權(quán)曉波，王 惠，魏海鵬，程少華

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

基于代理模型的水下航行體頭型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究

權(quán)曉波，王 惠，魏海鵬，程少華

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

文章采用Kriging代理模型技術(shù)針對(duì)水下航行體頭型優(yōu)化設(shè)計(jì)開(kāi)展研究。采用CFD方法分析了不同頭型水下航行體的流體動(dòng)力性能，將性能參數(shù)作為初始樣本建立代理模型；根據(jù)測(cè)試樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)均方誤差選擇加點(diǎn)策略更新代理模型，提高代理模型預(yù)測(cè)精度；采用非劣分類遺傳算法對(duì)阻力和表面壓力開(kāi)展多目標(biāo)優(yōu)化，尋找近似最優(yōu)解。結(jié)果表明：基于代理模型技術(shù)的水下航行體頭型多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以有效提高設(shè)計(jì)效率，獲得具有良好水動(dòng)特性的航行體頭型。

水下航行體；頭型設(shè)計(jì)；Kriging代理模型；優(yōu)化設(shè)計(jì)

0 引 言

頭型設(shè)計(jì)是水下航行體外形設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容，直接決定航行體的阻力和抗空化能力，對(duì)航行體的水下運(yùn)動(dòng)特性產(chǎn)生重要影響[1]。阻力減小可以提高航速，增大航程，增加攜帶有效載荷的能力[2]；抗空化能力的提高可以降低流場(chǎng)空化形成的可能性，避免由空化產(chǎn)生的沖擊、振動(dòng)及噪聲。為使水下航行體獲得更小的阻力和更高的抗空化能力，需采用多目標(biāo)優(yōu)化方法對(duì)水下航行體頭型進(jìn)行尋優(yōu)。

在頭型優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，需反復(fù)修改外形，進(jìn)行多次流體動(dòng)力特性計(jì)算[3]。傳統(tǒng)的頭型設(shè)計(jì)一般采用數(shù)值CFD計(jì)算方式，可獲得相對(duì)準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，但CFD分析消耗大量的計(jì)算資源和時(shí)間，導(dǎo)致迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)效率較低。應(yīng)用代理模型技術(shù)可有效地解決這一問(wèn)題，通過(guò)采用近似方法實(shí)現(xiàn)計(jì)算效率和計(jì)算精度的有效匹配，在優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用。宋保維等[4]基于代理模型進(jìn)行了魚(yú)雷外形阻力的單目標(biāo)優(yōu)化，證明此優(yōu)化方法可以克服計(jì)算成本高的缺點(diǎn)，獲得較為滿意的魚(yú)雷外形；姚拴寶等[5]基于改進(jìn)的蟻群算法和改進(jìn)的Kriging代理模型開(kāi)展了列車頭型的三維氣動(dòng)減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，減小了頭部阻力。

本文針對(duì)水下航行體頭型多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，應(yīng)用代理模型技術(shù)作為學(xué)科分析工具和優(yōu)化算法之間的接口，獲取水下航行體優(yōu)化頭型。首先，基于Kriging近似方法和最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法建立代理模型；然后，根據(jù)最小化均方誤差方法選擇加點(diǎn)策略，更新代理模型以提高預(yù)測(cè)精度；而后，選取NSGA-Ⅱ遺傳算法進(jìn)行頭型多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲取兼顧阻力及抗空化能力的Pareto前沿解。最終，對(duì)優(yōu)化后頭型應(yīng)用CFD數(shù)值仿真計(jì)算方法進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了本方法的有效性。

1 研究方法

1.1 Kriging代理模型

代理模型技術(shù)是指采用近似模型建立輸入到輸出的響應(yīng)系統(tǒng)，包括近似方法和試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的選取。

1.1.1 Kriging近似方法

Kriging代理模型是一種估計(jì)方差最小的無(wú)偏估計(jì)模型[6]。對(duì)于輸入x，其響應(yīng)y可表示為：

式中：β是回歸系數(shù)，f（ x）T是x的n階多項(xiàng)式，隨機(jī)分布的誤差為z，具有如下統(tǒng)計(jì)特性：

式中：xi，xj為樣本中的任意兩點(diǎn)；R（ θ, xi,xj）是以θ為參數(shù)的相關(guān)模型，表示樣本的空間相關(guān)性。本文選取的高斯相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為：

