楊敏

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類討論思想.所謂分類思想，就是將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解；當(dāng)問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一類分別剖析，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類所得結(jié)果得到整個問題的解答.所謂分類討論就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的過程.

事實證明，分類的優(yōu)劣不僅決定著解法的簡繁，而且直接影響解題的成敗.不同的分類， 解題過程的簡繁也是不一樣的，它取決于分類的標(biāo)準(zhǔn).分類討論一般分為四步：第一，明確討論的對象，即對那個參數(shù)進行討論；第二，對所討論的對象進行合理分類，分類時做到不重復(fù)，不遺漏，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，分層不越級；第三，逐類討論，即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決；第四，歸納總結(jié)，將各類情況總結(jié)歸納.

顯然，明確分類討論的原因，將有利于運用分類討論的思想方法來解決問題.筆者經(jīng)過長期的教學(xué)實踐將分類討論的主要原因初步歸類為以下五個方面：（1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；（2）由數(shù)學(xué)運算引起的分類討論；（3）由定理，公式的限制引起的分類討論；（4）由圖形的不確定性引起的分類討論.下面通過具體的實例說明分類討論在解題中的運用.

一、概念引起分類討論

有些數(shù)學(xué)概念本身就是以分類形式定義的，有些數(shù)學(xué)概念自身就有一定的限制，解題就是以所定義的概念為依據(jù)來進行分類討論，下面略舉幾種情況.

1.根據(jù)絕對值定義去掉絕對值符號時，分情況討論：

例1若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，則（m+n）2=.

解析因為|m|=4，|n|=3，所以m=±4，n=±3.又因為|m-n|=n-m，所以n-m≥0，n≥m.當(dāng)n=3時，m可能取的值為-4，結(jié)果為1；當(dāng)n=-3時，m可能取值為-4，則結(jié)果為49，所以（m+n）2=49或1.

例2已知直線y=3x+b與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為6，則此直線解析式為.

解由題意得：點A坐標(biāo)為（-b3，0），點B為（0，b）.

所以12OA·OB=6，

即12|-b3|·|b|=6，

所以|b2|=36，b=±6.

所以此直線解析式為y=3x-6或y=3x+6.

評注絕對值概念是一個需要分類討論的概念，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤.當(dāng)遇到函數(shù)問題時，首先要考慮到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，其次對絕對值問題要考慮到分類討論.

二、運算引起的分類討論

例3已知等腰三角形的一內(nèi)角為70°，求其余兩個內(nèi)角.

分析已知等腰三角形的一個內(nèi)（外）角（未指明頂角還是底角的情況下），應(yīng)分兩種情況進行討論.

解（1）當(dāng)頂角為70°時；其余兩角為55°，55°；

（2）當(dāng)?shù)捉菫?0°時，其余兩角為70°，40°；

所以該等腰三角形其余兩角為55°，55°或70°，40°.

例4若關(guān)于x的分式方程x-ax-1-3x=1無解，則a=.

簡解去分母得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理得（a+2）x=3.

（1）當(dāng)a+2=0，即a=-2時，新方程無解，那么原方程也一定無解.

（2）當(dāng)a≠-2時，得x=3a+2.此解為原方程增根時，原方程也無解.

①當(dāng)x=3a+2=0時，a值不存在；

②當(dāng)x=3a+2=1時，得a=1.

綜上所述，當(dāng)原方程無解時，a的值為-2或1.

應(yīng)注意的是：一道題目是否需要討論，什么時候討論，并不是看題目中是否含有參數(shù)，而是看它是否影響繼續(xù)解題.有些題目一開始就要進行分類討論，有些題目則是在解題過程中進行討論，甚至可以回避討論.

三、定理、公式引起的分類討論

數(shù)學(xué)中的一些公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情形未必成立.這也是造成分類討論的原因，因此在解題時，應(yīng)注意挖掘這些個別情形進行分類討論.常見的個別情形有：

“方程ax2+bx+c=0有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為Δ=b2-4ac≥0時忽略了個別情形：當(dāng)a=0時，方程有解不能用Δ≥0.因而二次項系數(shù)含字母時，常按字母系數(shù)是0和不是0兩種情況討論.

例5如果關(guān)于x的方程k2x2-（2k+1）x+1=0有實數(shù)根，那么k的取值范圍是

A.k>-14B.k>-14且k≠0

C.k<-14D.k≥-14且k≠0

評注由于x的方程沒有明確是一元二次方程，還是一元一次方程，這就需要分類討論，恰恰學(xué)生由于思維定勢，習(xí)慣上把它看作一元二次方程而致錯.

四、由圖形的不確定性引起的分類討論

如平面幾何中線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系均有多種可能，研究各元素間的位置關(guān)系時，要注意每一個位置關(guān)系都不可遺漏，對于多種可能的情況必須分開來進行研究.

例6已知點P到⊙O的最大距離為8，最小距離為2，則⊙O的半徑為.

分析本題沒給出圖形，點P可能⊙O在外，也可能在⊙O內(nèi)，所以必須進行分類討論.

如圖2點P在⊙O外，半徑為3，如圖3點P在⊙O內(nèi)，半徑為5.

評注在沒有幾何圖形的題目中，要利用分類的思想方法，正確畫出各種可能的圖形，逐一進行詳細(xì)的解答.涉及點、線關(guān)系時，往往分和點在直線上和點在直線外兩種情況討論.

分類討論的過程是同中求異和異中求同兩種思維方式的有機結(jié)合，要抓住問題涉及對象的不同點，分為既不重復(fù)又不遺漏的幾類，分別討論，是同中求異的過程；然后將各類情況的共同特征加以綜合，得出結(jié)論，這是異中求同的過程.通過分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，我們今后在解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)條件或結(jié)論不明確，當(dāng)圖形不確定，當(dāng)題目中含有參數(shù)或隱含條件等等都應(yīng)分類討論.這種討論一方面可以將復(fù)雜的問題分成若干個簡單的問題（即“化整為零”），另一方面可避免漏解、誤解、錯解（即“各個擊破”），從而使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答.這不僅有利于提高學(xué)生對學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣和解題技能，同時也是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的條理性、縝密性、科學(xué)性的有效途徑.

課堂教學(xué)是實施素質(zhì)教育的主陣地，常言道“授之以魚，不如授之以漁”.實踐證明，把某種數(shù)學(xué)思想方法（知識形態(tài)的）象知識一樣傳授給學(xué)生，再通過學(xué)生的思維過程來理解它，檢驗它，豐富它，運用它，發(fā)展形成為認(rèn)識形態(tài)的觀念，直至上升為理性的哲學(xué)觀念，才能使學(xué)生受益終生.