楊奇松,王　偉,李慶震,王然輝,曹洪武

(1.第二炮兵工程大學(xué),陜西西安　710025;

2. 96365部隊(duì),新疆庫(kù)爾勒　841000; 3. 61683部隊(duì),北京　100094)

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基于正交實(shí)驗(yàn)的彈道導(dǎo)彈射程靈敏度參數(shù)分析

楊奇松1,王偉2,李慶震3,王然輝3,曹洪武3

(1.第二炮兵工程大學(xué),陜西西安710025;

2. 96365部隊(duì),新疆庫(kù)爾勒841000; 3. 61683部隊(duì),北京100094)

摘要:傳統(tǒng)靈敏度分析方法無法得出彈道導(dǎo)彈射程的高敏感影響因素。針對(duì)這一問題,提出利用基于正交試驗(yàn)的靈敏度分析方法,對(duì)影響彈道導(dǎo)彈戰(zhàn)標(biāo)的主要參數(shù)進(jìn)行分析。選取射程靈敏度問題,設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)方案與分析流程,并依托彈道模型進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。

關(guān)鍵詞:彈道導(dǎo)彈;靈敏度分析;正交實(shí)驗(yàn)

彈道導(dǎo)彈作為戰(zhàn)略武器的最大優(yōu)勢(shì)在于其投擲能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于其他作戰(zhàn)武器,彈道導(dǎo)彈射程作為衡量其作戰(zhàn)能力最常用的指標(biāo)之一,直接關(guān)系到其作戰(zhàn)應(yīng)用[1]。因此確定影響彈道導(dǎo)彈射程的靈敏度參數(shù),不僅可以大大減小后期參數(shù)采集和數(shù)據(jù)整編的工作量;可以在裝備論證的過程中,對(duì)照戰(zhàn)技指標(biāo)快速調(diào)整模型的輸入?yún)?shù),提高仿真效率;也可以為彈道導(dǎo)彈的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考和借鑒[2]。文獻(xiàn)[3]對(duì)導(dǎo)彈的氣動(dòng)靈敏度進(jìn)行分析;文獻(xiàn)[4-5]在飛行器優(yōu)化設(shè)計(jì)的參數(shù)分析上做出了一些有益的探索,但是目前鮮有關(guān)于彈道導(dǎo)彈戰(zhàn)技指標(biāo)的靈敏度研究,所以有待進(jìn)一步挖掘和探索。

靈敏度分析最常用的方法是直接求導(dǎo)法。這種方法思路清晰,容易理解,但只能應(yīng)用于變量少、能寫出系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式的系統(tǒng),而彈道導(dǎo)彈的各類戰(zhàn)技指標(biāo),比如射程、精度等,與彈道導(dǎo)彈的主要物理參數(shù)之間往往無法寫出相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式,更無法直接求導(dǎo),只能根據(jù)彈道輸出得到兩者之間大致的關(guān)系。文獻(xiàn)[6]提出的基于正交實(shí)驗(yàn)的靈敏度分析,對(duì)于離散、不可微或隱式的系統(tǒng)靈敏度分析十分有效,目前得到了廣泛的應(yīng)用。因此本文將其應(yīng)用于彈道導(dǎo)彈的參數(shù)靈敏度分析是一步十分有意義的探索,將為今后彈道導(dǎo)彈其他戰(zhàn)技指標(biāo)的靈敏度分析打下基礎(chǔ)。

1靈敏度分析方法

1.1靈敏度函數(shù)

設(shè)系統(tǒng)輸出特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

y=[y1,y2,y3,…,yn]T

(1)

這個(gè)表達(dá)式即為參數(shù)靈敏度分析過程中的目標(biāo)函數(shù)。將系統(tǒng)的參數(shù)用式(2)表示:

x=[x1,x2,x3,…,xj]T

(2)

那么，x與y之間的關(guān)系為

yi=fi(x)=fi(x1,x2,x3,…,xj);i=1,2,…,n

(3)

