張俊敏，劉宗方，陳　勉

(中南民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

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一種基于Hamming自乘法窗函數(shù)和四插值的諧波分析方法

張俊敏，劉宗方，陳勉

(中南民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

摘要針對(duì)諧波分析過(guò)程中常規(guī)窗函數(shù)存在精度不足的問(wèn)題，提出了一種自乘法窗函數(shù)的構(gòu)造方法，并以Hamming窗函數(shù)為例構(gòu)造出1-9階乘法窗函數(shù)，將這些窗函數(shù)應(yīng)用于四譜線插值諧波分析方法中，仿真實(shí)驗(yàn)表明：構(gòu)造出的自乘法窗函數(shù)相對(duì)于常規(guī)窗函數(shù)，在進(jìn)行插值諧波分析中具有更高的準(zhǔn)確度.工程實(shí)踐中可根據(jù)精度需要選擇所構(gòu)造的窗函數(shù)階次.

關(guān)鍵詞諧波分析；自乘法窗函數(shù)；漢明窗；四插值

A Harmonic Analysis Method Based on Hamming Self-Multiplication Window Functions and Four-Spectrum-Line-Interpolation

ZhangJunmin,LiuZongfang,ChenMian

(College of Computer Science, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

AbstractIn view of precision insufficient of the conventional window functions used in harmonic analysis, this paper introduced a construction method of self-multiplication window functions, and gave self-multiplication window functions of 1-9 orders based on Hamming window, and meanwhile verified a harmonic analysis method of four-spectrum-line-interpolation based on these multiplication window functions. The simulation experiments show that the constructed window function has a higher accuracy comparing to the conventional window function interpolation algorithm. In practical engineering, we can choose the constructed window function orders according to the needs of precision.

Keywordsharmonic analysis; self-multiplication window function; Hamming window; four-spectrum-line-interpolation

電網(wǎng)中非線性器件的使用帶來(lái)了諧波問(wèn)題，不僅惡化了電能質(zhì)量，對(duì)電網(wǎng)的安全穩(wěn)定和經(jīng)濟(jì)運(yùn)行也造成較大影響[1,2].因此，對(duì)電網(wǎng)中諧波參數(shù)進(jìn)行測(cè)量，一方面可以明確當(dāng)前系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)；另一方面對(duì)于減少諧波危害，維護(hù)電網(wǎng)安全穩(wěn)定、高效運(yùn)行是十分必要的.

諧波檢測(cè)的關(guān)鍵問(wèn)題為非同步采樣下如何解決頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，常見(jiàn)檢測(cè)方法主要有傅里葉變換插值算法、機(jī)器學(xué)習(xí)法、小波變換、功率譜估計(jì)、希爾伯特-黃變換.傅里葉插值算法是運(yùn)用各種特殊窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)?，然后結(jié)合譜線插值 FFT進(jìn)行諧波分析[3].常用窗函數(shù)，例如漢寧(Hanning)窗函數(shù)[4]、布萊克曼漢斯(Blackman-Harris)窗函數(shù)[5]、納托爾(Nuttall)窗函數(shù)[6]、萊夫文森特(Rife-Vincent)窗函數(shù)[7]在插值運(yùn)算中得到應(yīng)用；一系列自卷積窗函數(shù)，如三角自卷積窗函數(shù)[8]、矩形自卷積窗函數(shù)[9]、Hanning自卷積窗函數(shù)[10]等也被提出.在加窗基礎(chǔ)上，Wu Jing等人和牛勝鎖等人提出了三譜線修正算法[11-19]，D. Agrez[15]和龐浩[4]等人各自提出了雙譜線的修正算法.這些改進(jìn)降低了頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響，提高了諧波分析的準(zhǔn)確性.

為了進(jìn)一步提高加窗插值算法的精度，本文在自乘法窗函數(shù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了1-9階Hamming自乘法窗函數(shù).計(jì)算實(shí)例表明：該算法相對(duì)于雙譜線和三譜線插值算法，具有更高的準(zhǔn)確度.

