王長青, 杜崇剛, 李愛軍, Z.H.Zhu

(1.西北工業(yè)大學, 陜西 西安　710072; 2.York University, Toronto M3J 1P3)

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繩系衛(wèi)星釋放階段的空間姿態(tài)非線性穩(wěn)定控制

王長青1, 杜崇剛1, 李愛軍1, Z.H.Zhu2

(1.西北工業(yè)大學, 陜西 西安710072; 2.York University, Toronto M3J 1P3)

摘要：主要考慮繩系衛(wèi)星釋放階段的姿態(tài)運動對空間系繩系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。基于歐拉-牛頓法建立繩系衛(wèi)星的姿態(tài)動力學與運動學方程，研究了釋放階段系繩與衛(wèi)星之間固定點存在靜態(tài)不對稱性時,衛(wèi)星姿態(tài)的穩(wěn)定性。為抑制釋放階段衛(wèi)星姿態(tài)運動對系繩系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的不利影響，設計了一種基于Lyapunov函數(shù)方法的非線性姿態(tài)控制器。數(shù)值仿真及分析驗證了該控制器可實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)的穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞：繩系衛(wèi)星；釋放；姿態(tài)控制；Lyapunov函數(shù)

空間系繩系統(tǒng)是指利用系繩將2個或多個衛(wèi)星相連所形成的系統(tǒng)[1]，可用于清除空間碎片，產(chǎn)生推力，進行微重力環(huán)境下的科學實驗等[2-4]。近50年來，空間系繩系統(tǒng)以其獨特優(yōu)勢得到廣泛關(guān)注，許多學者對其動力學與控制問題進行了廣泛而深入的研究[1,5]。在空間系繩系統(tǒng)整體的動力學與控制的研究領(lǐng)域，一般將繩系衛(wèi)星視為質(zhì)點，忽略其姿態(tài)運動[6]。但在實際任務中，衛(wèi)星的姿態(tài)運動可能會對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。例如，OEDIPUS-A實驗中，繩系衛(wèi)星在系繩釋放階段出現(xiàn)了不期望產(chǎn)生的空間姿態(tài)運動[7]。再入角是衛(wèi)星返回地球成功與否的最主要影響因素[8]，系繩釋放階段產(chǎn)生的衛(wèi)星姿態(tài)運動有可能影響其再入角，使繩系衛(wèi)星不能按預定軌跡再入，造成任務失敗。此外，其姿態(tài)運動也可能導致系繩纏繞衛(wèi)星，使衛(wèi)星之間分離初始階段的安全條件無法保證。因此，有必要研究系繩釋放階段衛(wèi)星姿態(tài)運動對繩系衛(wèi)星系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，以及衛(wèi)星姿態(tài)運動的穩(wěn)定控制。

許多學者用不同方法對這一問題進行了卓有成效的研究。例如，朱仁璋等[9]建立了考慮衛(wèi)星尺寸的空間系繩系統(tǒng)復雜動力學模型，研究了狀態(tài)保持階段衛(wèi)星的振蕩與姿態(tài)運動。王曉宇等[10]建立了計入衛(wèi)星姿態(tài)的系繩系統(tǒng)非線性動力學模型，研究了狀態(tài)保持階段系統(tǒng)的動力學行為。Lemke等[11]提出通過移動系繩固定點來實現(xiàn)系繩系統(tǒng)姿態(tài)穩(wěn)定的方法。文浩等[12]考慮帶可控臂機械臂的系繩系統(tǒng)面內(nèi)運動，使用非線性最優(yōu)控制理論研究了釋放階段衛(wèi)星姿態(tài)的控制問題。黃靜等[13]研究了旋轉(zhuǎn)二體繩系衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制問題，提出了一種分布式魯棒最優(yōu)控制方法。Zabolotnov等[14]研究了系繩釋放階段的衛(wèi)星空間姿態(tài)運動，分析了影響衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定的主要擾動。本文側(cè)重于研究系繩釋放階段，衛(wèi)星姿態(tài)運動對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。在衛(wèi)星釋放階段，由于給定系繩張力控制律的作用，易產(chǎn)生較大的衛(wèi)星姿態(tài)運動，使得系繩完成釋放時，衛(wèi)星的姿態(tài)較難控制；即使可以控制，也需消耗較多能量。因此，本文基于以上情況提出了一種實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定的控制算法。然后設計了一種簡單、高效，基于Lyapunov函數(shù)方法的繩系衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定的控制算法，便于在星上實現(xiàn)。最后，數(shù)值仿真驗證了該控制器的有效性。

