郭 威，張 悅

（1.福建省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院，福建福州 350004；2.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安 710064）

計(jì)算風(fēng)工程中k－ε模型的邊界條件研究

郭 威1，＊，張 悅1，2

（1.福建省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院，福建福州 350004；2.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安 710064）

從k－ε湍流模型控制方程入手，對(duì)兩類滿足平衡大氣邊界層理論要求的入口邊界條件進(jìn)行了詳細(xì)分析，比較了二者的理論差異。然后以我國(guó)公路橋梁抗風(fēng)規(guī)范中建議的A類風(fēng)場(chǎng)為來流條件，定義了相應(yīng)的k－ε模型常數(shù)與壁面條件，使用兩類邊界條件進(jìn)行數(shù)值模擬。計(jì)算結(jié)果表明：兩類邊界條件結(jié)合相應(yīng)的模型常數(shù)與壁面條件，均能在數(shù)值模擬中構(gòu)建基本滿足規(guī)范要求的平衡大氣邊界層，但各有其適用范圍。在此基礎(chǔ)上，對(duì)模型常數(shù)C1和湍動(dòng)能耗散率與數(shù)值模擬結(jié)果之間的關(guān)系進(jìn)行了研究，采用修改模型常數(shù)與邊界條件的方法，改善了數(shù)值模擬結(jié)果。

k－ε湍流模型；平衡大氣邊界層；邊界條件

0 引 言

正如風(fēng)洞試驗(yàn)需要在風(fēng)洞內(nèi)重現(xiàn)充分發(fā)展的大氣邊界層，在計(jì)算風(fēng)工程中，構(gòu)建水平均一的（horizontally homogenous）大氣邊界層是保證數(shù)值模擬結(jié)果準(zhǔn)確可靠的關(guān)鍵前提。所謂水平均一，是指來流物理量沿流向梯度為0，即計(jì)算域入口處的來流在無干擾條件下到達(dá)出口保持不變。這樣的邊界層可稱為平衡邊界層。構(gòu)建平衡邊界層，需要來流邊界、湍流模型和壁面條件三者相互協(xié)調(diào)。由于問題十分復(fù)雜，通常難以給定一個(gè)既能滿足理論要求，還能與場(chǎng)地實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相符的來流邊界條件，因此在數(shù)值模擬中實(shí)現(xiàn)平衡大氣邊界層十分不易。

邊界層在計(jì)算域入口段產(chǎn)生的物理量變化，將與結(jié)構(gòu)物對(duì)來流的擾動(dòng)作用疊加，共同體現(xiàn)在計(jì)算結(jié)果中。同時(shí)，邊界層的物理量變化，將使得作用在結(jié)構(gòu)物上的風(fēng)剖面與入口處的預(yù)設(shè)條件不符。兩種效應(yīng)降低了數(shù)值模擬的可靠性與準(zhǔn)確性。

對(duì)于如何構(gòu)建平衡大氣邊界層的問題，諸多學(xué)者進(jìn)行了研究。Blocken［1］等指出入口風(fēng)速剖面中包含的粗糙長(zhǎng)度應(yīng)該與壁面函數(shù)相匹配，否則來流在計(jì)算域內(nèi)將發(fā)展成一個(gè)新的平衡邊界。然而僅按照其建議的方法修改壁面參數(shù)，來流在計(jì)算域內(nèi)依然發(fā)生變化。Richards和Hoxey［2］（1993）從標(biāo)準(zhǔn)k－ε模型方程出發(fā)，基于對(duì)平衡大氣邊界層的一系列假設(shè)，推導(dǎo)出一組邊界條件及其相應(yīng)的模型常數(shù)，但是其給出的湍動(dòng)能剖面只能是常數(shù)，與實(shí)際不符。在此基礎(chǔ)上，Yang［3］等推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)k－ε模型方程的通解，給出了一組符合實(shí)測(cè)的邊界條件，但Yang沒有給出模型常數(shù)設(shè)置方法，給出的邊界方程不能直接得到相應(yīng)的模型常數(shù)。

本文首先對(duì)Richards與Yang提出的兩類邊界條件進(jìn)行理論對(duì)比。然后應(yīng)用兩種方法，對(duì)《公路橋梁抗風(fēng)規(guī)范》（JTG－TD60－01－2004）中建議的A類風(fēng)場(chǎng)進(jìn)行足尺數(shù)值模擬［4］。通過對(duì)兩個(gè)算例結(jié)果的比較，分析了兩類邊界條件的差異及各自的適用條件。根據(jù)模擬結(jié)果，本文對(duì)模型常數(shù)和邊界條件做了調(diào)整，改善了平衡大氣邊界層的模擬結(jié)果。