式中：xik，xjk是樣本點(diǎn)xi，xj第k維元素。

對(duì)于m維初始樣本點(diǎn)，其響應(yīng)為Y，可得多項(xiàng)式F和相關(guān)矩陣R。對(duì)于一個(gè)待測(cè)點(diǎn)x的，可得多項(xiàng)表達(dá)式f和相關(guān)陣r，其響應(yīng)值利用樣本點(diǎn)xi的響應(yīng)值Y線性加權(quán)疊加計(jì)算，即=C（ x）TY。在無(wú)偏性要求下，模型預(yù)測(cè)期望方差表示為：

拉格朗日方程求解上述方程取最小值時(shí)可得：

C（ x）與待測(cè)點(diǎn)和已知點(diǎn)間的相關(guān)性矩陣有關(guān)。由最小二乘估計(jì)可得：

方差的極大似然估計(jì)為σ2：

1.1.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是構(gòu)建代理模型的基礎(chǔ)，通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)給出一組具有代表性的小量樣本設(shè)計(jì)點(diǎn)，盡可能地反映設(shè)計(jì)空間的特性[7]。例如，對(duì)于二因子6水平的研究，全因子設(shè)計(jì)（FFD）需要6×6個(gè)點(diǎn)，而最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)（Opt LHD）只需研究6個(gè)點(diǎn)，如圖1所示?？梢钥闯觯疚倪x取的最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)可使試驗(yàn)點(diǎn)均勻地分布在設(shè)計(jì)空間，空間填充性和均衡性高，擬合非線性響應(yīng)效果好。

1.1.3 基于最小化均方誤差的Kriging改進(jìn)模型

為了在小樣本的條件下提高Kriging近似方法的擬合精度，本文基于最小化均方誤差（MSE）的方法評(píng)估代理模型的預(yù)測(cè)效果，由原樣本點(diǎn)生成新增樣本點(diǎn)，增加樣本信息，擬合這兩部分樣本點(diǎn)共同組成的樣本空間，達(dá)到提高了擬合精度的目標(biāo)。

首先要針對(duì)不同的輸入?yún)?shù)，進(jìn)行全因子設(shè)計(jì)，假設(shè)共有m維輸入設(shè)計(jì)參數(shù)，每個(gè)輸入設(shè)計(jì)參數(shù)選取的水平數(shù)是ni，則可以獲得測(cè)試樣本的容量為n1×n2…×nm；然后應(yīng)用Kriging方法對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，分析測(cè)試樣本MSE的變化規(guī)律，找到不滿足預(yù)測(cè)要求的一組“差”點(diǎn)，作為補(bǔ)充樣本點(diǎn)更新原樣本點(diǎn)；最終，以新樣本點(diǎn)為基礎(chǔ)建立代理模型，驗(yàn)證精度是否滿足要求，流程如圖2所示。

圖1 全因子設(shè)計(jì)和最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)分布Fig.1 Sample distribution of FFD and Opt LHD

圖2 改進(jìn)的Kriging模型的構(gòu)建流程Fig.2 Flow chart of improved Kriging model

1.2 數(shù)值分析方法

本文采用基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和雷諾平均N-S方程求解航行體阻力系數(shù)和表面壓力系數(shù)。具體計(jì)算方法簡(jiǎn)要描述為：使用FLUENT軟件求解三維定常不可壓縮流動(dòng)，湍流模型為k-ω的SST形式，壓力速度耦合方式采用SIMPLEC算法，對(duì)流項(xiàng)采用2階迎風(fēng)格式?？紤]流場(chǎng)對(duì)稱性，采用ICEM軟件對(duì)一半流場(chǎng)劃分結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。在靠近旋成體表面對(duì)網(wǎng)格加密，形成邊界層，最靠近物面一層網(wǎng)格間距為10-4m量級(jí)。

