張紅偉，張強，黃英

(1湖南科技大學建筑與規(guī)劃學院，湖南湘潭411100；2楚雄師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南楚雄675000)

廣義mKdV方程的精確解研究

張紅偉1,2，張強2，黃英2

(1湖南科技大學建筑與規(guī)劃學院，湖南湘潭411100；2楚雄師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南楚雄675000)

modified Korteweg-de Vries（mKdV）方程是一個精典的孤子方程。利用行波變換法把廣義mKdV方程轉化為常微分后，再利用降階法和初等積分法求出了廣義mKdV方程的一系列的精確行波解。

廣義mKdV方程；精確解；行波變換法；降階法

引言

廣義modified Korteweg-de Vries（mKdV）方程

具有豐富的物理背景，其中，為任意常數(shù)。當時，方程（1）成了經(jīng)典的mKdV方程，它可作為非調和晶格中描述等離子和聲子多重作用的孤立子模型[1]，而當是一個充分小的正數(shù)時，方程（1）就變成了擾動mKdV方程，它主要出現(xiàn)在準一維固體的研究中，用于描述原子鏈和液晶流體力學[2]。特別地，作變換之后,方程（1）被變成了KdV-mKdV組合方程

該方程是等離子體物理和固體物理中的重要模型[1]。一般而言，p=1時，稱

為“好的”廣義mKdV方程，p=-1時，稱

為“壞的”廣義mKdV方程。

mKdV方程是一個精典的孤子方程，有關它的精確解有很多學者[3]-[9]研究，但有關擾動mKdV方程和的研究結果并不多見[10]。所以，有必要對方程（1）的行波解進行研究。

一、“好的”廣義mKdV方程的解

其中，A、B為積分常數(shù)。接下來，只需要對常微分方程(4)進行求解，就可以找到方程(2)的特解。

把方程(4)變?yōu)?/p>

若A=B=0，則用分離變量法可以求解方程(5)，從而得到方程(2)的鐘狀孤立波解

求解之后得到一個有理解

從而得到方程（2）的周期解

利用橢圓積分求解(6)式可得另外兩個特殊的周期解

在u1-u5中，ε可以等于零，當ε=0時,這些解就是經(jīng)典mKdV方程的行波解，但u6在中，ε不能等于零，說明只能是廣義mKdV方程(2)的解。此外，后面四種類型的解在相關研究[11]-[16]中極少甚至沒有出現(xiàn)過。

二、“壞的”廣義mKdV方程的解

經(jīng)過相同的行波變換和降階處理后，方程(3)變?yōu)?/p>

和鐘狀孤立波解

求解之后得到一個有理解

解之得下列周期解

和

在u1-u9以及u12中，ε可以等于零，但u10-u11在中，ε不能等于零，說明典型的mKdV方程不具有形如u10-u11的解，它們只能是廣義mKdV方程(2)的解。

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責任編輯：李凡生

Study on the Exact Solutions to the Generalized mKdV Equation

ZHANG Hong-wei,ZHANG Qiang,HUANG Ying (1.Hunan University of Science and Technology,Hunan Xiangtan,411100;2.Chuxiong Normal University,Yunnan Chuxiong,675000)

In the paper,the modified Korteweg-de Vries(mKdV)equation is reduced to an ordinary equation by means of the method of travelling transformation,then the methods of reduction order and elementary integral are used for solving a series of exact solutions to the mKdV equation.

generalized mKdV equation,exact solution,travelling transformation method,reduction order method

0175.2

A

1674-8891（2016）03-0004-03

2015-11-23

云南省教育廳資助項目（編號：2012Y130）；國家自然科學基金資助項目（編號：11261001）。

張紅偉（1986—），男，河南項城市人，湖南科技大學建筑與規(guī)劃學院碩士研究生，研究方向：非線性發(fā)展方程；黃英（1973—），女，云南大姚人，云南省楚雄師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教授，主要從事非線性發(fā)展方程和無窮維動力系統(tǒng)的研究。