劉 哲

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音樂(lè)中的數(shù)學(xué)

劉 哲

摘 要：通過(guò)操作，讓我們領(lǐng)略到了音樂(lè)的奇妙，以及看到了音樂(lè)（如弦樂(lè)器）從它進(jìn)入人類的生活、娛樂(lè)的初始，就有數(shù)學(xué)與之相隨了，對(duì)它的初探，只是起到一個(gè)拋磚引玉的作用，如果我們?cè)龠M(jìn)一步研究，將會(huì)有更新的發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：音樂(lè)；數(shù)學(xué)

提到音樂(lè)與數(shù)學(xué)，人們一定會(huì)感覺(jué)到他們風(fēng)馬牛不相及，怎么會(huì)聯(lián)系到一起呢？通過(guò)向下面的觀察，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們之間有著一種奇妙的關(guān)系。

二胡弦長(zhǎng)數(shù)據(jù)參考對(duì)照表

縱坐標(biāo)y x i（弦長(zhǎng)）推導(dǎo)式及計(jì)算數(shù)據(jù)橫坐標(biāo)序號(hào)及對(duì)應(yīng)唱名粗測(cè)弦長(zhǎng)數(shù)據(jù)y x i （m m ）= L （x i -1 ）= 1 . 0 3 6 A -3 7 . 3 1 6 + 4 2 9 . 7 5 2 B X i　唱名1 　 1 （d o）　4 0 0 　4 0 0 　3 9 3 . 4 7 2 2 　 2 （r e）　3 6 0 　3 6 2 . 2 8 9 　3 5 9 . 2 6 4 3 　 3 （m i）　3 2 4 　3 2 8 . 1 3 4 　3 2 7 . 1 2 8 4 　 4 （f a）　2 9 6 　2 9 7 . 1 9 8 　2 9 7 . 0 6 4 5 　 5 （s o l）　2 6 6 　2 6 9 . 1 8 0 　2 6 9 . 0 7 2 6 　 6 （l a）　2 4 0 　2 4 3 . 8 0 2 　2 4 3 . 1 5 2

7　 7（si）　216　220.817　219.304 8?。╠o）　200　200　197.528 9?。╮e）　180　181.144　177.824 10?。╩i）　162　164.067　160.192 11?。╢a）　148　148.599　144.632 12?。╯ol）　133　134.590　131.144 13?。╨a）　120　121.901　119.728 14?。╯i）　108　110.409　110.354 15　（do）　100　100　103.112

以下我們?cè)俳榻B一下方程式的出處。這里重點(diǎn)介紹一下B式導(dǎo)出的依據(jù)。上世紀(jì)七、八十年代，我在山西省電子工業(yè)廳計(jì)劃處工作時(shí)，曾代表電子系統(tǒng)參加過(guò)全省規(guī)劃的編制，當(dāng)時(shí)也曾是省計(jì)劃學(xué)會(huì)的會(huì)員，在工作中摸索出一種計(jì)算回歸的簡(jiǎn)化方法，在實(shí)踐中得到了很好的應(yīng)用。之所以稱為簡(jiǎn)化，是它不需要高深的數(shù)學(xué)，也不必用最小二乘法計(jì)算，運(yùn)用簡(jiǎn)便。該方法曾撰文在一九八八年《山西統(tǒng)計(jì)》第五期雜志上發(fā)表，該法建立在一個(gè)有規(guī)律變化的一組數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，見(jiàn)該刊第五頁(yè)圖一，設(shè)各組數(shù)據(jù)按y=f（x）的方程變化，按照這一規(guī)律，各組數(shù)據(jù)的方程式表達(dá)式為：

在該方程中，x1，x2，x3，…xm（橫坐標(biāo)）及y1，y2，y3，…ym（縱坐標(biāo)），作為已知數(shù)出現(xiàn)，而a，b，c，…等作為未知數(shù)參與運(yùn)算，這樣方程式就可以建立起來(lái)了。其方程式可表達(dá)如下：

將（1.2）式中的m個(gè)方程等號(hào)兩邊各自相加，組合成數(shù)量大體相等或接近的3個(gè)方程式組。因?yàn)槭欠蔷€性方程，所以三個(gè)未知數(shù)必須是三個(gè)方程，即按三個(gè)未知數(shù)列出以下的聯(lián)立方程，并求解。

最終運(yùn)算結(jié)果為：

a=1.036

b=-37.316

c=429.752

將a，b，c代入方程則最終得到的方程式為：

該方程由于測(cè)量方法簡(jiǎn)單，誤差不小，所以在音準(zhǔn)方面不一定準(zhǔn)確，但大致可以看出它們的相互關(guān)系。

通過(guò)以上的操作，讓我們領(lǐng)略到了音樂(lè)的奇妙，以及看到了音樂(lè)（如弦樂(lè)器）從它進(jìn)入人類的生活、娛樂(lè)的初始，就有數(shù)學(xué)與之相隨了，對(duì)它的初探，只是起到一個(gè)拋磚引玉的作用，如果我們?cè)龠M(jìn)一步研究，將會(huì)有更新的發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)。■