何曉敏，王穎，柯能，張逸新

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇無錫　214122;2.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫　214122)

?

彩色半色調(diào)墨點(diǎn)邊緣羽化的Clapper-Yule擴(kuò)展模型

何曉敏1，王穎1，柯能1，張逸新2*

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇無錫214122;2.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫214122)

摘要:研究了墨點(diǎn)邊緣發(fā)生羽化現(xiàn)象(非二值理想墨點(diǎn))對印品光譜反射率的影響，為色彩預(yù)測模型的理論研究提供一個(gè)新的思路。采用二維高斯函數(shù)模擬墨點(diǎn)表面的形態(tài)，利用多重積分計(jì)算出墨點(diǎn)羽化后的體積，根據(jù)體積的恒常性即羽化前后墨點(diǎn)體積相等，推導(dǎo)出含邊緣坡度因子σ的網(wǎng)點(diǎn)面積率以及含墨層相對厚度因子的油墨透射率，由此建立了一個(gè)Clapper-Yule擴(kuò)展模型。模型的數(shù)值模擬結(jié)果表明墨點(diǎn)邊緣油墨鋪展所導(dǎo)致的網(wǎng)點(diǎn)物理擴(kuò)大，增加了油墨對光的吸收，從而降低了最終的光譜反射率。采用Clapper-Yule分程模型對顏色進(jìn)行預(yù)測時(shí)需考慮墨點(diǎn)邊緣羽化所帶來的物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大，該模型適用于彩色半色調(diào)印品的顏色預(yù)測與控制。

關(guān)鍵詞：印刷色彩學(xué)；Clapper-Yule模型；光譜反射率；墨點(diǎn)邊緣羽化

1引言

在上述模型[1-9]的建立過程中，通常都假設(shè)半色調(diào)圖像的墨點(diǎn)是厚度均勻且邊緣銳利的柱體，然而在實(shí)際的印品中，油墨層的厚度往往是隨著離開墨點(diǎn)中心的距離增大而非線性減小?？紤]到這種現(xiàn)象，Hersch和Brichon[10]等人通過半色調(diào)Clapper-Yule光譜模型導(dǎo)出單色印刷及多色疊印時(shí)的相對厚度因子d；Mathieu和Hersch[11]將經(jīng)典的二值(非紙即墨)半色調(diào)假設(shè)擴(kuò)展到連續(xù)(墨點(diǎn)邊緣羽化)半色調(diào)墨點(diǎn)，修正了Yule-Nielsen模型以及經(jīng)典的Clapper-Yule模型，建立了連續(xù)半色調(diào)光譜預(yù)測模型，但是該模型未涉及光在紙內(nèi)傳播路程存在長短不一的問題。

針對上面的問題，本文在包含光的長短程傳播的分程Clapper-Yule模型基礎(chǔ)上考慮了墨點(diǎn)邊緣鋪展以及墨層透射率變化對印品光譜反射率的影響，將二維高斯函數(shù)作為邊緣羽化后的墨點(diǎn)的表面函數(shù)，利用多重積分計(jì)算出墨點(diǎn)羽化后的體積，根據(jù)體積的恒常性即羽化前后墨點(diǎn)體積相等，推導(dǎo)出含邊緣坡度因子σ的網(wǎng)點(diǎn)面積率及墨層透射率，由此建立了新的色彩預(yù)測模型并通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)表明了新模型具有較高的色彩預(yù)測精度。

2墨點(diǎn)邊緣羽化模型

在實(shí)際印刷中因機(jī)械作用以及油墨的流平特性，油墨在紙張上鋪展造成網(wǎng)點(diǎn)機(jī)械擴(kuò)大以及墨層厚度隨著偏離墨點(diǎn)中心而非線性減小的墨點(diǎn)邊緣羽化[12]，圖1是的邊緣羽化前后墨點(diǎn)的平面示意圖[11]。

