周紹偉　南長(zhǎng)全

摘 要 研究了保費(fèi)到達(dá)為復(fù)合PoissonGeometric過(guò)程的索賠相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)模型，通過(guò)模型轉(zhuǎn)化得到了破產(chǎn)概率的表達(dá)式及其上界.進(jìn)一步地，將模型推廣為帶干擾的情形，得到了相應(yīng)的結(jié)果.

關(guān)鍵詞 索賠相關(guān)；復(fù)合PoissonGeometric過(guò)程；破產(chǎn)概率；調(diào)節(jié)系數(shù)；鞅

中圖分類號(hào) F840 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

風(fēng)險(xiǎn)理論是近代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，也是當(dāng)前精算界研究的熱門課題，其研究對(duì)象是保險(xiǎn)業(yè)的各種隨機(jī)模型.經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型

U（t）=u+ct-∑N（t）-k=1-Zk

描述了盈余U（t）隨時(shí)間的積累過(guò)程[1，2].由于保費(fèi)的掙得和對(duì)索賠的賠付，盈余會(huì)不斷變化，當(dāng)它為負(fù)時(shí)，稱其破產(chǎn)發(fā)生了.破產(chǎn)概率作為刻畫(huà)保險(xiǎn)公司穩(wěn)健性的重要指標(biāo)，是風(fēng)險(xiǎn)管理的有力工具，也成為風(fēng)險(xiǎn)理論研究的核心.

近年來(lái)，隨著對(duì)保險(xiǎn)實(shí)踐的深入研究，越來(lái)越多的推廣模型被提出.例如，考慮到保險(xiǎn)公司的回避風(fēng)險(xiǎn)制度，文獻(xiàn)[3]最早提出了索賠次數(shù)為復(fù)合PoissonGeometric過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了破產(chǎn)概率公式和更新方程.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[4]作了推廣，建立了雙復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型，證明了其調(diào)節(jié)系數(shù)是不存在的，故不能用鞅方法來(lái)處理，文獻(xiàn)[5]用全期望公式給出了這一模型的破產(chǎn)概率所滿足的積分方程.另外，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中的獨(dú)立性條件在實(shí)際中是不滿足的，因此，眾多學(xué)者開(kāi)始研究相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)模型.文獻(xiàn)[6]研究了具有時(shí)間相依索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型，其中一類索賠可產(chǎn)生另一類索賠且索賠時(shí)間可延遲，得到了破產(chǎn)概率的上下限.文獻(xiàn)[7]研究了索賠到達(dá)過(guò)程相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了最終生存概率的表達(dá)式.文獻(xiàn)[8]研究了保費(fèi)到達(dá)為復(fù)合泊松過(guò)程的相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)模型，給出了破產(chǎn)概率滿足的不等式.

5 結(jié) 論

索賠相關(guān)和復(fù)合PoissonGeometric過(guò)程都是為了深入描述保險(xiǎn)實(shí)際而提出的，本文將兩者結(jié)合起來(lái)，建立了（帶干擾）索賠相關(guān)的PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型，使其具有更好的應(yīng)用前景.通過(guò)模型的等價(jià)變換以及鞅方法，得到了模型的破產(chǎn)概率及其性質(zhì)，為保險(xiǎn)實(shí)踐提供了有力參考.

參考文獻(xiàn)

[1] H U GERBER. 數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)論導(dǎo)引[M]. 北京： 世界圖書(shū)出版公司， 1997.

[2] 李大潛. 風(fēng)險(xiǎn)理論[M]. 上海： 上海科學(xué)技術(shù)出版社， 1995.

[3] 毛澤春， 劉錦萼. 索賠次數(shù)為復(fù)合PoissonGeometric過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型及破產(chǎn)概率[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2005， 28（3）： 419-428.

[4] 周紹偉. 雙復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型及其破產(chǎn)概率[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2009， 44（12）： 60-63.

[5] 贠小青. PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型調(diào)節(jié)系數(shù)不存在的破產(chǎn)概率[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2015， 45（15）： 189-195.

[6] Junyi GUO，Chunsheng ZHANG. Ruin probabilities for timecorrelated claims[J]. 南開(kāi)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003， 36（1）： 28-32.

[7] C YUEN Kam， Junyi GUO，Xueyuan WU. On a correlated aggregate claims model with Poisson and Erlang risk processes[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2002， 31（2）： 205-214.

[8] 杜春娟， 劉再明， 宋華. 一類索賠相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的研究[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用， 2007， 27（2）： 56-59.

[9] J GRANDELL. Aspects of Risk Theory[M]. New York： SpringerVerlag， 1991.