黃煥軍,張博文，吳光強(qiáng),2,李 凡

(1.同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院,上海 201804； 2.東京大學(xué)生產(chǎn)技術(shù)研究所,東京 153-8505)

2016173

基于組合代理模型的車身多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化*

黃煥軍1,張博文1，吳光強(qiáng)1,2,李 凡1

(1.同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院,上海 201804； 2.東京大學(xué)生產(chǎn)技術(shù)研究所,東京 153-8505)

本文對(duì)比分析了4種單一代理模型和兩種組合代理模型的預(yù)測(cè)能力，并基于各代理模型進(jìn)行正面碰撞安全性多目標(biāo)優(yōu)化，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，組合代理模型不僅具有較好的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)健性，還能促進(jìn)最優(yōu)解的搜索?；谏鲜龇治觯捎媒M合代理模型擬合正面碰撞、側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)分析的各種響應(yīng)，建立針對(duì)安全性的車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化模型，并用協(xié)同優(yōu)化方法求解。結(jié)果表明：組合代理模型在多目標(biāo)優(yōu)化中有利于得到更滿意的最優(yōu)解；基于組合代理模型的車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化有效改善了汽車的碰撞安全性，并兼顧了輕量化和NVH性能。

車身；組合代理模型；碰撞安全性；多學(xué)科優(yōu)化；協(xié)同優(yōu)化

前言

伴隨著汽車的發(fā)展，道路交通事故日趨頻繁，碰撞安全作為汽車安全性的重要環(huán)節(jié)受到廣泛關(guān)注。而車身是碰撞中最主要的吸能元件，因此研究車身結(jié)構(gòu)具有重要的意義。汽車車身結(jié)構(gòu)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，除碰撞安全性外，還要滿足NVH性能、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度和輕量化等要求，涉及多種學(xué)科。同時(shí)，各學(xué)科高度關(guān)聯(lián)、相互耦合[1]，使得傳統(tǒng)的串行設(shè)計(jì)方法很難得到全局最優(yōu)解[2]。采用多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(multidisciplinary design optimization, MDO)理論可以綜合考慮多個(gè)學(xué)科對(duì)汽車整體性能的影響。近10年來MDO的應(yīng)用已不再局限于航空航天領(lǐng)域，許多學(xué)者開始進(jìn)行MDO在汽車領(lǐng)域中應(yīng)用的研究[1-4]。

車身結(jié)構(gòu)優(yōu)化通?；谟邢拊椒ǎ@需要耗費(fèi)巨大的計(jì)算資源。解決上述問題的一個(gè)有效方法就是采用代理模型，最優(yōu)解很大程度上取決于代理模型的精度和特性[5]。目前，車身結(jié)構(gòu)MDO中使用的代理模型包括多項(xiàng)式響應(yīng)面[1](polynomial response surface, PRS)、徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6](radial basis function, RBF)、克里金[7](Kriging, KRG)和支持向量回歸[8](support vector regression, SVR)模型等。針對(duì)不同的優(yōu)化問題，上述單一代理模型表現(xiàn)各異，采用組合代理模型[9-10]可綜合各個(gè)單一代理模型的優(yōu)勢(shì)，適應(yīng)不同類型的問題，但將組合代理模型用于車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化的研究很少。

本文中首先對(duì)比分析了組合代理模型與各單一代理模型的預(yù)測(cè)能力，以及在汽車正面100%剛性壁碰撞(簡(jiǎn)稱“正面碰撞”)優(yōu)化中的應(yīng)用效果，驗(yàn)證了組合代理模型的優(yōu)越性。然后，針對(duì)正面碰撞、側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)子系統(tǒng)，采用協(xié)同優(yōu)化方法進(jìn)行車身結(jié)構(gòu)碰撞安全性多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化。

1 代理模型的相關(guān)理論

1.1 多項(xiàng)式響應(yīng)面

多項(xiàng)式響應(yīng)面是一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)技術(shù)，最常用的是二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，其表達(dá)式為

(1)

1.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種利用離散數(shù)據(jù)擬合多元函數(shù)的方法。它以徑向函數(shù)為基函數(shù)，通過線性疊加構(gòu)造而成，其基本形式為

(2)

式中：ri=‖x-xi‖為歐幾里德距離，即x與第i個(gè)樣本點(diǎn)xi在設(shè)計(jì)空間上的距離；λi為基函數(shù)的加權(quán)系數(shù)；n為基函數(shù)的個(gè)數(shù)；φ為基函數(shù)，常見類型包括高斯函數(shù)、多二次函數(shù)、逆多二次函數(shù)和薄板樣條函數(shù)等。