1空間系繩系統(tǒng)衛(wèi)星姿態(tài)動力學模型

考慮如圖1所示的空間系繩系統(tǒng)模型，其由母

星與子星通過系繩相連組成。本文中建模需使用子星本體坐標系cxyz與系繩坐標系cxtytzt，2種坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系在圖2中表示。子星本體坐標系cxyz中，c為子星的質(zhì)心，各軸與中心主慣性軸一致。系繩坐標系cxtytzt中，原點c在子星的質(zhì)心處，cxt軸與系繩上張力的方向平行，cxtyt平面與系繩釋放方向和系繩固定點確定的平面平行，zt軸與其他兩軸滿足坐標系右手定則。子星相對于系繩方向的空間位置由歐拉角α、ψ和φ確定。其中，α為子星本體坐標系縱軸cx與系繩方向之間的章動角；ψ為子星縱軸cx繞系繩方向旋轉(zhuǎn)的進動角；φ為子星繞縱軸cx的自旋角。

圖1　空間系繩系統(tǒng)模型

圖2　系繩坐標系與本體坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

為簡化分析過程，考慮如下假設：

1) 母星在圓軌道上運行，其質(zhì)量遠大于子星質(zhì)量，系繩向下釋放；

2) 除系繩上張力產(chǎn)生的張力力矩外，不考慮其他外部干擾力矩；

3) 忽略系繩坐標系cxtytzt的空間運動，假設子星為動力學對稱的球形剛體；

4) 由于系繩釋放較長，忽略母星對子星空間姿態(tài)的影響；

5) 子星的空間姿態(tài)可控，且控制器只產(chǎn)生控制力矩，不產(chǎn)生力。

子星的空間姿態(tài)運動指的是其繞自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，根據(jù)前面的假設，子星為剛體，因此其姿態(tài)動力學方程可直接根據(jù)動量矩定理得到，有如下形式

(1)式中:I為子星的主慣性矩;ω為子星的空間轉(zhuǎn)動角速度;Mt為子星受到的張力力矩。

由于子星本體坐標系cxyz各軸與中心主慣性軸一致,因此可將(1)式在子星本體坐標系cxyz各軸上的投影寫出

(2)式中,Ix、Iy和Iz為子星的主慣性矩I在子星本體坐標系cxyz各軸上的投影;ωx、ωy和ωz為子星空間轉(zhuǎn)動角速度ω在子星本體坐標系cxyz各軸上的投影;Mtx、Mty和Mtz為子星受到的張力力矩Mt在子星本體坐標系cxyz各軸上的投影。Mt由下式確定

(3)

圖3　系繩固定點不在子星軸cx時的示意圖

為了描述子星姿態(tài)的運動學方程,本文采用歐拉——牛頓法建立運動學方程,根據(jù)圖2在系繩坐標系cxtytzt下寫出子星姿態(tài)的運動學方程

(4)由于系繩在釋放階段與子星除固定點外沒有其他接觸,根據(jù)子星幾何形狀,當子星為接近球形或者球形時,章動角α不可能超過90°。因此本文采用歐拉角表示的子星姿態(tài)運動學方程不存在章動角奇異的情況。

2空間系繩系統(tǒng)模型及系繩釋放階段控制律

為表示系繩釋放階段空間系繩系統(tǒng)的運動,本文使用文獻[15]中的系統(tǒng)模型,其動力學方程如(5)式所示。

3Ω2sinθcosθcos2β

(5)

式中,L為系繩釋放長度,θ為系繩相對地垂線的面內(nèi)偏角,β為面外偏角,Ω為母星沿圓軌道運動的角速度,T為系繩張力。

本文對上述模型采用文獻[15]給出的兩階段張力控制律的改進形式控制系繩釋放。第1階段系繩以較低速度釋放,最終釋放一定長度,實現(xiàn)母星與子星的安全分離。使用的控制律如下

(6)式中:m為子星質(zhì)量;L0為第1階段釋放的最終長度;a、b和c為控制律的參數(shù)。

第2階段系繩以較大速度先加速后制動釋放到預定的長度,最終的釋放速度為零。使用如下的改進繼電控制律

(7)

式中:Tmin和Tmax為釋放階段設定的最小和最大張力值;t1n和t2n為切換時間;kn和km確定切換的平滑性;t1、t2、T1和Tk為控制參數(shù)。兩階段張力控制律在控制系繩按預定要求釋放的同時,也在子星上產(chǎn)生張力力矩擾動。因此有必要對子星受到的張力力矩擾動進行抑制。