Fig.1The ichnography of ink dot before and after the feathering

作為近似，本文采用二維高斯函數(shù)來模擬墨點(diǎn)邊緣的羽化現(xiàn)象，從而構(gòu)成墨點(diǎn)表面形態(tài)與墨層厚度的函數(shù)關(guān)系。在理想的二值半色調(diào)印刷品中，油墨的網(wǎng)點(diǎn)面積率用理論網(wǎng)點(diǎn)面積率a表示。假設(shè)加網(wǎng)線數(shù)為L，則網(wǎng)點(diǎn)大小Sdot與網(wǎng)點(diǎn)面積率a和加網(wǎng)線數(shù)L有公式1的數(shù)學(xué)關(guān)系。圖2所示的是不同加網(wǎng)線數(shù)對應(yīng)的網(wǎng)點(diǎn)大小。

(1)

Fig.2　Ideal dot sizes of different screen rulings

f0(x,y)=

(2)

考慮到邊緣發(fā)生羽化現(xiàn)象，半色調(diào)網(wǎng)點(diǎn)的墨層厚度與空間位置的關(guān)系采用二維高斯函數(shù)來近似描述，如公式3所示。

(3)

其中參數(shù)σ取決于墨點(diǎn)邊緣的平緩程度，σ越大則

坡度越平緩。坡度因子σ是一個(gè)使預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值差值最小的實(shí)驗(yàn)調(diào)整參數(shù)，本文中σ=0.41。那么羽化后的半色調(diào)網(wǎng)點(diǎn)墨層厚度Dσ(x,y)為二值半色調(diào)墨點(diǎn)的固定厚度與邊緣羽化半色調(diào)網(wǎng)點(diǎn)的表面函數(shù)二者的乘積，如公式4所示。

(4)

(5)

根據(jù)朗伯比爾定律，我們知道墨層厚度會(huì)影響油墨的透射率，在本文研究的半色調(diào)墨點(diǎn)模型中，由于墨點(diǎn)的邊緣發(fā)生了一定的油墨鋪展，導(dǎo)致墨點(diǎn)內(nèi)不同位置的墨層厚度不同，其透射率發(fā)生相應(yīng)改變。邊緣發(fā)生油墨鋪展的半色調(diào)網(wǎng)點(diǎn)的透射率T(x,y)可由公式6計(jì)算而得。

(6)

3墨點(diǎn)邊緣羽化的物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大

(7)

根據(jù)墨點(diǎn)體積的恒常性，即理想情況下墨點(diǎn)的體積和產(chǎn)生物理擴(kuò)大后墨點(diǎn)的體積是相等的，也即Vσ=V0，如公式8所示；通過數(shù)學(xué)運(yùn)算，由此我們可以推導(dǎo)出物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大后網(wǎng)點(diǎn)的面積大小，如公式9所示。

(8)

(9)

(10)

(11)

將公式10和公式11的網(wǎng)點(diǎn)面積大小代入公式9，由此可以得到考慮了物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大的網(wǎng)點(diǎn)面積率和理論網(wǎng)點(diǎn)面積率之間的關(guān)系，如公式12所示。圖3所示的是加網(wǎng)線數(shù)為75 lpi時(shí)，不同情況下網(wǎng)點(diǎn)面積的大小。

(12)

Fig.3　Gain of dot size with screen ruling of 75 lpi

4單色Clapper-Yule擴(kuò)展模型

考慮到墨點(diǎn)邊緣鋪展(即羽化)所導(dǎo)致的物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大會(huì)增加油墨對光的吸收，從而影響最終的反射率，我們將這個(gè)因素引入到Clapper-Yule分程模型中，類似于Hersch和Emmel的討論，我們假設(shè)有b部分光[13]從某個(gè)網(wǎng)點(diǎn)入射并從該網(wǎng)點(diǎn)出射(即短程部分)，(1-b)部分的光按經(jīng)典Clapper-Yule模型的擴(kuò)散原理進(jìn)行傳播(即長程部分)。

