唐婷婷 黃艷

摘 要：一堂讓學生大有收獲的好課是磨出來的，作為一線教師需要有意識地對題目進行錘煉、琢磨，這個過程就是磨題. 高三教學中課堂例題的選編對學生能力的提升至關重要，教師需要通過磨題，以本為本，以綱為綱，把握例題選編的方向和出發(fā)點，充分發(fā)揮它們的示范作用.

關鍵詞：高三；解析幾何；磨題

在高三數(shù)學復習階段，很多教師和學生都忙于解題，忽視了對源問題的再研究和再使用，更談不上對一些通性通法再溫習. 高三數(shù)學教學是對高一高二教學的鞏固和延伸，是促進學生基本概念清晰化、知識結構系統(tǒng)化、能力運用靈活化、思維品質(zhì)優(yōu)越化的重要節(jié)點. 一堂讓學生大有收獲的好課是磨出來的，作為一線教師需要有意識地對題目進行錘煉、琢磨，這個過程就是磨題.

自江蘇省實施08高考方案以來，解析幾何題基本處在試卷第17題、第18題的位置，由于此類問題知識間融合要求的提高、運算量的增加，故學生往往會出現(xiàn)一看答案就懂，教師一教就會，自己一做就錯的現(xiàn)象.究其原因，是上課在追求解題數(shù)量和解題技巧的同時，未能重視學生對題目本質(zhì)的理解. 磨題的關鍵是能深刻領會題目的內(nèi)涵，這樣更有利于加深學生對知識橫向和縱向的聯(lián)系，激發(fā)學生探索問題的積極性，感受磨題與解題的雙重快樂，使整個復習過程成為錘煉學生思維習慣，提高數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)良好的解題綜合素質(zhì)的過程.在高三復習解析幾何這部分內(nèi)容時，筆者圍繞蘇教版必修2中一道課本題進行磨題，從而確定上課習題，下面把打磨的過程呈現(xiàn)給大家，體現(xiàn)磨題過程中思考的點滴.

源問題：已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，那么點M的坐標應滿足什么關系？畫出滿足條件的點M所構成的曲線.

對源問題的題設條件進行打磨，引入切線

磨題1：已知A（3，0），圓O：x2+y2=1，動點M到圓O的切線長與MA的比等于常數(shù)，求動點M的軌跡方程.

磨題2：已知圓O：x2+y2=1，圓A：（x-3）2+y2=1，過動點M分別作圓O、圓A的切線MP，MQ，其中P，Q分別為切點，若=，試求動點M的軌跡方程.

磨題1、磨題2均屬于考查與阿波羅尼斯圓有關的軌跡問題，分別將源問題中的定點膨脹成圓，通過構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題.

調(diào)整設問方式，增強問題的開放性

磨題3：已知兩定點A（3，0），B（0，0），M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點，問是否存在這樣的常數(shù)λ，使得=λ？若存在，求出常數(shù)λ的值；若不存在，說明理由.

本題在設問上突破了固定的“已知—求解”的數(shù)學推理模式，由于設問方式上的改變使得在求解本題時至少得思考兩個問題：是否存在；如何求解.

磨題4：已知點A（3，0），M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點，問平面上是否存在一點B，使=？若存在，求出點B的坐標；若不存在，說明理由.

此類情況，點A，B在x軸的同側，且點B伴隨點A而生，因此改變點A的位置，點B隨之唯一確定. 本題也可通過M的特殊點探求點B，再做一般性的證明，不斷拓展學生的思維.

磨題5：已知定點A（3，0），點M是圓O：x2+y2=1上任意一點，問：是否存在不同于點A的定點Q，都有=λ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

磨題5、磨題6通過開放式的設問背景，能比較客觀、全面地測量學生觀察、試驗、猜想、歸納、類比等思維能力，能夠更好地激發(fā)學生的探索精神.