3子星姿態(tài)穩(wěn)定控制器的設計

系繩釋放階段,子星姿態(tài)穩(wěn)定控制的預期是使子星在受到擾動力矩作用時仍可實現(xiàn)自身姿態(tài)的穩(wěn)定。本文中子星受到的擾動為系繩張力力矩,為體現(xiàn)控制器在其他擾動存在時的效果,設計控制器時不考慮張力力矩擾動。下面給出實現(xiàn)子星姿態(tài)穩(wěn)定的控制器。

定理1如果使用下列控制器

(8)

那么系統(tǒng)(2)和(4)滿足Lyapunov穩(wěn)定性理論,是穩(wěn)定的。式中,kx、ky和kz是選取的正參數(shù)。

(9)

對(9)式關(guān)于時間求導得:

(10)

將(2)式和(4)式代入(10)式整理之后得:

(11)

將(8)式代入(11)式有:

因此,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,定理得證。

本文中,系繩釋放階段需要對子星進行連續(xù)的姿態(tài)穩(wěn)定控制。因此,設計出的控制器可以以磁力矩器來實現(xiàn)。

4數(shù)值仿真分析

4.1仿真條件

給定釋放初始軌道高度為300km,地球引力常數(shù)μ=398 600km3/s2,平均半徑R0=6 371.02km。母星與子星之間的初始距離為0.1m,初始分離速2.5m/s。系繩第1階段最終釋放長度L0=3km,系繩最終釋放30km。最終系繩相對地垂線的面內(nèi)偏角為-56°,面內(nèi)角速度為0s-1;面外偏角和角速度都為0。張力控制律中的系數(shù)使用下山單純形法可優(yōu)化求解得到(見表1)。

子星轉(zhuǎn)動慣量,Iy=Iz=0.32km·m2,子星半徑R=0.2m。子星姿態(tài)角的初始擾動為α(0)=25°,φ(0)=ψ(0)=0°。子星本體坐標系cxyz三軸上的角速度初始擾動為ωx(0)=0.01s-1,ωy(0)=ωz(0)=0s-1。取控制器中的正參數(shù)kx=ky=kz=1。

4.2仿真結(jié)果與分析

首先不引入控制器,只考慮系繩釋放階段張力力矩擾動下,子星的空間姿態(tài)運動。當Δ=0時,系繩固定點在子星縱軸cx上,子星章動角α的變化趨勢如圖4所示;當Δ=0.02 m時,系繩固定點不在子星縱軸cx上,子星章動角α的變化趨勢如圖5所示。

對比圖4和圖5,系繩釋放階段,子星的姿態(tài)角α隨著靜態(tài)誤差Δ增大(系繩固定點與縱軸cx直接距離的增大),也相應增大。因此,系繩釋放階段,Δ是不希望存在的。但在衛(wèi)星實際制造時,系繩固定點不一定在子星縱軸cx上,難免產(chǎn)生誤差。因此本文對Δ≠0的情況下,子星的姿態(tài)運動進行分析和控制研究。

只考慮Δ=0.02 m空間系繩系統(tǒng)系繩釋放階段系繩張力力矩擾動作用下,子星的姿態(tài)運動。仿真結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖4　Δ=0 m時章動角的變化曲線　　　圖5　Δ=0.2 m時章動角的變化曲線　　　圖6　進動角和自旋角的變化曲線

圖5和圖6給出系繩釋放階段,子星受到張力力矩的擾動后,姿態(tài)角的變化曲線。給定章動角α初始擾動為25°時,隨著系繩的釋放,α在0～50°之間劇烈振蕩,且振蕩最劇烈發(fā)生在系繩快速釋放階段。通過對比圖5章動角α的變化和圖7中的張力T的變化,可發(fā)現(xiàn)章動角和張力之間存在反比例對應關(guān)系,張力減小時章動角振蕩幅度增加,張力恒定時章動角振蕩振幅也恒定,張力急劇減弱時章動角振幅急劇增加。給定進動角ψ和自旋角φ的初始擾動為0°時,ψ先減小到-30°,之后一直增加,系繩釋放結(jié)束時為140°;φ先增加到60°,之后一直減小,系繩釋放結(jié)束時為-50°;進動角和自旋角的最小和最大值基本上同時出現(xiàn)。姿態(tài)角在系繩釋放階段的劇烈振蕩,可能導致系繩纏繞子星,破壞母星與子星分離時的安全條件。此外,系繩釋放結(jié)束時,較大的姿態(tài)角,會使子星姿態(tài)運動失穩(wěn)。因此,有必要對系繩釋放階段的子星姿態(tài)運動進行穩(wěn)定控制。

