廣東廣雅中學(510160) 黃淑珍

利用變式教學培養(yǎng)高中生數(shù)學反思能力的范例設計—以《拋物線定義及其幾何性質(zhì)》為例

廣東廣雅中學(510160) 黃淑珍

一、反思是數(shù)學思維活動的核心與動力

世界著名數(shù)學家、數(shù)學教育大師荷蘭的弗賴登塔爾教授精辟指出:“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力”,“通過反思才能使(學生)的現(xiàn)實世界數(shù)學化”,“沒有反思,學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”.《普通高中數(shù)學課程標準》中指出:“教師應注意提高學生的數(shù)學思維能力,學生在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時,要不斷的運用直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表現(xiàn)、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與構(gòu)建等思維過程.”課標還指出,評價應關注學生是否能夠?qū)ψ约旱臄?shù)學學習過程不斷進行反思,能夠及時有效地調(diào)整學習方法.在此基礎上教師要合理的利用教材,根據(jù)學生的實際情況進行教材整合,使學生在學習過程中能夠獨立自主的進行觀察、猜想、實驗、推理、反思.教師要給學生創(chuàng)設探究的空間.由此可見,提高學生的數(shù)學反思能力是高中數(shù)學教學的重要目標.

事實上,反思是提高學生數(shù)學學習能力的重要途徑.費賴登塔爾的觀點:數(shù)學直覺產(chǎn)生了數(shù)學的發(fā)現(xiàn),在數(shù)學化的過程中,需要分析直覺,并且要對推理過程做出判斷和確認,表達出推理的過程.因此,教學中要讓學生學會反思,能夠思考自己的判斷與經(jīng)歷的活動,能夠主動挖掘隱含在思維深處的實質(zhì)問題,深入理解并努力證實數(shù)學化的過程,從而借助已有的數(shù)學知識與數(shù)學方法,創(chuàng)造性地解決問題.在現(xiàn)實中,反思能力強的學生在學習過程中往往表現(xiàn)出強烈的探究精神,并時時有意識的在“反省”中探究問題和答案,重構(gòu)自己的理解,激活個人的智慧,并超越已有信息,使創(chuàng)新意識和能力得以形成和發(fā)展.

可見,培養(yǎng)學生的反思能力是十分必要的,在高中數(shù)學課堂中培養(yǎng)反思能力是對學生終身發(fā)展的人文關懷,有助于學生對客觀事物中蘊含的數(shù)學模式進行思考并作出判斷.

二、變式教學是培養(yǎng)數(shù)學反思能力的重要手段

著名教育學家顧泠沅先生有一句樸素而富有哲理的名言:“聽懂的東西做出來,做出來的東西說出來.”在數(shù)學教學中怎樣才能完成顧先生所提出的“聽懂—做出—說出”的過程呢?顧泠沅教授提出了變式過程模式,它是實施課堂有效教學的有效手段.在新課程背景下數(shù)學變式問題設計的實踐與研究,應是課堂有效教學的策略和方法的優(yōu)先選項.

數(shù)學變式教學,是在數(shù)學教學過程中不斷的變化數(shù)學概念中非本質(zhì)特征、變換問題中的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容,誘發(fā)學生從不同角度、不同位置、不同方法去思考問題,培養(yǎng)創(chuàng)新思維,抑制或削弱定勢思維的一種教學方法.

通過變式教學,使學生在數(shù)學學習過程中對數(shù)學問題理解與解決時設計的方法進行多角度、多層次、多形式的理性思考:通過變式教學揭示問題的本質(zhì),化繁為簡,顯示出高層次的思維活動:通過變式教學體現(xiàn)學生主動辨析、拓展、再創(chuàng)造的思維特質(zhì)與習慣.因此變式教學有利于提升反思能力,而反思能力是學生綜合素質(zhì)發(fā)展的重要標志.

傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學模式,學生缺少自主探究,自我反思和獨立獲取知識的機會.事實上,教學的本質(zhì)是正確的引導學生,教師的角色不能掩蓋學生的主體性反思的過程匯總,學生不僅能對學到的知識回顧和重復,而且還可以研究數(shù)學活動所涉及的知識方法和思路等.