1 平衡大氣邊界層的邊界分析

1.1 第一類邊界條件

定常流的標(biāo)準(zhǔn)k－ε模型控制方程為：

式中，湍流粘性的定義為：

Richards與Hoxey（1993）首先對(duì)平衡大氣邊界層做了以下假設(shè)：（1）邊界層內(nèi)豎向速度為0，對(duì)于二維流場(chǎng)，有邊界層內(nèi)水平切應(yīng)力沿高度方向相等，即：

其中，τ為大氣內(nèi)部切應(yīng)力，u＊為剪切速度。在大氣邊界層局部區(qū)域內(nèi)，該假設(shè)近似成立。

其次，研究者對(duì)計(jì)算域入口處的平均風(fēng)速剖面使用對(duì)數(shù)律表達(dá)式擬合：

式中K為馮卡門常數(shù)，通常取值為0.4～0.42。

在風(fēng)速u、湍動(dòng)能k與湍流耗散率ε水平方向梯度為0的條件下，由方程（1）可以得到μtGk＝ρε，即：

由于μ遠(yuǎn)小于μt，可將其忽略。將方程（3）～（5）聯(lián)立求解，不難得出Richards等建議的入口湍動(dòng)能k及其耗散率ε表達(dá)式：

這組由k－ε湍流模型方程（1）推導(dǎo)出的邊界條件表達(dá)式（5）、（7）和（8）自然能夠滿足方程（1）。再將其代入模型方程（2）中，要使得方程成立，模型常數(shù)需滿足關(guān)系式：

1.2 第二類邊界條件

第二類邊界條件由Yang等推導(dǎo)，沒有使用方程（4），而是將方程（3）、（5）和（6）直接代入到方程（1）中得到：

分離變量后得該微分方程通解：

代入方程（6）得到：

方程（5）、（12）和（13）就是Yang等建議的入口邊界條件。

將方程（5）、（6）和（8）代入到方程（2）中，方程左邊為0，而方程的右邊：

可見Yang推導(dǎo)的邊界條件沒有直接對(duì)標(biāo)準(zhǔn)k－ε湍流模型中的常數(shù)關(guān)系進(jìn)行限制，但在入口邊界條件確定后應(yīng)驗(yàn)算F1是否為0。若F1不等于0，則模型方程（2）不能滿足，來流將在計(jì)算域內(nèi)發(fā)展成一個(gè)滿足模型方程的新邊界層。

1.3 兩類邊界條件對(duì)比

從以上兩類邊界條件的推導(dǎo)過程可以看出，二者的最大差異在于是否假設(shè)邊界層內(nèi)切應(yīng)力相等。該假設(shè)僅在大氣邊界層的小范圍內(nèi)近似成立，與真實(shí)情況略有出入。使用該假設(shè)，引入方程（4），使得第一類邊界條件中的湍動(dòng)能k沿高度方向保持不變，與實(shí)際大氣邊界層不符。但第一類邊界條件中，平均風(fēng)速剖面中的剪切速度u＊物理意義明確，湍動(dòng)能耗散率ε表達(dá)式簡(jiǎn)單，同時(shí)標(biāo)準(zhǔn)k－ε模型中的常數(shù)也有確定的關(guān)系。

第二類邊界條件沒有使用方程（4），而是使用與第一類邊界條件相同的平均風(fēng)速剖面表達(dá)式，推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)k－ε模型控制方程（1）的通解（9）。該解能夠通過改變算式中的參數(shù)A和B，擬合湍動(dòng)能k隨高度變化的數(shù)值，使得計(jì)算域入口的湍動(dòng)能設(shè)置更接近實(shí)際情況。然而這樣的改進(jìn)也引來新問題：將方程（2）整理后得到的等式

并不能得出確定的模型常數(shù)關(guān)系。此外，將方程（3）、（6）代入切應(yīng)力表達(dá)式（4），得到：

由此可以看出，隨著湍動(dòng)能k沿高度的變化，大氣邊界層內(nèi)的水平方向切應(yīng)力沿豎直方向的分布是變化的。因此，平均風(fēng)速剖面表達(dá)式中的u＊值也應(yīng)沿高度變化。