假設(shè)各個(gè)參數(shù)的額定數(shù)值為x0、輸出y的額定值為y0,當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，有

xi=x0i+Δxi;i=1,2,…,j

(4)

相應(yīng)的輸出變?yōu)?/p>

yi=fi(x01+Δx1,x02+Δx2,x03+Δx3,…,

x0j+Δxj)=fi(x0+Δx);i=1,2,3,…,n

(5)

那么參數(shù)變化造成的輸出變化量為

Δyi=fi(x0+Δx)-fi(x0);i=1,2,3,…,n

(6)

設(shè)在x=x0處可對(duì)xj求k階偏導(dǎo)數(shù),那么yi的k階微分表達(dá)式為

(7)

運(yùn)用泰勒公式可得

Δyi=fi(x0+Δx)-fi(x0)=dfi(x0)+

(8)

不計(jì)最后的余項(xiàng)可以得到

(9)

由上式可以看出,若能求得各個(gè)參數(shù)額定值的各階導(dǎo)數(shù),那么參數(shù)的變化造成的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化就可以求得。已知的各個(gè)參數(shù)各階導(dǎo)數(shù)為

(10)

其中，k1+k2+…+kj=k;k=1,2,…。

那么定義上式中yi對(duì)變量x中各元素的偏導(dǎo)數(shù)為yi對(duì)參數(shù)x的k階靈敏度函數(shù)。

1.2基于正交實(shí)驗(yàn)的靈敏度分析方法

在正交實(shí)驗(yàn)中,通常采用極差分析方法來確定因子的優(yōu)劣水平以及實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的主次關(guān)系。第n個(gè)因子的極差Rn的計(jì)算公式為

(11)

用符號(hào)Sij表示輸出量yi對(duì)參數(shù)xj的靈敏度,根據(jù)上文論述,可以得到靈敏度的定義為

(12)

由上式可知:|Sij| 表示yi對(duì)參數(shù)xj的敏感程度,其數(shù)值越大,那么說明yi對(duì)參數(shù)xj越敏感。此外Sij的符號(hào)表示yi對(duì)參數(shù)xj的單調(diào)性,如果Sij<0,yi對(duì)xi單調(diào)遞減;如果Sij>0,yi對(duì)xi單調(diào)遞增。

在正交實(shí)驗(yàn)中,因子各個(gè)水平的優(yōu)劣性反映了輸出量對(duì)因子的單調(diào)性,當(dāng)因子的優(yōu)水平對(duì)應(yīng)的目標(biāo)輸出大于劣水平的目標(biāo)輸出時(shí),表明了輸出對(duì)該因子的單調(diào)增性;反之,則體現(xiàn)了單調(diào)減性。因子的極差反映了因子對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響,其中包含了函數(shù)對(duì)變量的靈敏度|Sij|。例如在對(duì)二水平的因子進(jìn)行分析時(shí),靈敏度計(jì)算如下:

(13)

因此,僅通過各因子的極差就可以得出各參數(shù)靈敏度高低的定性結(jié)論。如果需要具體得出因子的靈敏度那么則需根據(jù)極差和因子的變化這兩個(gè)方面計(jì)算得出靈敏度數(shù)值。

2實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案

2.1實(shí)驗(yàn)假設(shè)

本文以彈道導(dǎo)彈為研究對(duì)象,依托在Visual Studio中構(gòu)建的通用彈道模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中,所進(jìn)行的假設(shè)如下:

1)導(dǎo)彈的發(fā)射點(diǎn)位于坐標(biāo)點(diǎn)(0°N,0°E),發(fā)射點(diǎn)高程為0m;

2)導(dǎo)彈發(fā)射方位角為90°,目標(biāo)的高程也為0m;

3)所有實(shí)驗(yàn)中,彈道導(dǎo)彈均采用耗盡關(guān)機(jī);