表1　控制律的參數(shù)值

圖7　系繩長度與張力變化曲線　　　圖8　系繩張力力矩變化曲線　　　圖9　加入控制后章動角的變化曲線

圖7給出了系繩釋放長度與張力變化的趨勢,系繩最終釋放30km,張力的最大值在2N附近,且系繩釋放長度與張力的變化基本成正比關(guān)系。圖8給出系繩釋放階段,張力力矩隨時間變化的曲線。張力力矩與圖7中張力成正比。張力增大時,子星本體坐標系cxyz 3個方向上的張力力矩也隨之劇烈振蕩,總的趨勢也為增大;張力基本不變時,張力力矩振蕩幅度也很小,基本不變。cx軸向的張力力矩在0附近隨著張力變化而振蕩變化;cy和cz方向的張力力矩基本關(guān)于0對稱,隨著張力增大振蕩變化,最值為0.035N·m附近。

在(2)式中引入基于Lyapunov函數(shù)方法設計的姿態(tài)控制器,對系繩釋放階段子星姿態(tài)進行穩(wěn)定控制,數(shù)值仿真結(jié)果如圖9～圖12所示。

引入控制力矩之后,系繩的釋放長度和張力沒變化。圖9給出了給定章動角初始擾動25°時,隨著系繩釋放,張力值發(fā)生變化,章動角一直下降,最終在15s左右時達到穩(wěn)定狀態(tài);圖10給出進動角和自旋角初始擾動0°時,在初始2s一直增加,達到0.001 5°左右,之后一直振蕩下降,最終在12s左右穩(wěn)定。張力力矩在系繩釋放階段雖然對子星姿態(tài)一直存在擾動作用,但在加入姿態(tài)控制器之后,姿態(tài)角在15s左右都很好的收斂到穩(wěn)定狀態(tài)附近,消除了系繩的劇烈振蕩,避免了系繩纏繞子星,系繩所受應力超過強度極限造成斷裂,使系統(tǒng)失效的情況發(fā)生。

圖11給出了加入控制器后張力力矩的變化曲線。與圖8對比,張力力矩在子星本體坐標系cxyz三軸方向劇烈振蕩的情況消失,cy和cz方向上張力力矩變化的趨勢對稱。圖12給出控制力矩對時間的響應曲線,控制力矩主要作用在前20s,最大值大約為0.6N·m。因此,系繩釋放階段對子星的空間姿態(tài)進行控制,可在初始階段快速穩(wěn)定子星姿態(tài),能量消耗很少。系繩釋放階段,子星空間姿態(tài)的穩(wěn)定,為空間系繩系統(tǒng)相關(guān)任務的成功進行提供了保證。

圖10　　　　加入控制后進動角和　　　圖11　　　　加入控制后張力力矩的圖12　控制力矩的變化曲線　　　自旋角的變化曲線　　　變化曲線

5結(jié)論

本文考慮了空間系繩系統(tǒng)系繩釋放階段，子星的空間姿態(tài)運動對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。基于歐拉-牛頓法建立了繩系衛(wèi)星姿態(tài)運動學與動力學方程，研究了系繩與衛(wèi)星之間固定點存在靜態(tài)不對稱性時，衛(wèi)星姿態(tài)運動的穩(wěn)定性。為消除釋放階段衛(wèi)星姿態(tài)運動對系繩系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的不利影響，設計了一種基于Lyapunov函數(shù)方法的非線性姿態(tài)控制器。由于對衛(wèi)星姿態(tài)運動學與動力學方程沒有進行線性化與解耦，姿態(tài)控制器的能量消耗很少，因此實際應用中有很大的使用價值。仿真結(jié)果表明，該控制器可很好地抑制外界擾動的影響。

參考文獻：

[1]TrogerH,AlpatovAP,BeletskyVV,etal.DynamicsofTetheredSpaceSystems[M].CRCPress, 2010

[2]MisraAK,ModiVJ.ASurveyontheDynamicsandControlofTetheredSatelliteSystems[C]∥TethersinSpace, 1986

[3]JohnsonL.TheTetherSolution[SpacePropulsion,ElectrodynamicTether][J].Spectrum,IEEE, 2000, 37(7): 38-43

[4]ObergJ.SavingMirwithaRopeTrick[J].Spectrum,IEEE, 2000, 37(7): 32-37

[5]CartmellMP,McKenzieDJ.AReviewofSpaceTetherResearch[J].ProgressinAerospaceSciences, 2008, 44(1): 1-21

