董楓, 陳順懷

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院， 湖北 武漢 430063)

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船體曲面的一種光順重構(gòu)法

董楓, 陳順懷

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院， 湖北 武漢 430063)

摘要：為了在船舶CAD/CAM/CAE中使用更加精確和光順的船體模型，基于船體型值數(shù)據(jù)，通過插值或逼近的方式得到常規(guī)站線以及廣義站線的NURBS表達(dá)式。在得到了這些曲線以后，通過等數(shù)弧長(zhǎng)均分的方式在這些曲線上取數(shù)目相同的數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)成所謂的廣義型值點(diǎn)，對(duì)這些廣義型值點(diǎn)進(jìn)行插值重構(gòu)來得到一致化的常規(guī)站線以及廣義站線，這些曲線共同構(gòu)成生成船體曲面的截面曲線。將這些截面曲線取為曲面的u向等參數(shù)線，采用改進(jìn)的曲面放樣方法得到整個(gè)船體曲面。結(jié)果表明：重構(gòu)的船體曲面能夠具有較好的擬合精度和光順性。

關(guān)鍵詞：插值；逼近；重構(gòu)；廣義站線；等數(shù)弧長(zhǎng)均分；改進(jìn)放樣

船體曲線曲面生成技術(shù)是計(jì)算機(jī)輔助船舶設(shè)計(jì)CASD領(lǐng)域最活躍最的學(xué)科分支之一，是實(shí)現(xiàn)船舶數(shù)字化造型的關(guān)鍵技術(shù)之一，它可以輔助進(jìn)行船舶總體性能計(jì)算、適航性計(jì)算、流體力學(xué)分析、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和船舶的生產(chǎn)設(shè)計(jì)。船體曲面通常是非常復(fù)雜的幾何曲面，特別是在艏艉區(qū)域具有雙向曲度，因此如何快速精確的表達(dá)船體曲面一直是困擾很多造船工作者的難題，也是他們一直努力的目標(biāo)。

船體曲線曲面生成是船舶設(shè)計(jì)制造重要的技術(shù)基礎(chǔ)，自從國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)正式將NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法[1]，曲線曲面幾何造型實(shí)現(xiàn)了表達(dá)形式的統(tǒng)一。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)船體曲線曲面生成算法原理進(jìn)行了大量研究，David F. Rogers[2]首次提出采用B樣條曲線和曲面來表達(dá)船體；Nam[3]在船體曲面設(shè)計(jì)過程中運(yùn)用NURBS方法表達(dá)；Le T-H等[4]采用遺傳算法，以數(shù)據(jù)點(diǎn)和曲面的最近距離作為適應(yīng)度函數(shù)來擬合曲面；WANG Hu等[5]通過迭代的方式使得曲面在兩個(gè)參數(shù)方向各自具有相同的控制頂點(diǎn)數(shù)和節(jié)點(diǎn)矢量，然后得到整個(gè)船體曲面。周超駿等[6]采用B樣條構(gòu)造船體曲面；林焰等[7-10]對(duì)船體曲面的NURBS表達(dá)和設(shè)計(jì)進(jìn)行了系列研究；陳賓康等[11-12]對(duì)NURBS 在船舶設(shè)計(jì)中的應(yīng)用進(jìn)行了相關(guān)研究。

在目前的船舶設(shè)計(jì)過程中，設(shè)計(jì)人員工作的出發(fā)點(diǎn)大多是船體型值點(diǎn)，所關(guān)心的是船體型值。但是，船體曲面的重構(gòu)需要用到的是NURBS 曲線、曲面的控制頂點(diǎn)?；贜URBS的船體曲面重構(gòu)解決的是NURBS曲面的“反算”問題，即根據(jù)已知船體曲面上的一些型值點(diǎn)，構(gòu)造出NURBS曲面，且保證曲面通過或逼近這些型值點(diǎn)。

本文以NURBS為船體曲線曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)工具，采取由點(diǎn)—線—面的方式來獲得整個(gè)船體曲面，其中點(diǎn)為現(xiàn)有型值點(diǎn)，線為通過本文方法所構(gòu)造的廣義站線，面則為最終通過改進(jìn)放樣法得到的船體曲面。研究表明，本方法能夠根據(jù)有限的離散型值獲得較為精確和光順的船體曲面，利于對(duì)船體進(jìn)行后續(xù)的CAD/CAE/CAM處理。