2 算例驗(yàn)證

2.1 風(fēng)場(chǎng)參數(shù)確定

按照我國(guó)《公路橋梁抗風(fēng)規(guī)范》推薦的A類風(fēng)場(chǎng)設(shè)置計(jì)算域入口平均風(fēng)速剖面與湍動(dòng)能剖面。

首先假定風(fēng)速的參考高度為10m，設(shè)該高度處的風(fēng)速為10m／s，則A類風(fēng)場(chǎng)的平均風(fēng)速剖面為：

“規(guī)范”中只給出A類風(fēng)場(chǎng)不同高度的流向湍流強(qiáng)度，需要換算才能得到相應(yīng)的湍動(dòng)能剖面。在只關(guān)心流向湍流強(qiáng)度的前提下，可進(jìn)一步假定豎向脈動(dòng)風(fēng)速為0，按關(guān)系式進(jìn)行換算。結(jié)果如表1所示。

表1 A類風(fēng)場(chǎng)湍動(dòng)能換算值Table 1 Turbulent kinetic energy conversion value of class A wind field

2.2 入口邊界條件設(shè)置

取馮卡門常數(shù)K＝0.42，則剪切速度u＊＝平均風(fēng)速剖面表達(dá)式為

第一類邊界條件中的湍動(dòng)能k值只能為常數(shù)，這里取把K與Cμ代入等式（9）中，得到σε＝3.68。

圖1 湍流強(qiáng)度擬合結(jié)果Fig.1 Turbulence intensity fitting results

模型常數(shù)取值與第一類邊界條件相同，得到湍動(dòng)能耗散率剖面為

兩類邊界條件設(shè)置如表2所示。

2.3 計(jì)算模型

采用二維模型驗(yàn)證兩類邊界條件的適用性，矩形計(jì)算域大小為400m×5000m（y×x），計(jì)算域中不設(shè)置任何結(jié)構(gòu)物。采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對(duì)計(jì)算域進(jìn)行離散，水平向網(wǎng)格間距為10m，豎向首層網(wǎng)格高度取0.32m，漸變率1.08，首層網(wǎng)格中心高度zp＝0.16m。網(wǎng)格總數(shù)為60 000。采用SIMPILEC算法求解，對(duì)流項(xiàng)的離散格式選用QUICK。以各物理量的無量綱殘差低于10－5為計(jì)算收斂標(biāo)準(zhǔn)。計(jì)算平臺(tái)為Fluent6.2。

表2 兩類邊界條件對(duì)比Table 2 Comparison on two kinds of boundary conditions

2.4 壁面函數(shù)及其他參數(shù)設(shè)置

Blocken［1］與Richards［5］均指出，壁面函數(shù)中粗糙高度Ks與邊界層粗糙長(zhǎng)度z0并不相等。二者之間的關(guān)系需由平均風(fēng)速剖面，湍動(dòng)能剖面與壁面函數(shù)三者共同確定。

Fluent中標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)［6］為：

式中，Up為首層網(wǎng)格中心高度處平均風(fēng)速；yp是首層網(wǎng)格中心高度；v是動(dòng)力粘度，取值為為壁面粗糙常數(shù)；u＊為剪切速度，等于為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，約取9.793。K＋s＝u＊Ks／v，K＋s＞90時(shí)，

壁面剪切速度：

在平衡大氣邊界層中u＊＝uτ。此時(shí)壁面函數(shù)表達(dá)式為：

設(shè)Cs＝1，可以得到Ks＝0.092。

第二類邊界條件中的平均風(fēng)速剖面的形式雖然與第一類邊界條件相同，但剪切速度u＊在不同高度取值不同。首層網(wǎng)格中心高度處的實(shí)際摩擦速度應(yīng)為代入方程（20），整理得：

設(shè)Cs＝1，解得Ks＝0.122，即為第二類邊界條件的壁面參數(shù)。

此外，應(yīng)該注意到空氣分子粘性μ＝1.71× 10－5Ns／m2，空氣湍流粘性為：

按照第一類邊界條件，在計(jì)算域頂部，μt＝ 125Ns／m2。湍流粘性比應(yīng)修改Fluent軟件中湍流粘性比的默認(rèn)限制值1×105，否則湍動(dòng)能將在入口附近的計(jì)算域內(nèi)迅速衰減。