4.1長程光譜預(yù)測模型

(13)

剩下的光繼續(xù)向下傳播，則第二次出射的光量為：

(14)

第n次出射的光量為：

(15)

利用等比數(shù)列求和公式我們可以得到長程部分的光譜反射率為

(16)

4.2短程光譜預(yù)測模型

考慮到光在紙張內(nèi)部傳播光程的長短，短程傳播的入射光從某一墨點(diǎn)入射并從該入射區(qū)域出射，則該部分的光入射并第一次出射的光量為

(17)

第二次出射的光量為：

(18)

第n次出射的光量為：

(19)

那么短程部分的光譜反射率為

(20)

對于單色半色調(diào)圖像，考慮墨點(diǎn)邊緣羽化的Clapper-Yule擴(kuò)展模型如公式21所示。

(21)

將公式12和公式6代入公式21中，由此可計(jì)算得到考慮因墨點(diǎn)邊緣羽化而產(chǎn)生的物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大時(shí)的單色半色調(diào)Clapper-Yule分程模型，如公式22所示。

(22)

5多色Clapper-Yule擴(kuò)展模型

5.1不考慮油墨疊印擴(kuò)展的等效網(wǎng)點(diǎn)面積率

(23)

5.2考慮油墨疊印擴(kuò)展的等效網(wǎng)點(diǎn)面積率

如果考慮油墨疊印擴(kuò)展的話，假設(shè)三種油墨CMY疊印的情況，如果先單獨(dú)印青，然后把品疊印在青墨上，再把黃疊印在青上，最后黃和品一起疊印在青上；或是先單獨(dú)印品，青疊印在品上，黃疊印在品上，黃和青一起疊印在品上；或者先單獨(dú)印黃，青疊印在黃上，品疊印在黃上，青和品一起疊印在黃上。為了獲得每一種原色油墨的有效網(wǎng)點(diǎn)面積率c′、m′、y′，首先必須知道其相應(yīng)的加權(quán)函數(shù)如青墨的fc、fc/m、fc/y和fc/my，這些函數(shù)關(guān)系取決于所用油墨是單獨(dú)印在紙上，還是印在另一色油墨上或是印在另兩色油墨上；主要根據(jù)實(shí)際印刷中采用的油墨、紙張經(jīng)實(shí)驗(yàn)而定。就現(xiàn)在討論的三種油墨CMY而言，考慮疊印網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大后的有效網(wǎng)點(diǎn)面積率為c′、m′、y′，并且假設(shè)各原色油墨的印刷是相互獨(dú)立的，不會(huì)互相影響。印刷三原色油墨的有效網(wǎng)點(diǎn)面積率的計(jì)算方程如公式24至26所示。

青墨的有效網(wǎng)點(diǎn)面積率：

(24)

品墨的有效網(wǎng)點(diǎn)面積率：

(25)

黃墨的有效網(wǎng)點(diǎn)面積率：

(26)

具體計(jì)算步驟是將c′、m′、y′的初始值設(shè)為三原色油墨考慮了物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大后的網(wǎng)點(diǎn)面積率ac(σ)、am(σ)、ay(σ)，然后用數(shù)值分析中的迭代算法，一般經(jīng)4到5次的迭代運(yùn)算等式逐漸穩(wěn)定，此時(shí)的網(wǎng)點(diǎn)面積率即為油墨的有效網(wǎng)點(diǎn)面積率c′、m′、y′。然后代入上一節(jié)中的公式23中即可計(jì)算出各疊印顏色的等效網(wǎng)點(diǎn)面積率，即ac′(σ)、am′(σ)、ay′(σ)、ar′(σ)、ag′(σ)、ab′(σ)、ak′(σ)、aw′(σ)。

這種在多色疊印時(shí)既考慮物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大又考慮油墨疊印擴(kuò)大的情況，計(jì)算非常復(fù)雜，不便于使用；因此在本文的數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究中未考慮油墨疊印擴(kuò)大的情況。