1船體NURBS曲線的插值和逼近

本文中NURBS曲線曲面均采用齊次坐標(biāo)表示[13]， 次數(shù)取為三次和雙三次。

1.1曲線插值

可以將NURBS曲線的插值視為簡(jiǎn)單的插值四維帶權(quán)型值點(diǎn)的問題，即求解出插值帶權(quán)型值點(diǎn)的非有理B樣條曲線的帶權(quán)控制頂點(diǎn)，它和傳統(tǒng)的B樣條插值方法一致，然后取其在的超平面ω=1上的投影，便得到所求的NURBS曲線的控制頂點(diǎn)。

(1)

(2)

4)曲線的分段連接點(diǎn)分別依次與NURBS曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此按照式(1)可建立插值方程組，目前該方程組中僅包含n0+1個(gè)方程，而未知控制頂點(diǎn)為n0+3個(gè)，因此還需要添加2個(gè)邊界條件使方程組封閉。常用的邊界條件包括端切矢條件、自由端條件、拋物線條件、非節(jié)點(diǎn)條件等[14]。結(jié)合邊界條件將方程組寫成矩陣形式，以自由端邊界條件為例：

P=ND

(3)

式中：

注意N中的元素大部分值為零，每一行只有4個(gè)為非零值，求解式(3)便可以得到相應(yīng)的帶權(quán)控制頂點(diǎn)：

(4)

圖1　插值橫剖線Fig.1　Interpolation sectional curve

1.2曲線逼近

事實(shí)上往往由于測(cè)量誤差、錄入錯(cuò)誤等原因，很多情況下得到的型值點(diǎn)都不是百分百準(zhǔn)確的。以此作為后續(xù)工作的基礎(chǔ)，會(huì)使誤差得以保留、傳遞，因此，應(yīng)該對(duì)型值點(diǎn)進(jìn)行處理，降低誤差，即采用逼近而非插值的方式得到曲線往往更有效。

圖2　逼近流程Fig.2　Process of approximation

具體的插值反算過程如下：

(5)

3)此時(shí)需要尋找一條三次NURBS曲線：

(6)

滿足：

剩下的型值點(diǎn)則以最小二乘的方式的逼近，即

(7)

式中：f為一個(gè)包含napp-1個(gè)變量D1,D2,…,Dnpp-1的標(biāo)量函數(shù)。應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的線性最小二乘擬合技術(shù)，欲使f最小，則其關(guān)于未知變量Dl的導(dǎo)數(shù)為零，即

對(duì)上式進(jìn)行簡(jiǎn)單變換可得

(8)

式(8)為關(guān)于未知控制頂點(diǎn)的線性方程，由于l=1,2,…,napp-1，因此便得到一個(gè)包含napp-1個(gè)變量和napp-1的方程的方程組。寫成矩陣形式為

(9)

式中：

(10)

(11)

5)計(jì)算求得的逼近曲線與型值點(diǎn)之間的偏差，可以用最大歐幾里得范數(shù)距離來表達(dá)：

(12)

如果ξ≤ε，則輸出結(jié)果，如果ξ>ε，則取napp=napp+1然后轉(zhuǎn)到第3)步繼續(xù)執(zhí)行。

圖3為某常規(guī)單體船和某雙艉船的艉部逼近橫剖線。圖3(a)和(b)曲線與型值點(diǎn)的最大相對(duì)誤差分別為0.24%和0.18%。

圖3　逼近橫剖線Fig.3　Approximation sectional curve

對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中具體是采用插值還是逼近一方面要考慮型值點(diǎn)的精度，另一方面要考慮型值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如果型值點(diǎn)不存在測(cè)量誤差或錄入誤差且每個(gè)橫截面的型值點(diǎn)數(shù)量不多并分析較為均勻，建議采用插值方法，否則作者建議采用逼近的方法。插值能保證精度但是控制頂點(diǎn)數(shù)相對(duì)較多，而逼近能夠保證在規(guī)定誤差范圍內(nèi)的情況下進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮，設(shè)計(jì)者可根據(jù)具體情況進(jìn)行選擇。

