法，學(xué)生的學(xué)習(xí)有自己的思維路徑。

回想我們的課堂教學(xué)，我們很少真正思考學(xué)生需要的是什么？他們自己有哪些更好的方法和策略？我們總想著塞給學(xué)生一個(gè)更好的策略或者思路，總想著幫助學(xué)生盡早地?fù)駜?yōu)一下，總想著拽著學(xué)生跳過(guò)溝壑，少走彎路。費(fèi)盡心機(jī)、嘔心瀝血后，一旦放手，學(xué)生仍然不能很好地解決問(wèn)題，我們不由得仰天長(zhǎng)嘆：怎么就教不會(huì)呢？其實(shí)是我們不會(huì)教。從今天的學(xué)生研究中我們看出，不同特質(zhì)的學(xué)生自己會(huì)去尋找不同路徑，尋找一條適合自己的“出路”。而我們的手把手的背后，是對(duì)學(xué)生思維的禁錮。

有了這樣的學(xué)生研究，我們才真正讀懂了探求學(xué)生內(nèi)心世界的重要?；貧w學(xué)生的內(nèi)心世界，重構(gòu)我們的課堂教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)：與其費(fèi)盡心機(jī)讓學(xué)生理解我們的想法，不如順其自然和學(xué)生一起走在數(shù)學(xué)的路上，順應(yīng)學(xué)生的思維，嘗試接納他們的想法，站在他們的角度巧妙引導(dǎo)，我們也許會(huì)收獲得更多。

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