其他模型常數(shù)為C1＝1.5，C2＝1.92，σk＝1。

2.5 計(jì)算結(jié)果

使用兩類邊界條件計(jì)算得到的入口與出口平均風(fēng)速和湍動(dòng)能的對(duì)比如圖2所示。

圖2（a）表明，使用兩類邊界條件計(jì)算得到的出口與入口平均風(fēng)速剖面相差較小。在計(jì)算域頂部，出口平均風(fēng)速低于入口設(shè)定，這主要是受計(jì)算域頂面的邊界條件影響，可以通過在頂面施加剪應(yīng)力而改善［78］。在計(jì)算域底部，出口處平均風(fēng)速均略高于入口設(shè)定，且第二類邊界條件計(jì)算得到的平均風(fēng)速改變量小于第一類邊界條件。這是由于第二類邊界條件在地面附近設(shè)置的湍動(dòng)能值高于第一類邊界條件，由此推算出的壁面Ks值更高導(dǎo)致的。方平治［9］討論了Ks對(duì)平均風(fēng)速剖面的影響，從中可以看出，增大Ks值能夠減小計(jì)算域底部平均風(fēng)速剖面沿高度方向的梯度。圖2（b）表明使用兩類邊界條件計(jì)算得到的出口處湍動(dòng)能要小于出口處的設(shè)置值。同樣，使用第二類邊界條件湍動(dòng)能的改變量略小于第一類邊界條件。

圖2 兩類邊界條件計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of two kinds of boundary conditions calculation results

比較兩個(gè)算例可以看出，使用兩類邊界條件得到的計(jì)算結(jié)果都能近似滿足構(gòu)建平衡大氣邊界層的要求。第一類邊界條件的設(shè)置方法較簡(jiǎn)單便捷，但湍動(dòng)能的設(shè)置與實(shí)測(cè)結(jié)果有偏差，僅適宜在湍動(dòng)能沿高度變化小的情況下使用。第二類邊界條件可以設(shè)置湍動(dòng)能沿高度的變化，更接近實(shí)際風(fēng)場(chǎng)。而且地面附近區(qū)域設(shè)置的湍動(dòng)能值更大，也使得壁面Ks增大，從而減小了計(jì)算域底部平均風(fēng)速剖面沿高度方向的梯度，與入口平均風(fēng)速剖面更加吻合。因此，第二類邊界條件適宜在計(jì)算準(zhǔn)確性要求更高及湍動(dòng)能強(qiáng)度隨高度變化大的情況下使用。

3 對(duì)第二類邊界條件的改善

為得到更加平衡的大氣邊界層，針對(duì)第二類邊界條件得到的湍動(dòng)能偏小的情況，本文首先從滿足模型控制方程（2）的要求入手，對(duì)F1是否為0進(jìn)行驗(yàn)算。從算式（14）可以看出，F(xiàn)1在z較小的壁面附近數(shù)值較大，減小C1將減小F1值，因此可以適當(dāng)修改C1改善計(jì)算結(jié)果。

Durbin［10］指出C1合理取值應(yīng)為：

其有效取值范圍在1.3～1.55之間。在不改變邊界條件與其他模型常數(shù)的前提下，本文嘗試修改C1＝1.45與C1＝1.40。C1不同取值時(shí)F1的數(shù)值如圖3所示。

圖3 不同C1取值時(shí)F1的數(shù)值Fig.3F1values with diffirentC1

圖3表明，隨著C1的減小近壁面位置F1更接近0。不同C1取值得到的計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

從計(jì)算結(jié)果可以看出，隨著常數(shù)C1的降低，平均風(fēng)速的取值幾乎沒有變化。而湍動(dòng)能的變化有其特點(diǎn)：高空位置（＞200m）的湍動(dòng)能差異微小，而200m以下位置的湍動(dòng)能值隨著C1的降低而增大，越接近壁面，增大的數(shù)值越多。

為減少高空位置湍動(dòng)能的衰減，本文嘗試修改其他邊界條件。注意到即便是第一類邊界條件，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)k－ε湍流模型兩個(gè)控制方程完全滿足平衡大氣邊界層條件時(shí)，來流物理量經(jīng)過計(jì)算域后依然發(fā)生變化。這是由于邊界條件的前提假定與計(jì)算域內(nèi)的實(shí)際流場(chǎng)的微小差異引起。這樣的誤差難以預(yù)估，因此，鑒于以上模擬結(jié)果顯示湍動(dòng)能在出口處小于入口值，本文嘗試將入口處的湍動(dòng)能耗散率剖面表達(dá)式上增加一個(gè)系數(shù)，使得