圖4為某船型艏輪廓線的插值和逼近NURBS曲線對(duì)比。型值點(diǎn)數(shù)為12個(gè)，圖4(a)插值曲線的控制頂點(diǎn)為14個(gè)，曲線精確通過每個(gè)型值點(diǎn)，圖4(b)逼近曲線的控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)，曲線與型值點(diǎn)的最大相對(duì)誤差為0.17%。從圖中可知，對(duì)于型值點(diǎn)較多且分布不太均勻的型值點(diǎn)，逼近曲線要比插值曲線光順。因此對(duì)于允許存在一定誤差的情況下，逼近曲線的效果要優(yōu)于插值曲線。

圖4　插值和逼近生成的艏輪廓線對(duì)比Fig.4　Comparison of stem contour generated by interpolation and approximation

2廣義站的構(gòu)造和曲線重構(gòu)

2.1構(gòu)造廣義站線

顯然，常規(guī)的站線無法構(gòu)成完整表達(dá)船體曲面的設(shè)計(jì)截面，還需要艏艉輪廓線和反應(yīng)艏艉曲率變化特征的特征曲線，本文以縱向設(shè)計(jì)法為基礎(chǔ)，將船體的艏艉輪廓線和反映艏艉曲率變化特征的特征曲線統(tǒng)稱為廣義站線，本節(jié)將主要介紹這些廣義站線的構(gòu)造方法。

艏艉輪廓線的構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單，只要根據(jù)中縱剖線上的型值點(diǎn)插值或逼近即可得到，而反映艏艉曲率變化特征的特征曲線的構(gòu)造則相對(duì)復(fù)雜，首先這些特征曲線往往并非平面曲線，如圖5中左列所示，平面廣義站線通常無法準(zhǔn)確反映艏艉部的曲率變化與過渡，因此本文采用三維空間曲線作為廣義站線，以便于較好的反映艏艉曲面的走勢(shì)，如圖5中右列虛線所示，這些曲線便是所謂的廣義站線。

由于僅根據(jù)常規(guī)站線無法獲得空間廣義站線的信息，所以要借助于水線或縱剖線，由于水線相對(duì)縱剖線更符合一般的設(shè)計(jì)思路，因此本文主要借助水線來構(gòu)造廣義站線，具體的構(gòu)造方法如下：

1)根據(jù)型值點(diǎn)，依照第1節(jié)提出的插值或逼近方法，得到各條常規(guī)橫剖站線和水線的NURBS表達(dá)式。

2)確定廣義站線的縱向范圍：以艏部為例：對(duì)于不包含球艏的簡(jiǎn)單船型，如圖5中最上面一行圖所示，可以將離艏輪廓線最近的站線作為艏部廣義站線的左邊界，對(duì)于帶球艏的船型，如圖5中最下面一行圖所示，此時(shí)球艏和船體曲面主體的過渡部分存在雙向曲度，通常需要相對(duì)較長(zhǎng)的縱向范圍且較多的廣義站線，因此將離艏輪廓線次近的站線作為艏部廣義站線的左邊界。艉部廣義站線縱向范圍的確定方式則與艏部類似，如圖5中中間一行圖所示。

圖5　插值和逼近生成的艏輪廓線對(duì)比Fig.5　Comparison of stem contour generated by interpolation and approximation

3)為了獲得構(gòu)造廣義站線的廣義型值點(diǎn)，需要在步2)確定的縱向范圍內(nèi)對(duì)每條水線進(jìn)行等數(shù)分割，分割的方式可以是等弧長(zhǎng)分割也可以是其他不等弧長(zhǎng)分割例如等比分割、指數(shù)分割等[15]。本文采取等弧長(zhǎng)的等數(shù)分割來構(gòu)造廣義型值點(diǎn)，弧長(zhǎng)計(jì)算表達(dá)式如下：

(13)