1Hamming自乘法窗

自乘法窗函數(shù)的定義為：若干個(gè)相同窗函數(shù)進(jìn)行相乘所構(gòu)成的新的窗函數(shù).乘法窗的公式為：

(1)

其中w(n)為基本窗函數(shù)；p為參加乘法的窗函數(shù)個(gè)數(shù)，稱為乘法窗的階數(shù)，p=1時(shí)即為原窗函數(shù).

p階Hamming乘法窗的主瓣寬度(MB)為8+4p，隨著乘法階數(shù)p的增加而變寬，如表1所示.

表1　Hamming自乘法窗函數(shù)頻譜特性

2四插值算法原理

對(duì)單一頻率信號(hào)進(jìn)行分析，假定一個(gè)頻率為f0，幅值為A，初始相位為φ的信號(hào)x(t)以采樣頻率fs采樣后，得到如下形式的離散信號(hào)：

x(n)=Asin(2πnf/fs+φ),

(2)

式中n=0,1,…,N-1，N為采樣點(diǎn)數(shù).

所加離散余弦窗函數(shù)的表達(dá)式為：

(3)

式中n=0,1,…,N-1;M為窗函數(shù)項(xiàng)數(shù)；窗函數(shù)系數(shù)bm滿足如下約束條件：

(4)

對(duì)離散信號(hào)x(n)進(jìn)行加窗，得到xw(n)=x(n)w(n)，離散傅里葉變換后得到：

(5)

(6)

對(duì)信號(hào)的非同步采樣或非整周期數(shù)據(jù)截?cái)鄷r(shí)，由于柵欄效應(yīng)，信號(hào)的峰值頻率f0=k0Δf很難剛好位于離散譜線的頻點(diǎn)上，即k0一般不為整數(shù).設(shè)峰值頻率點(diǎn)左右各兩條譜線分別為k1

記α=k-k2-0.5，由于0≤k-k2≤1，則-0.5≤α≤0.5，另記：

(7)

根據(jù)式(4)和(5)可以得到：

(8)

當(dāng)N值較大時(shí)，式(8)可以化簡(jiǎn)為β=g(α)，其反函數(shù)為α=g-1(β).由于所采用的余弦窗系數(shù)均為實(shí)系數(shù)，其頻率響應(yīng)是偶對(duì)稱的，因而g(g)和g-1(g)均為奇函數(shù).可采用多項(xiàng)式逼近方法計(jì)算奇函數(shù)α=g-1(β)，表達(dá)式為：

α≈p11β+p13β3+…+p1pβp.

(9)

式中p11,p13,…,p1p為多項(xiàng)式逼近的奇次項(xiàng)系數(shù).

求得α后，得出信號(hào)頻率：

f0=kΔf=(k2+α+0.5)Δf.

(10)

信號(hào)幅值根據(jù)式(6)可知：

(11)

考慮到y(tǒng)2,y3是離真實(shí)譜線點(diǎn)最近的兩根譜線，故給予較大權(quán)重，可以得到：

(12)

類似式(9)的逼近方法，當(dāng)N比較大，窗函數(shù)系數(shù)為實(shí)系數(shù)，式(12)可表示為：

A=N-1(y4+2.5y3+2.5y2+y1)u(α),

(13)

式中u(g)為偶函數(shù)，逼近多項(xiàng)式不含奇次項(xiàng).四譜線修正逼近多項(xiàng)式如下：

A=N-1(y4+2.5y3+2.5y2+y1)(p20+p22α2+…+

p2dαd),

(14)

其中p20,p22,…，p2d為多項(xiàng)式逼近的偶次項(xiàng)系數(shù).

