陳丹丹

摘 要 通過(guò)分析，在教學(xué)中可以將用定積分求旋轉(zhuǎn)體和平行截面為已知的立體的體積時(shí)都?xì)w納為平行截面為已知的立體，使得知識(shí)點(diǎn)更加系統(tǒng)化、條理化。

關(guān)鍵詞 定積分求體積 教學(xué)思路

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

用定積分求旋轉(zhuǎn)體和平行截面為已知的立體的體積是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)，課本上是分成兩部分來(lái)展開(kāi)的，一是給出旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算方法；二是給出平行截面為已知的立體的體積計(jì)算方法，這樣使得學(xué)生也分成兩類記憶和分析，知識(shí)點(diǎn)形式上的增多會(huì)使得學(xué)生在遇到求體積的題目時(shí)無(wú)從下手。將用定積分求旋轉(zhuǎn)體和平行截面為已知的立體的體積時(shí)都?xì)w納為平行截面為已知的立體，會(huì)使得知識(shí)點(diǎn)更加系統(tǒng)化、條理化。

1常用的《高等數(shù)學(xué)》課本上這部分知識(shí)體系的教學(xué)思路

（1）求由連續(xù)曲線y=f（x）、直線x=a、x=b、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體V1的體積。

用元素法分析選取x為積分變量，在區(qū)間[a，b]上任意選取小區(qū)間[x，x+dx]，那么這一小區(qū)間上的窄曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的薄片體積的近似值也即體積元素為：

dV1=€%i[f（x）]2dx

那么所求體積為：

V1=€%i[f（x）]2dx

類似得到由連續(xù)曲線x=€%o（y）、直線y=c、y=d及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體V2的體積：

V2=€%i[€%o（y）]2dx

（2）一立體是在軸上的點(diǎn)x=a，x=b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間，且過(guò)點(diǎn)垂直于軸的截面的面積為A（x），A（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，求此立體V3的體積。

用元素分析法選取為積分變量，在區(qū)間[a，b]上任意選取小區(qū)間[x，x+dx]，那么這一小區(qū)間上體積的近似值也即體積元素為：

dV3=A（x）dx

那么所求體積為：

V3=A（x）dx

這種知識(shí)體系結(jié)構(gòu)是分成兩種類型的立體：旋轉(zhuǎn)體和平行截面為已知的立體，然后分別利用定積分的元素法把兩種類型立體體積計(jì)算方法給了出來(lái)，實(shí)際上抓住這兩種類型的立體的特點(diǎn)可以把這兩種立體歸納成一種類型的立體，然后再結(jié)合元素法求出立體的體積。

2新的教學(xué)思路

首先要給學(xué)生講解清楚這樣的思路：正如（2）中所描述的立體，如果垂直于某個(gè)軸的截面是已知的，再結(jié)合元素法，就可以用定積分把這個(gè)立體的體積表示出來(lái)，從這個(gè)角度出發(fā)再用元素法求出立體的體積，分析（1），（2）中的立體都是平行截面為知的立體：（1）中的旋轉(zhuǎn)體是過(guò)區(qū)間[a，b]里的點(diǎn)x垂直于x軸的截面A（x）是已知的，且有：

A（x）=€%if2（x）

旋轉(zhuǎn)體V2是過(guò)區(qū)間[c，d]里的點(diǎn)y垂直于y軸的截面A（y）是已知的，且有：

A（y）=€%i€%o2（y）

例1 求由曲線y=，直線y=2以及x=0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解 V是由曲線x=y2，直線y=2及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體，過(guò)點(diǎn)y垂直于y軸的截面的面積為A（y），且

A（y）=€%i（y2）2

那么體積元素為dV=A（y）dy

則：V€%i（y2）2dy=€%i

3結(jié)論

先從平行截面面積出發(fā)這個(gè)思路去求立體的體積，把平行截面的面積求出來(lái)再利用元素法把體積求出來(lái)，那么在遇到求立體的體積的題目時(shí)，學(xué)生在思路上就會(huì)有一個(gè)大方向，然后再用元素法得出體積的定積分表示，進(jìn)而求出體積值。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第三版）[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2014.