4)每次實(shí)驗(yàn)中,彈道計(jì)算均采用最大射程的迭代算法。

2.2參數(shù)選取

實(shí)驗(yàn)中所考慮的參數(shù)如表1所示。

表1　實(shí)驗(yàn)中參數(shù)表

2.3參數(shù)水平設(shè)計(jì)

上述7個(gè)參數(shù)都選取3個(gè)水平,以各個(gè)參數(shù)的第2水平為參考水平,是各個(gè)參數(shù)的基準(zhǔn)數(shù)值,各個(gè)參數(shù)的1水平和3水平分別在2水平的基礎(chǔ)上變化±20%得到。采用L18(37)正交實(shí)驗(yàn)表，表格內(nèi)容設(shè)計(jì)如表2所示。

最后利用彈道模型,計(jì)算出每一次實(shí)驗(yàn)的彈道飛行結(jié)果,如圖1至圖6所示。采集各次實(shí)驗(yàn)的彈道報(bào)告,提取出目標(biāo)輸出量。

表2　正交實(shí)驗(yàn)表

圖1　實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)2、實(shí)驗(yàn)3彈道示意圖

圖2　實(shí)驗(yàn)4、實(shí)驗(yàn)5、實(shí)驗(yàn)6彈道示意圖

圖3　實(shí)驗(yàn)7、實(shí)驗(yàn)8、實(shí)驗(yàn)9彈道示意圖

圖4　實(shí)驗(yàn)10、實(shí)驗(yàn)11、實(shí)驗(yàn)12彈道示意圖

圖5　實(shí)驗(yàn)13、實(shí)驗(yàn)14、實(shí)驗(yàn)15彈道示意圖

圖6　實(shí)驗(yàn)16、實(shí)驗(yàn)17、實(shí)驗(yàn)18彈道示意圖

3射程靈敏度分析

本文取較大的落點(diǎn)射程為較優(yōu)值,根據(jù)各參數(shù)對(duì)應(yīng)的關(guān)機(jī)點(diǎn)射程大小,將參數(shù)水平優(yōu)劣等級(jí)分為:優(yōu)、中、劣三個(gè)等級(jí)。

3.1參數(shù)各水平值與極差

在本文設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)中,由于參數(shù)取3個(gè)水平,那么每個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的極差計(jì)算如下:

(14)

那么用符號(hào)yistd表示輸出量yi的基準(zhǔn)輸出值,用xjstd參數(shù)xj的基準(zhǔn)值,根據(jù)式(13),可以計(jì)算得到靈敏度:

(15)

其中，xjmax表示輸出值yi最大時(shí)對(duì)應(yīng)的x數(shù)值,xjmin表示輸出值yi最小時(shí)對(duì)應(yīng)的x數(shù)值。最終各個(gè)參數(shù)的靈敏度數(shù)值可以根據(jù)式(15)計(jì)算得到。

對(duì)18次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,提取出每次實(shí)驗(yàn)的關(guān)機(jī)點(diǎn)射程數(shù)據(jù)。針對(duì)各參數(shù)各個(gè)水平對(duì)應(yīng)的輸出數(shù)據(jù),分別計(jì)算各水平的均值,均值的計(jì)算方法如下(以參數(shù)mk的1水平均值計(jì)算為例):

(16)

依據(jù)均值計(jì)算方法,逐個(gè)計(jì)算出各個(gè)參數(shù)各水平的值,然后計(jì)算該參數(shù)的極差,計(jì)算結(jié)果如表3所示。

將極差數(shù)據(jù)制成柱形圖,如圖7所示,其中橫坐標(biāo)1至7分別代表mk,mt,mz,T,SN,Sm和Isp。

圖7　極差數(shù)據(jù)柱狀圖

由柱形圖可以直觀地看出,對(duì)落點(diǎn)射程影響較大的參數(shù)是推力、再入體質(zhì)量和比沖;其他參數(shù)對(duì)落點(diǎn)射程的影響程度相當(dāng),推進(jìn)劑質(zhì)量對(duì)落點(diǎn)射程的影響最小。