為了驗(yàn)證本文數(shù)值仿真方法的正確性，對(duì)某水下航行體表面壓力系數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬，網(wǎng)格和壓力云圖如圖3所示。航行體表面壓力系數(shù)的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖4所示，由圖中可以看出仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相差較小，壓力系數(shù)極小值的誤差僅為2.9%，表明本文采用的CFD計(jì)算方法具有較高的準(zhǔn)確度。

從壓力云圖可以看出，頭部迎背水面存在低壓區(qū)，易產(chǎn)生空化現(xiàn)象。以空化初生時(shí)空化數(shù)的大小描述航行體產(chǎn)生空化現(xiàn)象的難易程度：初生空化數(shù)越小，說(shuō)明該物體的抗空化能力越高。不同物體在液體中運(yùn)動(dòng)，初生空化數(shù)由最小壓力系數(shù)cpmin的絕對(duì)值確定[8]，越小，初生空化數(shù)越小，該物體抗空化能力越高。因此，本文中選取航行體表面最小壓力系數(shù)來(lái)表征水下航行體頭型抗空化能力的大小，通過(guò)尋找最小壓力系數(shù)絕對(duì)值的最小值，獲取抗空化能力最強(qiáng)的航行體頭型。

圖3 水下航行體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和壓力云圖Fig.3 Structured mesh and pressure contour of underwater vehicle

圖4 航行體表面壓力系數(shù)仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of prediction value and CFD value of Cp

1.3 優(yōu)化算法

遺傳算法（GA）是一種借鑒生物自然選擇和遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索方法[9]，由于具有群體搜索特性并且不需要輔助的梯度信息，使得其具有較好的全局搜索性能，在當(dāng)今工程計(jì)算領(lǐng)域的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。NSGA-Ⅱ的優(yōu)點(diǎn)在于具有獲得最優(yōu)Pareto前沿解的能力[10]，而且Pareto前沿前進(jìn)能力增強(qiáng)，探索性能良好，因此，本文選取NSGA-Ⅱ作為多目標(biāo)優(yōu)化算法。

2 算例建模

2.1 研究對(duì)象

以某水下航行體為研究對(duì)象，外形如圖5所示。為了方便、準(zhǔn)確地描述水下航行體的頭型曲線，需要進(jìn)行頭型曲線的參數(shù)化設(shè)計(jì)，以魚(yú)雷線形擬合研究為基礎(chǔ)，選用常見(jiàn)的平端頭曲線的雙參數(shù)立方多項(xiàng)式形式作為水下航行體頭部曲線擬合的基本解析表達(dá)式：

式中：R為水下航行體半徑；X0為頭型曲線過(guò)渡段長(zhǎng)度；k1和k2為曲線的控制參數(shù)，k1是前端點(diǎn)的曲率變化率，當(dāng)k1取值大時(shí)，頭部線型豐滿，反之消瘦；k2是后端點(diǎn)的曲率變化率，當(dāng)k2取值大時(shí)，頭部線型消瘦，反之豐滿，規(guī)律如圖6所示。

圖5 水下航行體外形Fig.5 Configuration of underwater vehicle

圖6 曲線控制參數(shù)k1、k2對(duì)頭型的影響Fig.6 Influence of curve parameters

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)變量選取頭型曲線過(guò)渡段長(zhǎng)度X0∈[0.3 m,1 m]，頭型曲線的控制參數(shù)k1∈[0,1]、k2∈[0,15]，采用最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲得一組初始樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)容量為12個(gè)，空間分布情況如圖7所示。

2.3 仿真計(jì)算

在5°攻角、來(lái)流速度15 m/s條件下，數(shù)值計(jì)算12組初始樣本點(diǎn)的阻力系數(shù)與壓力系數(shù)，結(jié)果如表1。

2.4 基于Kriging改進(jìn)方法建立代理模型

根據(jù)表1中12組初始樣本點(diǎn)，采用Kriging方法建立初始代理模型。為了提高初始代理模型的預(yù)測(cè)精度，采用最小化均方誤差的方法更新初始Kriging模型，分為以下幾步：