D分別取0.9、0.8和0.7，得到的計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖4 不同C1值計(jì)算結(jié)果Fig.4 Calculation results with diffirent C1

從圖5可以看出，計(jì)算域入口處設(shè)置湍動(dòng)能耗散率的變化同樣不影響出口位置平均風(fēng)速值，而且對(duì)出口位置全部高度范圍內(nèi)的湍動(dòng)能值都有影響。具體表現(xiàn)為：在入口處湍動(dòng)能耗散率減小的同時(shí)，出口處的湍動(dòng)能值在全部高度范圍內(nèi)都有增加，但增加的數(shù)值并不相同。高處的湍動(dòng)能增加值較大，越接近壁面增加值越小。D取0.7時(shí)，高空處的湍動(dòng)能與入口條件吻合度較好，但在200m以下低風(fēng)速位置湍動(dòng)能值高于入口值。D取1與0.9時(shí)，出口處湍動(dòng)能仍小于入口值。取D＝0.8時(shí)，計(jì)算域出入口的湍動(dòng)能吻合度較好。

圖5 不同D值計(jì)算結(jié)果Fig.5 Calculation results with diffirentD

4 結(jié) 論

本文首先分析了兩類平衡大氣邊界層的入口邊界條件，并通過算例驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性與適用性。進(jìn)而對(duì)邊界條件中的參數(shù)進(jìn)行了研究，以期改善數(shù)值模擬結(jié)果?？偨Y(jié)全文，得出如下結(jié)論：

1）第一類邊界條件的設(shè)置方法相對(duì)簡(jiǎn)單，但湍動(dòng)能為定值，只適宜在湍動(dòng)能沿高度分布均勻的大氣邊界層模擬中使用。第二類邊界條件的設(shè)置方法較復(fù)雜，但允許湍動(dòng)能沿高度變化分布，在大氣邊界層模擬中的適用范圍廣泛。

2）減小C1會(huì)增大計(jì)算域內(nèi)壁面附近位置的湍動(dòng)能，但不影響高空處湍動(dòng)能。同時(shí)C1對(duì)平均風(fēng)速剖面影響微小。

3）減小ε能增大計(jì)算域內(nèi)的湍動(dòng)能值，效果隨高度的增大而增加。ε對(duì)平均風(fēng)速剖面影響微小。

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A study on boundary conditions of k－εmodel in Computational Wind Engineering

Guo Wei1，＊，Zhang Yue1，2

（1.Fujian Communications Planning ＆Designing Institute，F(xiàn)uzhou 350004，China；2.School of High way，Chang’an University，Xi’an 710064，China）

Proceeded from thek－εturbulence model control equation，two kinds of boundary conditions meet the theoretical conditions of horizontally homogenous Atmosphere Boundary Layer（ABL）were studied in detail，and their theoretical differences were compared.And then the class A wind field，which is suggested by the Chinese Wind－resistant Design Specification for Highway Bridges，was simulated as the inlet flow conditions in full scale using these two kinds of boundary conditions，with adaptedk－εmodel constants and wall conditions well defined.The results show that，in numerical simulation，both two kinds of boundary conditions，combined with adapted model constants and wall conditions，are able to construct horizontally homogenous ABL，which basically satisfy the conditions required by the code，but each has its own applicable scope.Based on these works，the relation between model constantC1，turbulent dissipation rateεand the numerical simulation results was studied，and a method to improve the results by modifying model constant andεwas introduced.

k－εturbulence model；homogenous atmosphere boundary layer；boundary conditions

V211.3

Adoi：10.7638／kqdlxxb－2014.0075

0258－1825（2016）04－0530－06

2014－07－11；

2015－01－28

國(guó)家自然科學(xué)基金（51078038）

郭威＊（1988－），男，福建永泰人，碩士，助理工程師，專業(yè)：橋梁工程.E－mail：guowei－14＠163.com

郭威，張悅.計(jì)算風(fēng)工程中k－ε模型的邊界條件研究［J］.空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2016，34（4）：530－535.

10.7638／kqdlxxb－2014.0075 Guo W，Zhang Y.A study on boundary conditions ofk－εmodel in Computational Wind Engineering［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2016，34（4）：530－535.