3.2參數(shù)靈敏度計(jì)算與分析

根據(jù)計(jì)算得出的各參數(shù)的極差,將各個(gè)參數(shù)水平的優(yōu)劣情況列舉如表4所示。

表3　計(jì)算結(jié)果表

表4　參數(shù)水平優(yōu)劣情況表

使用靈敏度計(jì)算式(15),計(jì)算得出各個(gè)參數(shù)的靈敏度如表5所示。

表5　參數(shù)靈敏度表

表中得出的結(jié)論顯示了各參數(shù)對(duì)射程輸出量影響的大小,說明了影響彈道導(dǎo)彈射程的高敏感因素為真空推力T、再入體質(zhì)量mz和發(fā)動(dòng)機(jī)比沖Isp。而通過對(duì)表5各參數(shù)3個(gè)水平均值的具體考察也可得到輸出量隨參數(shù)變化的單調(diào)性,定性分析得到如下結(jié)論:

1)關(guān)機(jī)點(diǎn)射程參數(shù)在發(fā)動(dòng)機(jī)殼體質(zhì)量、推進(jìn)劑質(zhì)量、再入體質(zhì)量和噴管截面積這4個(gè)參數(shù)的水平變化區(qū)間上單調(diào)遞減;

2)關(guān)機(jī)點(diǎn)射程參數(shù)在推力和氣動(dòng)面積的水平變化區(qū)間上單調(diào)遞增;

3)在比沖參數(shù)的變化區(qū)間上,關(guān)機(jī)點(diǎn)射程參數(shù)先單調(diào)增后單調(diào)減,比沖參數(shù)的2水平均值為關(guān)機(jī)點(diǎn)射程參數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的最大值。

4結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用基于正交實(shí)驗(yàn)的靈敏度分析方法,對(duì)影響彈道導(dǎo)彈射程的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析。根據(jù)結(jié)果,確定了影響彈道導(dǎo)彈射程大小的主要參數(shù),定性地得出了射程與各參數(shù)之間的單調(diào)性關(guān)系。說明本文所提供的模型與方法在原理上是可行的,具有進(jìn)一步開展相關(guān)研究及試驗(yàn)工作的價(jià)值。而且該種方法也可以應(yīng)用于彈道導(dǎo)彈其他關(guān)鍵戰(zhàn)標(biāo)的靈敏度分析,對(duì)裝備性能論證研究和戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)法研究等具有重要意義。

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Ballistic Missile Range Sensitivity Parameter AnalysisBased on Orthogonal Experiments

YANG Qi-song1, WANG Wei2, LI Qing-zhen3, WANG Ran-hui3, CAO Hong-wu3

(1.The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025;2. PLA.96365 unit, Korla 841000；3.PLA.61683 unit, Beijing 100094, China)

Abstract:The traditional sensitivity analysis method cannot come to the high sensitivity of ballistic missile range. To solve this problem, the sensitivity analysis based on orthogonal experiments is proposed to analyze the main parameters that influence ballistic missile warfare. The sensitivity range problems are selected, and experiment scheme and analyzing processes are designed. The simulation is given relying on ballistic model, and the computational results demonstrate that it can get a satisfactory solution.

Key words:ballistic missile; sensitivity analysis; orthogonal experiments

中圖分類號(hào):TJ761.3；E927

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1673-3819.2016.02.024

作者簡(jiǎn)介：楊奇松(1993-),男,湖北襄陽(yáng)人,碩士研究生,研究方向?yàn)轱w行動(dòng)力學(xué)與制導(dǎo)。

收稿日期：2015-12-21

文章編號(hào)：1673-3819(2016)02-0115-05

修回日期： 2016-01-18

王偉(1990-),男，碩士。

李慶震(1977-),男，博士。

王然輝(1980-),男，碩士。

曹洪武(1975-)，男，工程師。