（1）采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，將設(shè)計(jì)變量k1、k2、X0分別間隔0.1、1、0.05取值，獲得11×16×15維訓(xùn)練樣本；

（2）應(yīng)用初始代理模型預(yù)測(cè)訓(xùn)練樣本的流體力系數(shù)，提取表面壓力系數(shù)cp的預(yù)測(cè)MSE，以MSE值最大的8組樣本點(diǎn)為補(bǔ)充樣本點(diǎn)。針對(duì)補(bǔ)充樣本點(diǎn)開(kāi)展仿真，結(jié)果如表2所示；

（3）以表1的初始點(diǎn)和表2的補(bǔ)充點(diǎn)作為樣本點(diǎn)建立代理模型，獲得表面壓力系數(shù)cp的預(yù)測(cè)MSE如圖8所示。可以看出，補(bǔ)充8組角點(diǎn)數(shù)據(jù)后，角點(diǎn)處MSE值明顯降低，代理模型精度水平有所提升；

（4）在樣本點(diǎn)之外隨機(jī)生成2組測(cè)試樣本點(diǎn)，采用代理模型開(kāi)展預(yù)測(cè)，評(píng)估代理模型的預(yù)測(cè)精度。流體力系數(shù)的預(yù)測(cè)值與仿真值誤差對(duì)比如表3所示，可以看出，阻力系數(shù)的預(yù)測(cè)誤差不超過(guò)2%，表面壓力系數(shù)誤差不超過(guò)13%，最大預(yù)測(cè)方差滿足收斂要求，可利用此代理模型代替真實(shí)物理模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖7 初始樣本點(diǎn)空間分布Fig.7 Space distribution of sample points

表1 初始樣本點(diǎn)阻力系數(shù)與壓力系數(shù)Tab.1 Drag coefficient and maximum pressure coefficient of design variables

表2 8組補(bǔ)充樣本點(diǎn)的阻力系數(shù)與壓力系數(shù)Tab.2 Drag and pressure coefficients of added design variables

圖8 測(cè)試樣本點(diǎn)的MSE值Fig.8 MSE of test point

表3 代理模型預(yù)測(cè)誤差與初始誤差對(duì)比Tab.3 Prediction error companion of improved model and origin model

3 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

在來(lái)流速度v=15 m/s、攻角α=5°的條件下，水下航行體頭型優(yōu)化的多目標(biāo)為：mincd、min。

采用NSGA-Ⅱ算法對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，圖9給出了優(yōu)化結(jié)果的Pareto前沿圖。Pareto前沿的兩個(gè)端點(diǎn)分別為壓力系數(shù)絕對(duì)值的最小值和阻力系數(shù)cd的最小值，中間點(diǎn)則是以犧牲一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)為代價(jià)改善另一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)。將Pareto優(yōu)化前沿點(diǎn)與初始及補(bǔ)充樣本點(diǎn)相比可以看出，其阻力系數(shù)和表面壓力系數(shù)絕對(duì)值均較小，達(dá)到了阻力更低和抗空化能力更高的多目標(biāo)優(yōu)化目的。但由于兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)在一定范圍內(nèi)相互制約，均獲得最優(yōu)解的理想狀態(tài)不可能達(dá)到。因此，Pareto優(yōu)化前沿上的點(diǎn)均可作為可行優(yōu)化解。

從Pareto優(yōu)化解中選取一組特征頭型曲線，分析曲線的共同特征可知，優(yōu)化后k1較小，k2、X0值較大，頭型具有如圖10所示特征。

圖9 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Fig.9 Multi-optimization result(Pareto)