[6]KumarKD.ReviewonDynamicsandControlofNonelectrodynamicTetheredSatelliteSystems[J].JournalofSpacecraftandRockets, 2006, 43(4): 705-720

[7]TycG,HanRPS.AttitudeDynamicsInvestigationoftheOEDIPUS-ATetheredRocketPayload[J].JournalofSpacecraftandRockets, 1995, 32(1): 133-141

[8]李愛軍,韋漢林,王長青. 基于空間系繩系統(tǒng)輔助返回的再入條件計算分析[J]. 西北工業(yè)大學學報, 2014, 32(5): 730-736

LiAijun,WeiHanlin,WangChangqing.CalculatingandAnalysisofRe-EntryConditionforSpaceTethered-AssistedReturnSysteminEllipticOrbit[J].JournalofNorthwesternPolytechnicalUniversity, 2014, 32(5): 730-736 (inChinese)

[9]朱仁璋,雷達,林華寶. 繩系衛(wèi)星系統(tǒng)復雜模型研究[J]. 宇航學報, 1999, 20(3): 7-12

ZhuRenzhang,LeiDa,LinHuabao.ASophisticatedDynamicalModelofTetheredSatelliteSystems[J].JournalofAstronautics, 1999, 20(3): 7-12 (inChinese)

[10] 王曉宇,金棟平. 計入姿態(tài)的繩系衛(wèi)星概周期振動[J]. 振動工程學報, 2010, 23(4): 361-365

WangXiaoyu,JinDongping.Quasi-PeriodicOscillationofaTetheredSubsatellitewithAttitude[J].JournalofVibrationEngineering, 2010, 23(4): 361-365 (inChinese)

[11]LemkeLG,PowellJD,HeX.AttitudeControlofTetheredSpacecraft[C]∥NASA,AIAA,andPSN,InternationalConferenceonTethersinSpace,Arlington,VA. 1986

[12] 文浩,陳輝,金棟平. 帶可控臂繩系衛(wèi)星釋放及姿態(tài)控制[J]. 力學學報,2012,40(2):408-414

WenHao,ChenHui,JinDongping.DeploymentandAttitudeControlofaTetheredSubsatellitewithControllableArm[J].ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics, 2012,40(2):408-414 (inChinese)

[13] 黃靜,劉剛,馬廣富. 含不確定性的繩系衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒最優(yōu)控制[J]. 宇航學報,2012, 33(10): 1423-1431

HuangJing,LiuGang,MaGuangfu.NonlinearRobustOptimalAttitudeTrackingofTetheredSatelliteSystemwithUncertainties[J].JournalofAstronautics, 2012, 33(10): 1423-1431 (inChinese)

[14]ZabolotnovYM,NaumovON.MotionofaDescentCapsuleRelativetoItsCenterofMassWhenDeployingtheOrbitalTetherSystem[J].CosmicResearch, 2012, 50(2): 177-187

[15] 扎伯羅特諾夫·尤里. 空間系繩系統(tǒng)運動動力學與控制導論[M]. 王長青譯,北京:科學出版社,2013

ZablotnovYuriy.IntroductiontoDynamicsandControlinSpaceTetherSystem[M].WangChangqingTranslator.SciencePress,Beijing, 2013 (inChinese)

Nonlinear Stability Control of Tethered Sub-Satellite Attitude in Deployment

Wang Changqing1, Du Chonggang1, Li Aijun1, Z.H.Zhu2

(1．Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China 2．York University，Toronto M3J 1P3，Canada)

Abstract:This paper studies the impact of tether deployment on the attitude dynamics of the tethered sub-satellite. The dynamics model of the tethered sub-satellite is derived from the Newton - Euler equation of motion and the stability of tethered sub-satellite′s attitude motion is studied with the consideration of tether attachment offset from the symmetric axis of the satellite. Based on the dynamic analysis, a Lyapunov type nonlinear attitude controller is derived for the attitude motion of the tethered sub-satellite, which is disturbed by the unwanted offset of tether attachment. Simulation results and their analysis demonstrated preliminarily that the newly proposed controller is effective and efficient.

Keywords:tethered sub-satellite, deployment, attitude control, Lyapunov function

中圖分類號：V11

文獻標志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)01-0060-07

作者簡介：王長青(1973—),西北工業(yè)大學副教授、博士，主要從事飛行器控制與仿真、智能控制及空間系繩系統(tǒng)動力學與控制等研究。

基金項目：2011年度國家國際科技合作專項資助

收稿日期：2015-09-02