變式教學是廣大教師在課堂實踐中經(jīng)常使用的教學方式之一,變式、反思這兩個詞對于學生來說并不陌生,但要做到在數(shù)學學習過程中學生能自覺反思、主動變式,還需要教師來培養(yǎng).筆者通過長期實踐,探究如何引導學生進行反思、變式,使學生逐步獲取核心要素,形成反思能力,把握概念、原理、性質(zhì)、問題的本質(zhì),促進數(shù)學思維品質(zhì)的提高.

三、利用變式教學培養(yǎng)高中生數(shù)學反思能力的范例設計

在高中數(shù)學教學中,常規(guī)的課堂有:概念課、規(guī)則課、解題課等.下面以人教版A版教材選修1-1中2.3《拋物線定義及其幾何性質(zhì)》為例,通過各種課型范例設計談談如何利用變式教學培養(yǎng)高中生數(shù)學反思能力.

1.概念課范例

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)學的學習過程,就是不斷的建立各種數(shù)學概念的過程”.由此可見,深刻理解并準確掌握數(shù)學概念是何等重要.從培養(yǎng)學生思維能力的要求來看,形成數(shù)學概念、揭示其內(nèi)涵與外延,比數(shù)學概念的定義本身更為重要.在形成概念的過程中,可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程,提高學生學習的積極性,通過多樣化的變式,逐步培養(yǎng)學生觀察、分析及概括能力.

例如拋物線的定義:平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.這個概念的形成,我們可以這樣操作:橢圓、雙曲線第一定義引入,變換表述得到橢圓、雙曲線第二定義,兩者的第二定義中缺少了e=1的情況,通過幾何畫板演示可以得到拋物線的概念:

變式1:從學生熟悉的二次函數(shù)圖象引入,將圖象旋轉(zhuǎn)90°后思考:還是拋物線嗎?不難得到,還是拋物線,只是開口方向變了,本質(zhì)沒變:

變式2: 二次函數(shù)圖象引入,圖象對稱又美觀,可是它是如何形成的呢?通過幾何畫板設置參數(shù)形成動畫,讓學生反思得到拋物線形成需要滿足的條件:

概念形成之后我們可以引導學生反思做出變式:

變式3:抓住字眼“相等”,反思,如果兩距離不相等,則兩者比例大于1或小于1,此時軌跡分別是什么呢?橢圓、雙曲線的第二定義與拋物線定義有啥區(qū)別與聯(lián)系呢?

變式4:抓住字眼“定點”“定直線”,反思點和直線位置關系,則應考慮點在直線上或點不在直線上,此時軌跡分別是什么呢?

此時,聯(lián)系我們剛學完的常用邏輯用語,可以引導學生反思得到下面的范例:

變式5:在平面內(nèi),“點P到某定點的距離等于其到某定直線的距離”是“點P的軌跡為拋物線”的___條件:

前面變式范例是抽象定義,我們反思,如何用數(shù)學符號來表示呢?由此得到:

變式6:過點A(1,0),且與直線l:x=-1相切的圓的圓心的軌跡是___:

對于平行于y軸的直線系,點到這些直線的距離有什么特點呢?這些直線之間的距離又有什么特點呢?由此得到:

變式7: 已知點M到點F(4,0)的距離比它到直線l:x=-5的距離小1,點M的軌跡方程是____:

改變數(shù)學語言,用距離公式來表示定義,不難得到:

變式8:若則動點M(x,y)的軌跡___;

概念教學的同時,也要明確概念的應用,通過設計變式訓練,從多角度強化概念的實踐應用,進一步鞏固概念.

變式9:設拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是____:

變式10:設拋物線y2=8x上一點P到焦點距離為6,則點P坐標是___.

在這里,我們運用變式教學方法引導學生學會反思,每個變式都有差異,但萬變不離其宗,都是為了深入理解和揭示拋物線的定義.