根據(jù)式(6)還可以得出信號(hào)的相位：

(15)

根據(jù)式(8)、(9)、(11)、(14)、(15)即可進(jìn)行各次諧波參數(shù)的分析.考慮到其中大量窗函數(shù)的離散傅里葉分析，其表達(dá)式為：

(16)

由于N>>1，可以得到：

(17)

3算法仿真

為了驗(yàn)證所提算法的精度，進(jìn)行9次諧波仿真分析.信號(hào)模型為：

(18)

式中基波頻率f1為50.5Hz；采樣頻率fs為5120Hz；數(shù)據(jù)的截?cái)嚅L(zhǎng)度N為1024點(diǎn).仿真所采用的信號(hào)參數(shù)如表2所示.

表2　諧波信號(hào)參數(shù)

對(duì)截?cái)嗟臄?shù)據(jù)分別加表1所示的自乘法窗函數(shù)，然后進(jìn)行FFT插值分析.以下研究插值算法對(duì)檢測(cè)精度的影響，修正算法中的擬合多項(xiàng)式次數(shù)均取5次，算法流程圖在文獻(xiàn)[7]中有詳細(xì)說(shuō)明，此處不予贅述.

仿真結(jié)果由表3～表5給出，其中DAi表示基波和各次諧波幅值測(cè)量值的相對(duì)誤差，Df0表示基波頻率測(cè)量值的相對(duì)誤差，Dφi表示基波和各次諧波初始相位測(cè)量值的相對(duì)誤差，均用百分比表示.

表3　Hamming自乘法窗頻率測(cè)量相對(duì)誤差

表4　Hamming自乘法窗幅值測(cè)量相對(duì)誤差

表5　Hamming自乘法窗相位測(cè)量相對(duì)誤差

由以上的仿真結(jié)果可以看出，本文所推導(dǎo)的四譜線插值FFT計(jì)算方法，計(jì)算結(jié)果普遍好于文獻(xiàn)[18]中所述雙譜線和三譜線插值算法；同時(shí)從表3～表5數(shù)據(jù)可以看出，隨著窗函數(shù)階次的增加，與文獻(xiàn)[18]的結(jié)果比較，四譜線插值在奇數(shù)次諧波檢測(cè)上的性能提升空間不大，但在偶數(shù)次諧波檢測(cè)上的精度提升很大，這也是四譜線插值的主要優(yōu)點(diǎn).隨著乘法窗函數(shù)階次的增加，副瓣衰減變大，可以改善由于非整數(shù)截?cái)鄮?lái)的頻譜泄漏；但主瓣越來(lái)越寬，對(duì)諧波檢測(cè)精度是不利的，這點(diǎn)在數(shù)據(jù)中也有所體現(xiàn).當(dāng)乘法窗函數(shù)階次提高，窗函數(shù)系數(shù)會(huì)增加，在時(shí)域中加窗有時(shí)候會(huì)相應(yīng)增加計(jì)算量.

4結(jié)論

在對(duì)信號(hào)進(jìn)行FFT諧波分析時(shí)，通過(guò)加窗和插值算法可以減少由于非同步采樣或者對(duì)數(shù)據(jù)的非整周期截?cái)嗨鸬恼`差.本文在各階Hamming自乘法窗函數(shù)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了四插值算法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文所提出的四譜線算法總體精度較優(yōu)，在檢測(cè)偶次諧波參數(shù)時(shí)計(jì)算精度更高，具有較高的實(shí)用價(jià)值.8階自乘法窗函數(shù)以下，階次越高計(jì)算精度越高，相應(yīng)時(shí)域乘法計(jì)算量也會(huì)增加，在工程上可根據(jù)本文的仿真結(jié)果精度選擇合適的窗函數(shù).

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中圖分類號(hào)TM711

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1672-4321(2016)01-0132-04

基金項(xiàng)目國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50677048)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(CZY14008)

作者簡(jiǎn)介張俊敏(1977-) ，女，副教授，博士，研究方向：電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化，E-mail: 173902815@qq.com

收稿日期2016-01-04