1.3 克里金

克里金是一種估計(jì)方差最小的無偏估計(jì)模型。它具有局部估計(jì)的特點(diǎn)，包含了回歸部分和非參數(shù)部分，具有如下形式：

(3)

式中：f(x)為x的已知函數(shù)，可以是常數(shù)、一次或二次多項(xiàng)式；Z(x)為均值為0、方差為σ2的隨機(jī)誤差。Z(x)的協(xié)方差為

(4)

式中：dk=|xik-xjk|為訓(xùn)練樣本點(diǎn)xi和xj第k個(gè)分量的距離；n為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)；Rk(dk)為相關(guān)函數(shù)，常用的有線性函數(shù)、三次函數(shù)、樣條函數(shù)、球函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和高斯函數(shù)等。

1.4 支持向量回歸

支持向量回歸是一種基于支持向量機(jī)的響應(yīng)面模型，其一般表達(dá)式為

(5)

式中：αi和αi*為拉格朗日乘子；n為支持向量個(gè)數(shù)；b為常數(shù)項(xiàng)；K(xi,x)為核函數(shù)，常見的核函數(shù)有線性核函數(shù)、多項(xiàng)式核函數(shù)、高斯徑向基核函數(shù)和指數(shù)徑向基核函數(shù)等。

1.5 代理模型內(nèi)在參數(shù)設(shè)置

代理模型的內(nèi)在參數(shù)會(huì)對(duì)其預(yù)測(cè)精度產(chǎn)生影響，為消除此影響，各代理模型的內(nèi)在參數(shù)統(tǒng)一按表1進(jìn)行選擇。

表1 代理模型的內(nèi)在參數(shù)

1.6 誤差分析指標(biāo)

最常用的代理模型誤差分析指標(biāo)是決定系數(shù)(coefficient of determination)R2，表達(dá)式為

(6)

2 組合代理模型

組合代理模型(ensembleofsurrogates)，又稱加權(quán)平均代理模型(weightedaveragesurrogates)，其一般形式為

(7)

2.1 權(quán)系數(shù)計(jì)算

為使組合代理模型有盡可能高的預(yù)測(cè)精度，需要確定各權(quán)系數(shù)。通常，精度高的代理模型選擇大的權(quán)系數(shù)，反之亦然?？紤]到實(shí)際復(fù)雜工程問題的計(jì)算時(shí)間成本，本文中基于廣義均方誤差(generalized mean square error, GMSE)開展權(quán)系數(shù)的研究，可避免使用額外的測(cè)試樣本。采用留一法(leave-one-out, LOO)得到的交叉驗(yàn)證廣義均方誤差為

(8)

目前，基于GMSE的權(quán)系數(shù)計(jì)算方法有如下兩種。

(1)啟發(fā)式計(jì)算方法[9]

(9)

(2)GMSE最小化方法[10]

此方法將權(quán)系數(shù)的計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為優(yōu)化過程，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題可表述為

(10)

上述兩種方法得到的組合近似模型分別表示為EG和EA。

2.2 預(yù)測(cè)能力分析

為考慮不同的函數(shù)維數(shù)和響應(yīng)非線性程度，本文中選取4個(gè)典型測(cè)試函數(shù)來對(duì)比組合代理模型與單一代理模型的預(yù)測(cè)能力。測(cè)試函數(shù)特征和試驗(yàn)設(shè)計(jì)(designofexperiment,DOE)設(shè)置如表2所示，訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本均采用拉丁超立方方法抽取。

表2 測(cè)試函數(shù)特征及試驗(yàn)設(shè)計(jì)設(shè)置

(1) 測(cè)試函數(shù)1(Branin-Hoo)

-5≤x1≤10,0≤x2≤15

(11)

(2) 測(cè)試函數(shù)2(Hartman-3)

0≤xj≤1

(12)

(3) 測(cè)試函數(shù)3(ExtendedRosenbrock)

-5≤xi≤10

(13)

(4) 測(cè)試函數(shù)4(Hartman-6)

0≤xj≤1

(14)

針對(duì)誤差分析指標(biāo)R2，對(duì)500次DOE對(duì)應(yīng)的代理模型預(yù)測(cè)精度進(jìn)行分析。R2的箱線圖如圖1所示，圖中矩形盒越短，表明預(yù)測(cè)精度對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的依賴性越小，中位線高度可以大致反映平均預(yù)測(cè)精度；R2的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示。