4)根據(jù)第1節(jié)提出的方法，對(duì)廣義型值點(diǎn)進(jìn)行插值或逼近得到廣義站線。

將艏艉廣義站線縱向范圍內(nèi)的空間廣義站線取代該范圍內(nèi)的常規(guī)站線，配合艏艉輪廓線以及艏艉空間廣義站線之間的中間常規(guī)站線，共同構(gòu)成了后續(xù)生成船體曲面的截面曲線。圖6為本方法構(gòu)造的帶球艏和球艉船型的艏艉部廣義站線。

圖6　艏艉處的廣義站線Fig.6　The generalized station of stem and stern

2.2基于等數(shù)弧長(zhǎng)均分的曲線重構(gòu)

大量控制頂點(diǎn)的引入使得經(jīng)典的曲面放樣算法很難直接應(yīng)用到實(shí)際的CAD系統(tǒng)中，因此本文提出一種新的一致化處理方法：首先對(duì)各條截面曲線(包括常規(guī)站線和廣義站線)進(jìn)行等數(shù)弧長(zhǎng)均分采樣以獲得廣義型值點(diǎn)，然后采用相同次數(shù)和節(jié)點(diǎn)矢量的一組相容的的NURBS曲線來插值采樣點(diǎn)，從而對(duì)截面曲線進(jìn)行一致化的重構(gòu)。經(jīng)過該處理過程，各條重構(gòu)的截面曲線便具有相同的次數(shù)、控制頂點(diǎn)數(shù)和節(jié)點(diǎn)矢量，這樣不僅構(gòu)造了一致化的截面曲線，同時(shí)大大減少了控制頂點(diǎn)的冗余，從而為后續(xù)的放樣曲面過程提供了良好的基礎(chǔ)。注意此處采用等數(shù)弧長(zhǎng)均分的方式采樣和2.1節(jié)中對(duì)水線進(jìn)行等數(shù)弧長(zhǎng)均分的目的是不一樣的，后者是為了獲得足夠數(shù)量的廣義站線以反映曲面在艏艉的走勢(shì)，而前者是為了構(gòu)造一致化的截面曲線。

具體的截面曲線一致化重構(gòu)過程如下：

1)對(duì)各截面曲線進(jìn)行等數(shù)弧長(zhǎng)均分，設(shè)重構(gòu)前的原截面曲線為

(14)

2)對(duì)各條截面曲線的廣義型值點(diǎn)進(jìn)行NURBS插值，次數(shù)取為三次，節(jié)點(diǎn)矢量則取準(zhǔn)均勻節(jié)點(diǎn)矢量：

(15)

3)采用1.1節(jié)敘述的插值方法對(duì)廣義型值點(diǎn)進(jìn)行插值，得到重構(gòu)后的一致化截面曲線：

(16)

4)計(jì)算重構(gòu)曲線與原截面曲線之間的偏差，同樣用最大歐幾里得范數(shù)距離來表達(dá)：

如果ξ≤ε，則輸出結(jié)果，如果ξ>ε，則取m=m+1然后轉(zhuǎn)到第2)步繼續(xù)執(zhí)行。

圖7為一游艇重構(gòu)前和重構(gòu)后的船體曲線對(duì)比。

注：虛線為重構(gòu)前的原截面曲線，實(shí)線為重構(gòu)后的船體曲線。圖7　游艇截面曲線的重構(gòu)Fig.7　Reconstruction of a yacht′s cross-section curve

從圖中可知重構(gòu)曲線幾乎跟原曲線重合，相對(duì)誤差為ε=0.05%，弧長(zhǎng)等分?jǐn)?shù)為7，而且滿足后續(xù)生成曲面的一致化要求。

3船體NURBS曲面的重構(gòu)

不同的船型，外型有不同的特點(diǎn)。船體外型的傳統(tǒng)描述與表達(dá)是船舶型線圖和型值表。經(jīng)過實(shí)船的NURBS描述已證明，僅通過船舶型線圖和型值表是不能夠得到光順的船體曲面，原因是船舶型線圖的站線、水線均太稀疏，不足以來表達(dá)光順的船體曲面。而船體曲面造型包含了一條船的完整的形狀信息，它的信息量較船舶型線圖或肋骨型線圖更完整、全面。