概念型變式范例的設計,一般可以引導學生從以下方面反思:

(1)概念的形成過程:(2)概念中的規(guī)定和限制,定義中關鍵的字眼:(3)涉及的點線面位置關系、幾何圖形關系:(4)概念的名稱、數(shù)學表述方式:(5)邏輯推理過程演變:(6)概念是否有等價條件?(7)新舊概念聯(lián)系、類比、遷移:(8)抽象定義的形成可通過聯(lián)系實際設置問題:

利用變式教學模式,引導學生發(fā)現(xiàn)問題,通過探究和變式來理解數(shù)學概念,打破了以前只注重做題不注重概念形成過程的學習方式,學生的數(shù)學反思能力得到了很好的培養(yǎng).

2.規(guī)則課范例

以高中數(shù)學的公理、定理、公式、法則、性質(zhì)等規(guī)則的教學為主要任務的課,稱為高中數(shù)學規(guī)則課.例如《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》一節(jié)中,講授焦點弦的性質(zhì)時,我們可以用課本例題引入.如課本61頁例4:斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.

結(jié)合橢圓、雙曲線時處理弦長問題的方法,引導學生一題多解,得到:

解法1:直接聯(lián)立方程,解出兩根,兩點坐標,用兩點距離公式求解:

解法2: 聯(lián)立方程,得到一元二次方程,用弦長公式求解:

解法3: 聯(lián)立方程,得到一元二次方程,應用拋物線定義,|AB|=x1+x2+p求解.

通過一題多解,讓學生體會到應用定義的幾何法的簡便,引導學生反思:為什么可以應用拋物線的定義?拋物線焦點弦這個公式能通用嗎?關注弦長、坐標和作圖變化,可以拓展得到以下的變式.

變式1: 經(jīng)過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F任作一條直線l與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|=x1+x2+p.

變式2:焦點弦弦長有最小值嗎?

變式3:焦點弦的兩個焦半徑的關系

變式4:

變式5:以AB為直徑的圓與準線相切:

變式6:以AF及BF為直徑的圓與y軸相切:

變式7:分別作AA1⊥準線于點A1,BB1⊥準線于點B1,則∠A1FB1=90°:

變式8:BC//x軸,則直線AC經(jīng)過點O;反之,通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D,直線DB平行于拋物線的對稱軸.即過拋物線焦點弦的一端,作準線的垂線,那么垂足、原點以及弦的另一個端點三點共線:

變式9:過拋物線焦點弦兩端點的切線互相垂直:

變式10:拋物線的準線是其焦點弦兩端點的切線的交點的軌跡:

對于焦點弦問題,變式9是容易證明的.按照從特殊到一般的原則,結(jié)合拋物線的對稱性,可以證明.焦點能否換成對稱軸上的其他點呢?

事實上,直線AB過點M(a,0),D在直線x=-a上且A,O,D三點共線,BD//x軸,這三個條件中,以任兩個為條件,就能推導出第三個.

規(guī)則課變式的設計,一般可以引導學生從以下方面反思: (1)特殊性質(zhì)的證明方法:(2)一題多解:(3)特殊性質(zhì)到一般規(guī)律:(4)點線面位置關系:(5)三角形、梯形、圓等幾何圖形關系:(6)題設與結(jié)論互換:(7)代數(shù)運算與幾何直觀結(jié)合,數(shù)形結(jié)合:

通過變式反思,不僅促進學生對數(shù)學知識和原理的掌握,還有助于培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力,提高學生的數(shù)學反思能力.

3.解題課范例

解題教學應以知識獲得為基礎,以方法訓練為途徑,以思維發(fā)展為主線,以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和解題能力為重點,培養(yǎng)學生的應變能力和探究意識,發(fā)展學生的思維能力,提高學生的自我評價水平,提高學生的創(chuàng)新意識,優(yōu)化學生的個性品質(zhì).解題課是規(guī)則課的拓展或綜合,它用來展示一類問題的解決思路或過程.為得到有效的遷移效果,可以適當引導學生反思過程,實施合理變式.

如關于拋物線的最值問題,從“將軍飲馬問題”引入:唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題.詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā),走到河邊飲馬后再到B點宿營,請問怎樣走才能使總的路程最短?

“將軍飲馬問題”在橢圓最值、雙曲線最值時曾經(jīng)接觸過,也清楚求解過程中需要靈活運用定義轉(zhuǎn)換兩條焦半徑,這類問題可以引導學生反思:在拋物線中能夠用它來求最值呢?深入分析可知,拋物線的最值問題離不開焦半徑和準線.