圖1 各代理模型R2的箱線圖

函數(shù)編號(hào)PRSRBFKRGSVREGEA1均值0.630.440.780.750.800.75標(biāo)準(zhǔn)差0.230.880.230.130.130.182均值-0.050.510.770.450.720.73標(biāo)準(zhǔn)差0.650.590.120.220.120.143均值0.890.470.630.730.870.89標(biāo)準(zhǔn)差0.060.350.150.040.040.054均值0.150.310.560.100.550.56標(biāo)準(zhǔn)差0.180.880.080.260.060.07

由圖1可見：PRS在非線性較弱的函數(shù)中具有較好的預(yù)測(cè)能力，在測(cè)試函數(shù)3中最好，箱線圖中表現(xiàn)為矩形盒長(zhǎng)度較短且中位線較高，但是非線性程度強(qiáng)時(shí)，其預(yù)測(cè)能力明顯下降；RBF對(duì)函數(shù)非線性的依賴程度要低于PRS，但是其異常值尾線長(zhǎng)度最長(zhǎng)，穩(wěn)健性差；KRG的預(yù)測(cè)精度在大多情況下都優(yōu)于其他單一代理模型，特別在兩個(gè)非線性較強(qiáng)的函數(shù)中，其中位線最高，矩形盒最短；SVR在測(cè)試函數(shù)1中預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)健性最好，在測(cè)試函數(shù)2中最差。

總體而言，單一代理模型對(duì)不同測(cè)試函數(shù)的預(yù)測(cè)精度有較大差異，并且依賴于試驗(yàn)設(shè)計(jì)，表3的數(shù)據(jù)進(jìn)一步證實(shí)了上述結(jié)論。組合代理模型很好地避免了上述兩個(gè)缺點(diǎn)，EG和EA對(duì)各函數(shù)都有最好或接近最好的預(yù)測(cè)精度，且數(shù)據(jù)分布密集，異常值尾線短，穩(wěn)健性好。結(jié)合表3可知，與EG相比，EA的R2均值大，標(biāo)準(zhǔn)差也大，表明其平均預(yù)測(cè)精度較高，而穩(wěn)健性略差一些。

3 汽車正面碰撞多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 整車正面碰撞仿真分析

按照US-NCAP法規(guī)的要求，使汽車以56km/h的速度撞擊剛性墻，仿真模型如圖2所示，該模型已經(jīng)由試驗(yàn)驗(yàn)證[11]。利用LS-DYNA進(jìn)行碰撞仿真，仿真時(shí)間為100ms。

圖2 整車正面碰撞有限元模型

B柱加速度峰值aB和踏板位置前圍板最大侵入量(簡(jiǎn)稱“前圍板最大侵入量”)In可認(rèn)為是正面碰撞的主要性能指標(biāo)，其大小直接影響碰撞中乘員的安全。該車的B柱加速度峰值aB=37.7g，前圍板最大侵入量In=205.1mm。

3.2 確定優(yōu)化問題

圖3 設(shè)計(jì)變量示意圖

本文中依據(jù)正面碰撞過程中變形與吸能最大的原則，結(jié)合各個(gè)部件的質(zhì)量，最終選取車身前部的12個(gè)部件的8組板料厚度作為設(shè)計(jì)變量[12]，如圖3所示。各設(shè)計(jì)變量的初始值和上下限值如表4所示。選取部件總質(zhì)量m，B柱加速度峰值aB和前圍板最大侵入量In作為響應(yīng)量。為提高正面碰撞性能并兼顧輕量化，以aB和In最小化為優(yōu)化目標(biāo)，以零件質(zhì)量m不超過56kg為約束，確定正面碰撞多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為

(15)

3.3 優(yōu)化問題求解

本文中選用運(yùn)算速度快、收斂性好的非劣排序遺傳算法(NSGA-II)來求解正面碰撞多目標(biāo)優(yōu)化問題。優(yōu)化流程為：采用最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法產(chǎn)生80個(gè)訓(xùn)練樣本，通過仿真得到對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值；依次構(gòu)建各種單一和組合代理模型來擬合aB和In，運(yùn)用1階多項(xiàng)式準(zhǔn)確擬合m；基于代理模型進(jìn)行優(yōu)化，得到Pareto前沿。