本節(jié)的目的便是通過上節(jié)重構(gòu)的截面曲線(包括廣義站線和常規(guī)站線)來構(gòu)造船體曲面，采用的曲面生成方法為改進(jìn)的放樣曲面(loftingsurface)方法[16]，該方法將截面曲線定義為參數(shù)曲面的等參數(shù)線并插值通過這些截面曲線。由于重構(gòu)后的各截面曲線已經(jīng)滿足一致化要求，因此可直接跳過對(duì)曲線的預(yù)處理過程而直接進(jìn)行曲面生成，將截面曲線的參數(shù)方向取為u向，不失一般性，設(shè)共有q+1條截面曲線：

(17)

(18)

(19)

對(duì)v向的各行截面曲線控制頂點(diǎn)采用累加弦長(zhǎng)參數(shù)化方法計(jì)算其對(duì)應(yīng)的v向參數(shù)值，取各個(gè)對(duì)應(yīng)控制頂點(diǎn)參數(shù)值的平均值作為統(tǒng)一的v向參數(shù)值vs[13]：

(20)

minFi=Ei+Bi=

(21)

求解出上述的優(yōu)化問題(21)，便可以得到船體曲面的控制頂點(diǎn)，然后根據(jù)NURBS曲面的表達(dá)式(2)得到船體曲面。

圖8和圖9分別為按照本文提出的船體曲面重構(gòu)方法得到的船體曲面，圖8為一簡(jiǎn)單船型，圖9為帶球艏和球艉的復(fù)雜船型，從結(jié)果可知該重構(gòu)方法得出的船體曲面具有較好的精度和光順性。

圖8　簡(jiǎn)單船型的NURBS曲面重構(gòu)Fig.8　NURBS surface reconstruction of simple hull

圖9　復(fù)雜船型的NURBS曲面重構(gòu)Fig.9　NURBS surface reconstruction of complex hull

4結(jié)論

以插值和逼近方式擬合型值為基礎(chǔ)，引入廣義站線來構(gòu)造船體曲面的截面曲線，通過改進(jìn)的曲面放樣法構(gòu)造了船體曲面，研究表明：

1)廣義站線相對(duì)傳統(tǒng)站線能夠更好的體現(xiàn)出船體曲面在艏艉處的曲率變化和過渡，也為后續(xù)的船體曲面重構(gòu)提供了更為合理的截面曲線；

2)基于等數(shù)弧長(zhǎng)均分的曲線重構(gòu)能夠在精度范圍內(nèi)很好的擬合船體型線，而且具有良好的數(shù)據(jù)壓縮效果，避免了控制頂點(diǎn)冗余；

3)改進(jìn)放樣法所構(gòu)造的船體曲面具有較高的擬合精度和光順性，有效避免了后期大量的人工干預(yù)和手動(dòng)光順處理；

4)由于曲面重構(gòu)的過程考慮的是兩個(gè)參數(shù)方向曲線的光順性，并未從曲面整體來考慮，今后的工作需要對(duì)這方面內(nèi)容進(jìn)行改進(jìn)。

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A fair reconstruction method of hull surface

DONG Feng，CHEN Shunhuai

(School of Transportation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China)

Abstract：In order to use more accurate and fair hull model in ship CAD/CAM/CAE system, based on the hull offset data, the NURBS representation of the conventional station ordinates and generalized station ordinates are obtained by interpolation or approximation method. After obtaining these curves, the same number of data points is sampled from these curves by dividing its arc length equally, so as to form generalized offset points. By interpolation of these generalized offset points, compatible conventional station ordinates and generalized station ordinates are reconstructed, and these curves together constitute the cross-section curves of the hull surface. These cross-section curves are taken as u-direction isoparametric curves of hull surface. By using improved surface lofting method, the whole hull surface is gotten. From the results, it can be seen that the reconstructed hull surface has good fitting accuracy and fairness.

Keywords：interpolation; approximation; reconstruction; generalized station; dividing arc length equally; improved lofting

中圖分類號(hào)：U662.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-7043(2016)02-0198-07

doi:10.11990/jheu.201410069

作者簡(jiǎn)介：董楓(1989-)， 男，博士研究生；陳順懷(1966-)，男，教授，博士生導(dǎo)師.通信作者：董楓，E-mail: dfisgood@163.com.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(51039006).

收稿日期：2014-10-27.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2015-12-15.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151215.1517.032.html