磨題7：我們知道，阿波羅尼斯圓定理中涉及的定點A，B在該圓的一條對稱軸上，那么，對于一個確定的圓，在其對稱軸上，是否存在確定的兩點，使圓上任意一點到這兩點的距離的比為常數(shù)λ（λ≠1）？

已知點M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點，問在x軸上是否存在點A，B，使得=？若存在，求出兩定點A，B的坐標；若不存在，說明理由.

磨題8：已知點M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點，問在直線y=x+1上是否存在點A，B，使得=？若存在，求出兩定點A，B的坐標，若不存在，說明理由.

基于以上研究，我們可以解決三類問題：一：知一求二，即給出一個定點，求定值和另一個定點，或者給出定值，求兩個定點坐標；二：利用恒成立問題的處理策略求定值；三：對存在性問題做出判斷.

將定點動起來，提高問題的探究性

磨題9：已知圓O：x2+y2=1，點A是直線l：y=3上橫坐標為t的點，試問：是否存在一個異于點A的點B，對于圓O上任意一點M，有為定值？若存在，求出當點A在直線l上運動時，點B的軌跡方程；若不存在，說明理由.

磨題10：已知圓O：x2+y2=1，點A是直線l：y=x+3上橫坐標為t的點，試問：是否存在一個異于點A的點B，對于圓O上任意一點M，有為定值？若存在，求出當點A在直線l上運動時，點B的軌跡方程；若不存在，說明理由.

為了進一步增加問題的探究性，將定點A動起來，從而不斷提升學生求異創(chuàng)新的思維能力. 研究圖形的運動變化規(guī)律及運動變化過程中的不變量是解析幾何命題的重要視角之一.

轉換背景，重視知識間的整合

磨題11：若磨題9、磨題10中未知定直線，可引入新元素“橢圓的準線”.

橢圓C：+=1，若A是橢圓準線l上縱坐標為t的點，試問：是否存在一個異于點A的點B，對于橢圓上任意一點M，有為定值？若存在，求出當點A在直線l上運動時，點B的軌跡方程；若不存在，說明理由.

磨題12：若磨題5中定點A未知，可通過其他方式來聯(lián)系點A和點B，如引入新元素“橢圓中a2=b2+c2”或“雙曲線中c2=a2+b2”.

橢圓C：+=1（a>），A為右頂點，C為右焦點，圓O：x2+y2=3，在圓O上任取一點M，是否有為定值？若存在定值，求出此橢圓方程；若不存在，說明理由.

磨題13：雙曲線C：-=1（a>），A為右頂點，C為右焦點，圓O：x2+y2=3，在圓O上任取一點M，是否有為定值？若存在定值，求出此雙曲線方程；若不存在，說明理由.

蘇教版高中數(shù)學課程是以模塊和專題的形式呈現(xiàn)的，因此，注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系也成了數(shù)學磨題的一個創(chuàng)新視角. 筆者通過上述磨題，最終以磨題1、磨題5、磨題10、磨題12作為上課習題，旨在通過知識的遷移與交匯使學生體會知識之間的有機聯(lián)系，感受解析幾何的整體性，從而不斷提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

高三教師僅停留在能“把題目做出來，并一題多解”這一層面上是遠遠不夠的.“磨題”的關鍵是能深刻領會題目的內(nèi)涵，在教師自己全面準確把握了題目的內(nèi)涵和解法之后，更重要的是選擇合適的習題及解法以適應不同的學生. 應該說“磨題”的最終目的是讓高三的數(shù)學課堂既要注重基礎，又要有所創(chuàng)新提高；既要注重通性通法，又要注意技巧鍛煉；既要做到靈活多變，培養(yǎng)學生良好的學習習慣，又要自覺地運用數(shù)學思想方法進行分析、推理、運算，只有當學生通過自己的思考建立起自己的數(shù)學理解力時才可以說對知識達到了較高程度的掌握，從而真正提高高三教學的效率.