3.4 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

為評(píng)價(jià)各代理模型在正面碰撞多目標(biāo)優(yōu)化中的效果好壞，選取Pareto前沿中幾個(gè)最優(yōu)解為代表進(jìn)行對(duì)比。顯然，選取不同最優(yōu)解進(jìn)行對(duì)比可能會(huì)得到不同的結(jié)果。為避免上述情況，對(duì)于各代理模型得到的Pareto前沿，本文中均按照權(quán)重和妥協(xié)方法[13]挑選代表性最優(yōu)解，分別記作最優(yōu)解1和最優(yōu)解2。目標(biāo)aB和In的加權(quán)系數(shù)分別取6和1。

最優(yōu)解1和最優(yōu)解2處的各代理模型預(yù)測(cè)值和實(shí)際仿真值如表5所示。

表5 代理模型效果對(duì)比

由表可見：RBF和KRG在最優(yōu)解處精度較高；PRS對(duì)In的預(yù)測(cè)精度非常低，相對(duì)誤差達(dá)到50%以上，這是因?yàn)镮n的非線性程度很高；SVR在最優(yōu)解1和2處的誤差相差較大；基于組合代理模型得到的最優(yōu)解處誤差比較小，尤其是EA，對(duì)aB和In都能很準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，平均誤差分別為-2.52%和1.55%，且在兩個(gè)最優(yōu)點(diǎn)處的表現(xiàn)比較接近，綜合性能最好。對(duì)比2.2節(jié)的結(jié)論表明，基于代理模型得到的Pareto前沿和實(shí)際點(diǎn)的誤差，與代理模型本身的精度有一定的相關(guān)性。

從優(yōu)化效果角度分析，各最優(yōu)解2對(duì)應(yīng)的妥協(xié)方法評(píng)價(jià)指標(biāo)(距離d)如表6所示。如果以此作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，則基于EA得到的最優(yōu)解2是最滿意的，其對(duì)應(yīng)的距離d小于其他方法，基于EG，KRG和RBF的優(yōu)化效果略差一些。該最滿意解對(duì)應(yīng)的B柱加速度峰值為35.32g，前圍板最大侵入量為183.5mm，比初始值分別減小了6.31%和10.53%。

表6 妥協(xié)方法評(píng)價(jià)指標(biāo)

因此，EA不僅具有較好的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)健性，而且基于EA進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化能得到更滿意的最優(yōu)解。

4 車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化

4.1 多學(xué)科優(yōu)化模型

根據(jù)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化要求，為尋找車身的整體最優(yōu)性能，需要對(duì)影響車身性能的多個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行研究。安全性方面，除正面碰撞外，側(cè)面碰撞也是交通事故的常見形式，且容易造成死亡和重傷。隨著人們生活水平的提高，汽車乘坐舒適性亦日漸重要。白車身模態(tài)分析作為整車NVH分析中非常重要的一部分，可以反映車身結(jié)構(gòu)的固有頻率及振型，以便盡早改進(jìn)結(jié)構(gòu)，避免共振。因此，本文中建立一個(gè)針對(duì)安全性的，包含正面碰撞、側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)等3個(gè)子系統(tǒng)的車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化模型。模型框架、各學(xué)科設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)及學(xué)科間變量耦合關(guān)系如圖4所示。側(cè)面碰撞子系統(tǒng)選擇部件總質(zhì)量m′和B柱最大侵入量In′作為響應(yīng)量；白車身模態(tài)子系統(tǒng)則選擇部件總質(zhì)量m″和1階模態(tài)頻率f為響應(yīng)量。

圖4 設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)及其耦合關(guān)系

4.2 近似模型

側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)子系統(tǒng)采用最優(yōu)拉丁超立方方法分別產(chǎn)生50和30個(gè)樣本點(diǎn)，質(zhì)量響應(yīng)均用1階多項(xiàng)式擬合，其余響應(yīng)量用EA擬合，表達(dá)式為

(16)

4.3 協(xié)同優(yōu)化方法

協(xié)同優(yōu)化是一種兩級(jí)優(yōu)化算法，將原有的設(shè)計(jì)優(yōu)化問題分為一個(gè)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和多個(gè)學(xué)科級(jí)優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)科間的并行計(jì)算，可有效解決大規(guī)模復(fù)雜工程多學(xué)科優(yōu)化問題。

本文中采取協(xié)同優(yōu)化方法求解多學(xué)科優(yōu)化模型，框架如圖5所示。

圖5 協(xié)同優(yōu)化方法框架

以碰撞安全性的指標(biāo)aB，In和In′為系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)，各設(shè)計(jì)響應(yīng)量范圍通過學(xué)科級(jí)約束進(jìn)行限制。