圖10 優(yōu)化后頭型曲線集Fig.10 A set of optimal forehead configurations

在Pareto優(yōu)化解集中，針對(duì)壓力系數(shù)絕對(duì)值最小點(diǎn)開(kāi)展仿真，驗(yàn)證基于代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性，相應(yīng)的仿真計(jì)算值和優(yōu)化預(yù)測(cè)值對(duì)比如表4所示?？梢钥闯?，阻力系數(shù)和壓力系數(shù)的仿真值與預(yù)測(cè)值差距較小，誤差分別為0.8%、-2.6%，表明本文中采用的基于代理模型的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法準(zhǔn)確度較高，可以將該方法獲得的優(yōu)化解集作為水下航行體頭型優(yōu)化結(jié)果。

表4 Pareto邊界點(diǎn)頭型參數(shù)的數(shù)值仿真和優(yōu)化預(yù)測(cè)對(duì)比Tab.4 Prediction value and CFD value comparison of Pareto boundary point

圖11 阻力系數(shù)和壓力系數(shù)隨迭代次數(shù)變化規(guī)律Fig.11 Drag coefficient and maximum pressure coefficient changing with iterative steps

本文進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，初始人口數(shù)設(shè)置為12，遺傳代數(shù)為100，迭代次數(shù)共1 200次，阻力系數(shù)和壓力系數(shù)隨迭代次數(shù)的變化如圖11所示?？梢钥闯?，在此過(guò)程中，共調(diào)用代理模型1 200次，如果要直接使用CFD方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，需要進(jìn)行上千次計(jì)算，而使用代理模型代替數(shù)值仿真，調(diào)用代理模型的時(shí)間與CFD仿真時(shí)間相比幾乎可以不計(jì)。由此可見(jiàn)，引入代理模型可以減少優(yōu)化過(guò)程時(shí)間，實(shí)現(xiàn)水下航行體頭型優(yōu)化設(shè)計(jì)效率的大幅提升。

4 結(jié) 論

本文將改進(jìn)的Kriging代理模型技術(shù)應(yīng)用于水下航行體頭型優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了如下結(jié)論：

（1）基于最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)及最小化均方誤差加點(diǎn)策略的改進(jìn)Kriging代理模型可以使用數(shù)量較少的樣本點(diǎn)建立可靠的近似模型。與常規(guī)Kriging代理模型技術(shù)相比提高了預(yù)測(cè)MSE水平，滿足了優(yōu)化過(guò)程的收斂要求；

（2）多目標(biāo)優(yōu)化可以給出同時(shí)改善阻力和抗空化能力兩方面目標(biāo)的優(yōu)化前沿解集，得到了具有良好水動(dòng)特性的航行體外形，與單目標(biāo)優(yōu)化相比具有更好的適用性；

（3）基于代理模型技術(shù)的水下航行體頭型優(yōu)化設(shè)計(jì)可以大大減少CFD仿真計(jì)算次數(shù)，降低成本，提高設(shè)計(jì)效率，同時(shí)，優(yōu)化結(jié)果的預(yù)測(cè)值與仿真值相差較小，證明此方法是一種高效可靠的水下航行體頭型設(shè)計(jì)方法。

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Configuration optimization design of underwater vehicle based on surrogate model

QUAN Xiao-bo,WANG Hui,WEI Hai-peng,CHENG Shao-hua
(Beijing Institute of Astronautical System Engineering,Beijing 100076,China)

Based on Kriging surrogate model,a configuration optimization design method of underwater vehicle was studied.A set of different forehead configurations were chosen as original sample points to construct the surrogate model.The hydrodynamic forces are calculated by CFD analysis tool.To improve the attainable precision,sampling strategy was used according to the MSE(mean square error)of test points.After that,NSGA-Ⅱoptimization method was implemented under given condition to find the approximate optimal solution considering minimum drag coefficient and maximum pressure coefficient.The results show that the multi-object optimization design method based on the surrogate model gives a set of Pareto optimal solutions.Therefore it can improve the configuration design efficiency of underwater vehicle,and find the vehicle configuration with good hydrodynamic performance.

underwater vehicle;forehead configuration;Kriging surrogate model;optimal design

TV131.2

：A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.10.006

1007-7294（2016）10-1262-07

2016-07-18

權(quán)曉波（1976-），男，博士后，研究員；王 惠（1993-），女，碩士研究生，E-mail:wanghui0912wh@126.com。