例如:改編課本61頁例4,已知P為拋物線y2=4x上一個動點,F是拋物線的焦點.

變式1:求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值:

反思:此時點P的坐標怎么求出?A點位置一定要在準線上嗎?

變式2:若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值:

變式3: 已知P為拋物線y2=2px(p＞0)上一個動點,F是拋物線的焦點,B(3,2)為拋物線內(nèi)一定點, |PB|+|PF|的最小值為4,求拋物線方程:

反思:具備定義背景的最值問題,根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)為幾何問題來處理,將拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離互相轉(zhuǎn)化,看到準線聯(lián)想焦點,看到焦點聯(lián)想準線.將軍飲馬問題的本質(zhì)是,同側(cè)差最大,兩側(cè)和最小.

類比橢圓,最值問題最基本的題型有:(1)拋物線上的點到定點或定直線(準線或平行于準線的直線)的距離之和: (2)拋物線上的點到直線(非準線)的距離:于是還可以得到下面的變式:

變式4:則點P到直線x-y+3=0的距離的最小值為___,點P的坐標為___;

變式5:點P到直線l1:x-y+3=0的距離為d1,點P到直線l2:x=-1的距離為d2,則d1+d2的最小值是___:其中準線也可以換車平行于準線的其他直線:

反思:變式4可以用兩種方法來解決.圓錐曲線的最值問題解決方法一般分兩種:一是代數(shù)法,通過建立函數(shù)、不等式模型,利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導數(shù)法等方法求最值:二是幾何法,從圓錐曲線的幾何性質(zhì)出發(fā),根據(jù)幾何意義求最值.

前面兩組變式均是從定義出發(fā),解決了最基本的最值問題.變式4、5的代數(shù)法可以轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的位置關系.此外,再進一步挖掘代數(shù)式的幾何意義,同樣可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是一致的.例如:

變式6: 已知實數(shù)x,y滿足方程y2=4x,則函數(shù)的最值是多少?

反思上例,聯(lián)系線性規(guī)劃最值題型,學生容易得到:

變式7: 點(x,y)在拋物線y2=4x上運動,求函數(shù)z=x-y的最值.

變式8: 已知P為拋物線y2=4x上一個動點,F是拋物線的焦點,A(-1,0)是一個定點,則的最小值是____:

反思第三組變式,我們可以發(fā)現(xiàn)只要清晰代數(shù)式的幾何意義,問題本質(zhì)就是一致的,依然是研究直線與拋物線位置關系,也可用設點代入消元法來求解.

前三組變式中題干中的點都是定點,引導學生反思,能否把定點改成動點呢?我們常見的動點軌跡有哪些呢?圓的最值問題我們是怎么解決的呢?于是得到:

變式9:Q為圓x2+(y-4)2=1上的一個動點,則點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線的距離之和的最小值是____:

引導學生反思,在變式范例中,我們實現(xiàn)了定點換成動點出題,那么直線能作一些變式嗎?教師可以給出范例:

變式10:已知定長為5的線段AB的兩端點在拋物線上移動,則AB的中點M到y(tǒng)軸的最短距離是____;

反思變式10,發(fā)現(xiàn)最短距離出現(xiàn)在直線AB經(jīng)過焦點的時候,并不是直線AB垂直x軸.那么直線AB移動過程中,中點M的軌跡能夠求出呢?

變式11:已知定長為5的線段AB的兩端點在拋物線上移動,求AB的中點M的軌跡方程.

我們還可以引導學生課后用幾何畫板畫出了中點M的軌跡,會發(fā)現(xiàn),直線過焦點,中點在x軸上方、下方各出現(xiàn)一次最值.為什么不是在垂直x軸時候呢?這跟給定弦長5有密切關系.最短的通徑是4,所以把弦長5改成3,這時最值、中點軌跡又會怎么樣呢?

變式12:已知定長為3的線段AB的兩端點在拋物線上移動,求AB的中點M的軌跡方程.