4.4 優(yōu)化結(jié)果分析

三目標(biāo)MDO問題的Pareto前沿如圖6所示。

圖6 三目標(biāo)Pareto前沿

由圖可見，3個(gè)目標(biāo)互相沖突，不可能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，且各個(gè)最優(yōu)解之間無法比較。因此，本文中根據(jù)設(shè)計(jì)需要，從Pareto前沿中選擇Q點(diǎn)為最滿意的最優(yōu)解。將其對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量代入各子系統(tǒng)仿真模型，得到各響應(yīng)量的仿真值。圖7和圖8分別為優(yōu)化前后的B柱加速度和侵入量曲線的對(duì)比圖。

圖7 優(yōu)化前后B柱加速度曲線對(duì)比

圖8 優(yōu)化前后侵入量曲線對(duì)比

由圖7可見：優(yōu)化后的B柱加速度峰值為34.03g，比初始設(shè)計(jì)的37.7g降低了9.73%；并且在碰撞40～80ms階段，優(yōu)化后的B柱加速度均小于優(yōu)化前，加速度積分值從1.241g變?yōu)?.152g，減小了7.17%。由圖8可見，經(jīng)過多學(xué)科優(yōu)化，前圍板和B柱最大侵入量分別減小了3.55%和8.01%。

優(yōu)化方案使碰撞安全性的3項(xiàng)指標(biāo)均有不同程度的改善，減小了巨大沖擊力和車內(nèi)生存空間壓縮對(duì)乘客造成的傷害，對(duì)提高乘員的安全性具有重要意義。另外，NVH和輕量化性能也通過約束設(shè)置得到了保證，多學(xué)科優(yōu)化方案提高了汽車的綜合性能。

5 結(jié)論

(1) 通過對(duì)比各種代理模型在測(cè)試函數(shù)和正面碰撞優(yōu)化中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)組合代理模型的預(yù)測(cè)能力通常高于單一代理模型，且在多目標(biāo)優(yōu)化中有助于得到更滿意的最優(yōu)解。

(2) 將組合代理模型與協(xié)同優(yōu)化方法相結(jié)合，求解車身多學(xué)科優(yōu)化問題，得到Pareto前沿，可縮短新產(chǎn)品的開發(fā)周期，對(duì)車輛的研發(fā)有較好的指導(dǎo)作用。

(3) 本文中的多學(xué)科優(yōu)化方案減小了B柱加速度峰值和前圍板與B柱的最大侵入量等安全性指 標(biāo)，提高了碰撞安全性，同時(shí)兼顧了NVH和輕量化性能。

[1] 王平,鄭松林,吳光強(qiáng).基于協(xié)同優(yōu)化和多目標(biāo)遺傳算法的車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2011,47(2):103-108.

[2] 張勇,李光耀,孫光永,等.多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化在整車輕量化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究[J].中國(guó)機(jī)械工程,2008,19(7):877-881.

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Multidisciplinary Design Optimization of Vehicle Body Based on Ensemble Surrogates

Huang Huanjun1, Zhang Bowen1, Wu Guangqiang1,2& Li Fan1

1.SchoolofAutomotiveStudies,TongjiUniversity,Shanghai201804; 2.InstituteofIndustrialScience,UniversityofTokyo,Tokyo153-8505

The prediction abilities of four individual surrogates and two ensembles of surrogates are comparatively analyzed, and multi-objective optimizations on the safety of vehicle frontal crash are conducted based on different surrogate models with a result revealing that ensemble of surrogates not only have better prediction accuracy and robustness, but also can promote the search of optimal solutions. On the basis of above analyses, ensembles of surrogates are adopted to fit various responses to frontal crash, side impact and body-in-white modal analyses, and a model for multidisciplinary design optimization (MDO) of vehicle body structure safety is established and solved by collaborative optimization method. The results show that ensemble surrogates are conducive to getting more satisfactory optimal solutions in multi-objective optimizations and the ensemble surrogates-based MDO for vehicle-body structure effectively improves the crash safety of vehicles with good lightweight and NVH performances.

vehicle body; ensemble of surrogates; crash safety; multidisciplinary design optimization; collaborative optimization

*國(guó)家863計(jì)劃項(xiàng)目(2012AA111802)資助。

原稿收到日期為2014年6月20日，修改稿收到日期為2015年12月23日。