5.3多色疊印墨層的透射率

TAB(x,y)=

(27)

推廣到更一般的形式，如公式28所示。

(28)

5.4多色半色調(diào)Clapper-Yule擴(kuò)展模型

三色油墨印刷時(shí)，考慮到疊印網(wǎng)點(diǎn)面積率以及墨層透射率的變化，將上節(jié)中得出的公式23和28代入到單色模型，即公式22中，即可得到三色半色調(diào)印刷的光譜預(yù)測模型，如公式29所示。

(29)

6數(shù)值實(shí)驗(yàn)與模擬

本節(jié)主要通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)對比新模型、分程Clapper-Yule模型和經(jīng)典Clapper-Yule模型的預(yù)測光譜值與實(shí)際測量值之間的色差來說明問題。由于自身實(shí)驗(yàn)條件受限，在驗(yàn)證過程中所涉及的大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均來自于文獻(xiàn)[14]，本文主要驗(yàn)證了新模型對CMY三色油墨單獨(dú)印制的印品的色彩預(yù)測能力。

由于墨層透射率是與墨點(diǎn)厚度有關(guān)的參數(shù)，如公式6所示。而考慮了墨點(diǎn)邊緣羽化情況下的墨點(diǎn)厚度在前文中已有分析，公式4是利用二維高斯函數(shù)來模擬邊緣羽化墨點(diǎn)的表面形態(tài)，考慮到計(jì)算的復(fù)雜度，本文將考慮墨點(diǎn)邊緣羽化后的墨點(diǎn)厚度近似為公式30。

(30)

其中d是理想的二值半色調(diào)網(wǎng)點(diǎn)的厚度，假設(shè)墨點(diǎn)厚度d為一個(gè)單位高度，則d′為邊緣羽化后墨點(diǎn)的相對高度；σ是表示墨點(diǎn)邊緣坡度的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，當(dāng)坡度因?yàn)檎{(diào)整0.41時(shí)，墨點(diǎn)相對厚度d′隨網(wǎng)點(diǎn)面積率的變化如圖4所示。相同網(wǎng)點(diǎn)面積率時(shí)，加網(wǎng)線數(shù)越大的墨點(diǎn)厚度越大；網(wǎng)點(diǎn)面積率越大的墨點(diǎn)厚度越小。

Fig.4　Ink thickness and screen rulings

為了更好地研究由墨點(diǎn)邊緣羽化導(dǎo)致的物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大以及透射率的變化對模型光譜反射率的影響，通過數(shù)值模擬，計(jì)算CMY三色不同網(wǎng)點(diǎn)面積率時(shí)新模型、經(jīng)典Clapper-Yule模型、Clapper-Yule分程模型與實(shí)際測量的光譜反射率，其驗(yàn)證結(jié)果如圖5至圖10所示。并計(jì)算了各預(yù)測模型與實(shí)際測量值之間的色差，如表1所示。

Fig.5The spectral reflectance of models and actual prints at C25%

Fig.6The spectral reflectance of models and actual prints at C50%

Fig.7The spectral reflectance of models and actual prints at M25%

Fig.8The spectral reflectance of models and actual prints at M50%

Fig.9The spectral reflectance of models and actual prints at Y25%

Fig.10The spectral reflectance of models and actual prints at Y50%

Tab.1　The comparison of color differenceΔE*ab among models

以單色CMY油墨印刷為例，我們得到了三個(gè)模型(新模型、分程Clapper-Yule模型以及經(jīng)典Clapper-Yule模型)以及參考文獻(xiàn)中的實(shí)際測量值在不同網(wǎng)點(diǎn)面積率(25%和50%)時(shí)的光譜反射率曲線，通過對比曲線以及色差值我們可以得到以下結(jié)論。