至此,我們已經(jīng)把拋物線最值問題從基本題型反思變式引出許多與拋物線幾何性質(zhì)和其圖形本質(zhì)特質(zhì)有關的問題結(jié)論和解決方法.事實上,我們可以繼續(xù)變式,如:

變式13:直線y=x+b被拋物線y2=4x截得的線段長為5,求直線方程:

變式14:求直線y=x+b被拋物線y2=4x截得的線段中點的軌跡方程:

變式15:拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F,準線為l,A、B是拋物線上的兩個動點,且滿足∠AFB=120°,設線段AB的中點M在l上的投影為N,則的最大值是____.

變式16: 已知P為拋物線y2=4x上一個動點,A(-2,0),B(-4,0),求取得最小值時點P的坐標:

變式17: 已知P為拋物線y2=4x上一個動點,點Q(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的最大值為____:

綜合以上變式,可以回到最初的問題:“將軍飲馬問題”在解決直線、橢圓、雙曲線、拋物線的最值問題中是如何應用的?圓錐曲線最值問題有哪些類型和解法?

每一步的反思聯(lián)想,都會有新的變式,每一步解決新的變式,我們應該有進一步的反思.反思、變式就這樣交替出現(xiàn),問題引領,激發(fā)學習興趣,這樣的課堂就是一個無限延展無限發(fā)散的舞臺,學生的反思能力得到進一步的提升,進而思維品質(zhì)也得到發(fā)展.

解題課變式范例的設計,一般可以引導學生從以下方面反思:(1)一題多解:(2)改變題目條件如數(shù)據(jù)衍變等:(3)變換數(shù)學描述語言:(4)融合知識點變換題型:(5)定點、定直線等改成動點、動直線:(6)特殊結(jié)論到一般結(jié)論:(7)條件和結(jié)論互換:(8)類型題變式,多題通法:

著名的數(shù)學教育家波利亞曾形象的指出:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長,找到一個以后,你應當在周圍找一找,很可能附近就有好幾個.”變式教學培養(yǎng)高中生數(shù)學反思能力,就是一題多用,一題多變,多題重組,借題發(fā)揮,讓學生理解新知把握本質(zhì),主動反思主動變式,主動聯(lián)想主動發(fā)現(xiàn),使知識點融會貫通,從一個例題引出一系列問題,提高課堂效率,讓學生思維得到充分的鍛煉和發(fā)展.

四、變式教學培養(yǎng)高中生反思能力的實踐成效與思考

利用變式教學培養(yǎng)高中生數(shù)學反思能力中,關鍵步驟就是如何抓住本質(zhì),引導學生不斷變式,變式后繼續(xù)反思,反思后繼續(xù)變式.以上幾種課型的范例設計,旨在給學生提供一些可以思考的方向與范式,讓學生在學習定義、性質(zhì)、命題、方法時能夠形成“反思—變式—反思”的習慣.在實際教學中,“變式教學培養(yǎng)數(shù)學反思能力”的新課堂模式給學生學習數(shù)學注入了新動力.在實驗過程中,筆者任教的高二兩個平行班中的一個班進行試驗,通過每月的月考,期中考試,期末考試等多次考試,對測試后的兩個班成績進行差異顯著性檢驗,發(fā)現(xiàn)這兩個班的差異性越來越明顯.說明變式教學對于提高整體數(shù)學成績方面是有效的.在訪談學生中發(fā)現(xiàn),大部分學生在學習數(shù)學時能自覺反思、自主探究,也能自覺進行問題變式,說明學生的數(shù)學反思能力提到了提升.學生學習效率提高了.

通過兩年的變式教學實踐,筆者有幾點思考:1.變式教學課堂比較開放發(fā)散,思維能力強的學生較快就能形成反思習慣,提高反思能力,成績進步顯著,而基礎較薄弱的學生則不注意反思其認知活動過程與結(jié)果的因素,只是一味追求解答出問題答案,這點需要教師多加引導:2.要讓有限的課堂時間更有效率,變式教學需要把握度,同時要注意課堂節(jié)奏,真正有時間讓學生反思:3.現(xiàn)階段我們只能通過了解學生學習習慣和學習成績來評價他的數(shù)學反思能力,如何更科學地評價高中生數(shù)學反思能力值得繼續(xù)研究.