1.經(jīng)典Clapper-Yule模型的預(yù)測光譜反射率明顯低于實(shí)際測量值，驗(yàn)證了經(jīng)典Clapper-Yule模型的預(yù)測光譜偏暗的缺陷。

2.分程Clapper-Yule模型在經(jīng)典Clapper-Yule模型的基礎(chǔ)上將光分為兩部分，通過分程系數(shù)b修正了光的傳播。通過以上的光譜反射率曲線圖我們也可以看出分程Clapper-Yule模型的預(yù)測值明顯改善了經(jīng)典模型預(yù)測偏暗的缺陷，但與實(shí)際測量值還是存在較大的差距，尤其對Y25%以及Y50%印品的光譜反射率預(yù)測效果不好。

3.本文中提出的新模型在分程Clapper-Yule模型的基礎(chǔ)上考慮了墨點(diǎn)非邊緣羽化的現(xiàn)象，由于墨點(diǎn)邊緣鋪展加大了油墨對光的吸收，一定程度上降低了光譜反射率。根據(jù)我們的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，明顯看出新模型的預(yù)測值進(jìn)一步的向?qū)崪y值靠近，說明新模型具有較高的預(yù)測精度，同時(shí)這一預(yù)測趨勢也與文獻(xiàn)[11]的預(yù)測結(jié)果相一致，進(jìn)一步說明了新模型的合理性及可行性，為研究墨點(diǎn)邊緣羽化提供了新的研究思路。

7結(jié)論

本文采用二維高斯函數(shù)模擬墨點(diǎn)表面的形態(tài)，利用多重積分計(jì)算出墨點(diǎn)羽化后的體積，根據(jù)體積的恒常性即羽化前后墨點(diǎn)體積相等，推導(dǎo)出包含邊緣坡度因子σ的網(wǎng)點(diǎn)面積率以及含墨層相對厚度因子的油墨透射率，由此建立一個(gè)新的Clapper-Yule擴(kuò)展模型。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新模型既修正了經(jīng)典Clapper-Yule模型預(yù)測光譜反射率偏暗的缺陷，又彌補(bǔ)了分程Clapper-Yule模型未考慮墨點(diǎn)邊緣羽化而導(dǎo)致的物理網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大的問題。我們的研究指出在采用Clapper-Yule分程模型對印刷品的顏色進(jìn)行預(yù)測時(shí)需考慮墨點(diǎn)邊緣的羽化，本文研究的結(jié)論為檢測顏色、管理色彩等領(lǐng)域提供了新的思路。

參考文獻(xiàn)

[1]Rogers G.A generalized Clapper-Yule model of halftone reflectance[J].Color Res Appl,2000,25:402-407.

[2]Zhang Yixin,Zang Dongjuan,Ge Jinghuan.Reflectance model for color halftone images[J].Acta Photonica Sinca,2007,36:339-341.

[3]王麒,張逸新.商標(biāo)印刷色彩預(yù)測Clapper-Yule模型[J].包裝工程,2013,34(15):131-134.(Wang Qi,Zhang Yixin.Clapper-Yule model for color prediction in logo printing[J].Pack Eng,2013,34(15):131-134.)

[4]Clapper F R,Yule J A C.Effect of multiple internal reflections on the densities of halftone prints on paper[J].J Opt Soc Am,1953,43:600-603.

[5]Hébert M,Hersch R D.Extending the Clapper-Yule model to rough printing supports[J].J Opt Soc Am,2005,22:1952-1967.

[6]Hersch R D.Spectral prediction model for color prints on paper with fluorescent additives[J].Appl Opt,2008,47:6711-6722.

[7]王慶娟,張逸新,田東文，等.基于熒光基Clapper-Yule光譜模型的墨層厚度變化預(yù)測[J].包裝工程,2011,32(5):90-93.(Wang Qingjuan,Zhang Yixin,Tian Dongwen,etal.Prediction of ink thickness variation based on fluorescent Clapper-Yule spectral model[J].Pack Eng,2011,32(5):90-93.)

[8]Hersch R D,Emmel P,Collaud F.Spectral reflection and dot surface prediction models for color halftone prints[J].Electron Imag,2005,14:033001.

[9]田東文,張逸新,王慶娟.雙面半色調(diào)圖像的光譜反射率色彩精確預(yù)測模型[J].光子學(xué)報(bào),2010,39(11):1982-1987.(Tian Dongwen,Zhang Yixin,Wang Qingjuan.Color precise prediction model of spectral reflectance for recto-verso halftone images[J].Acta Photonica Sinica,2010,39(11):1982-1987.)

[10]Hersch R D,Brichon M,Bugnon T,etal.Deducing ink thickness variations by a spectral prediction model[J].Color Res Appl,2009,34:432-442.

[11]Hébert M,Hersch R D.Analyzing halftone dot blurring by extended spectral prediction models[J].J Opt Soc Am,2010,A27:6-12.

[12]王琪,周小凡.基于網(wǎng)點(diǎn)結(jié)構(gòu)形態(tài)的印刷色彩再現(xiàn)研究[J].包裝工程,2012,33(23):109-113.(Wang Qi,Zhou Xiaofan.Research of printing color reproduction based on dot structure form[J].Pack Eng,2012,33(23):109-113.)

[13]徐詠馳,周世生,徐錦林.分程Clapper-Yule模型中分程系數(shù)與波長的關(guān)系[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2014,33(5):677-681.(Xu Yongchi,Zhou Shisheng,Xu Jinlin.The relationship between the propagation distance coefficient and the wavelength in the long and short distance Clapper-Yule model[J].Mechanic Sci & Techno for Aerospace Eng,2014,33(5):677-681.)

[14]孟婕.印刷中顏色預(yù)測模型的研究[D].武漢:武漢大學(xué),2005.(Meng Jie.Prediction model of printing color[D].Wuhan:Wuhan University,2005.)

Extending the Clapper-Yule Spectral Reflectance Model of Color Halftone Image with the Feathering of Ink Dot Edge

HE Xiao-min1,WANG Ying1,KE Neng1,ZHANG Yi-xin2*

(1.SchoolofInternetofThings,JiangnanUniversity,Wuxi214122,China;2.SchoolofScience,JiangnanUniversity,Wuxi214122,China)

Abstract:This paper investigates the effect of dot edge feathering (non-bilevel halftone image) on the spectral reflections,which provides a new angle of prediction model theory.The new extended Clapper-Yule model has been researched by introducing the two-dimensional Gaussian function to describe the surface of irregular ink dot,figuring out the volume of ink dot by multiple integral and deducing the dot area fraction related to edge gradient parameter σ and the ink layer transmittances related to ink relative thickness parameter,according to the equality of ink volume before and after the feathering.The numerical simulation of new model shows that the feathering of ink dot edge has caused the physical dot gain,the increases the absorption of light by the ink so decreases the ultimate spectral reflections.Using the branch-path Clapper-Yule model to predict the reflections must take the physical dot gain caused by the feathering of ink dot edge into account,and the new extended model can be applied to the color control of halftone images.

Key words:science of printing color; extended Clapper-Yule model; spectral reflections; dot edge feathering

中圖分類號：TS801.3；TS807

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.13883/j.issn1004-5929.201601012

作者簡介：何曉敏(1990-)，女，福建邵武人，在讀碩士，主要研究方向色彩預(yù)測建模.E-mail:769860400@qq.com通訊作者：張逸新(1956-),男，江蘇無錫人，教授，主要研究方向空間量子光通信、太陽能系統(tǒng)和印刷質(zhì)量控制數(shù)學(xué)建模.E-mail:zyx@jiangnan.edu.cn

收稿日期：2015-04-09; 修改稿日期:2015-04-22

文章編號：1004-5929(2016)01-0062-08