蔡磊

編者按：

新課程教育教學實踐仍在如火如荼地進行著，新的課程理念也漸漸被廣大教師所熟悉，并努力將其落實到教育教學實踐之中，“課程意識進課堂”已經(jīng)成為有識之士的自覺選擇，也成為有志于數(shù)學教育事業(yè)、為學生終身發(fā)展而教的廣大年輕教師的追求方向。為了引導廣大教師讓數(shù)學課程意識走進課堂，并努力使之落實到位，從本期開始，將陸續(xù)刊登一些關于“課程意識進課堂”的思考性、探索性文章，以引起討論與交流，并分享收獲與喜悅。

在新課程實施的浪潮中，課程意識常被提起又常被遺忘，應試技能偶被沖擊又常唱主角。筆者一直在想，兩者之間真的水火不容嗎？為什么課程專家再三提倡課程意識，而老師們卻在應試技能上樂此不疲呢？可能是各有“道理”吧。帶著此問題，筆者粗略地涉獵了一些專家振聾發(fā)聵的精辟分析與解說，反思了自己的教學理念與行為，覺得自己的見解淺薄，有點急功近利。應試技能雖然表面上、短時間可以見到所謂立竿見影的效果，但從長遠看，學生并不能在真正意義上有大的收獲，因為我們的注意力僅僅在分數(shù)與細枝末節(jié)的技巧上，這就注定了只能帶來這樣的淺近結果。當然，我并非說，成績分數(shù)與能力品質(zhì)并重的人寥寥無幾，真思考、真探索、真實踐的一定大有人在，我應當要向他們學習。由此，筆者開始了自己的一些探索性努力。筆者認為，教育教學過程中，應試與素養(yǎng)兩者不僅不相互排斥，而且可以做到水乳交融，他們的融合可用兩句話來概括：做應做事，做本分事。前者說的是教育教學的理念與原則，后者說的是教育教學的實踐與方針。下面，筆者就結合自己在2015年江西省“贛教杯”高中數(shù)學優(yōu)秀教學課例展示活動中所執(zhí)教的北師大版《數(shù)學4》（必修）《兩角差的余弦函數(shù)》第一課時中的教學設計與實施的過程片段，談點自己粗淺的想法和做法。

一、 做應做事，恰當設計教育教學過程

做應做事，簡單來說，就是指教師要有課程意識，并將課程意識貫徹到教育教學的各個環(huán)節(jié)之中。要以教材內(nèi)容為課程的基本素材，以學生為發(fā)展的基本對象，不是簡單地教教材上的知識點，而是應深刻領會課程內(nèi)容與意圖，深入挖掘教材中所包含的教育因素、數(shù)學思想與方法，然后根據(jù)學生的知識準備水平與接受能力等情況，選擇恰當?shù)慕虒W方法，充分發(fā)揮學生的主體性與主動性，實施有效教學，實現(xiàn)課程目標。用一句通俗的話說就是“課堂教學應給學生‘帶得走’的東西”，即使學生短期和長期都受益的東西，也更多的是能力與情感態(tài)度方面的東西。

具體到高中數(shù)學上，就是要注重培養(yǎng)學生的理性精神、探究精神、實事求是的科學態(tài)度等，要重視數(shù)學思想方法的教學和數(shù)學能力的培養(yǎng)，當然也切不可忽視知識與技能的教學，它是能力與素養(yǎng)的基礎，所謂“基礎不牢，地動山搖”，說的就是這層意思。

再具體到本節(jié)課“兩角差的余弦函數(shù)”內(nèi)容，其安排在三角函數(shù)和平面向量之后學習，既是培養(yǎng)學生溝通知識聯(lián)系、推導任意兩角差的余弦公式，運用兩角差的余弦公式進行簡單的化簡、求值，又是培養(yǎng)學生由特殊到一般、體會向量工具的威力與作用，更是學生經(jīng)歷真實探究過程、培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神的良好機會，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。

基于上述考慮，筆者設計了兩組問題，作為課程展開的基本線索。第一組問題是：

問題1：cos（45°-30°）是多少？

問題2：如果將45°，30°換成一般的銳角α，β，同學們能否探究cos（α-β）等于什么嗎？

問題3：兩個向量夾角的范圍是多少？任意兩角差的范圍是多少？

問題4：當π<α-β≤2π時，上面探究出的兩角差的余弦公式還適用嗎？

問題5：當α-β在其他范圍內(nèi)，上面探究出的兩角差的余弦公式還適用嗎？

本組問題主要用于“任意兩角差的余弦公式”的探究、獲得過程，方法層面上是由特殊到一般、類比推進，內(nèi)容層面上是環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，具有一定的挑戰(zhàn)性。這樣既源于學生的已有知識和經(jīng)驗，又著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)；既讓學生經(jīng)歷適當?shù)睦щy，體驗真實的探究過程，更使得知識的學習與思維的發(fā)展有了穩(wěn)定的落腳之處。

本組問題主要解決公式的使用問題，即通過公式的順用、逆用、巧用，培養(yǎng)學生解決問題的能力。兩組問題緊密相連，不僅增進了學生自主探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、以所知解決未知的能力，更讓學生收獲了探索與成功的喜悅，增強了學習信心與興趣，培養(yǎng)了學生數(shù)學觀察與用化歸數(shù)學思維解決問題的能力。

二、做本分事，有效實施教育教學過程

做本分事，簡單來說就是在課程目標、課程理念的指導下，教師做好教師分內(nèi)的事情：不僅要做好示范、點評與講解，而且要做好引導、點撥與激發(fā)；學生做好學生分內(nèi)的事情：不僅要做好聽、記、做，而且要做好思、議、說。教師不僅要在數(shù)學語言的精準上、數(shù)學本質(zhì)的領悟上，而且要在課堂節(jié)奏的把控上、調(diào)整上做到位，學生不僅要有靜思時間、交流時間，而且更應在生生互動、師生互動上做到充分到位。即各自應做好自己分內(nèi)的事情，互相配合到位，而不能越位。

有效教學含義豐富，簡單來說就包括學生的積極參與、教師的耐心引導及師生間的有效互動，從引入到內(nèi)容主體，從語言到多媒體輔助，從靜思到交流互動，從錯誤到正確，從知識到思想，從體驗到喜悅，學生都應當成為學習的主體、活動的主體、發(fā)展的主體，教師只起著促進的作用，從而使教學更為有效。認知心理學認為，學習是一種主體參與情境而持續(xù)建構的過程，學習是作為主體的學生親力親為的事情，教師不能取代學生的學習，教師的作用在于引起學習、持續(xù)學習與促進學習。

下面是第一組問題探索過程中的教學過程片段，一個同學見到問題1時，不假思索地脫口而出：cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30°=。其他同學馬上指出：計算結果不對，中間推導沒有根據(jù)。教師肯定了這些同學對“沒有根據(jù)妄作推理”這一非理性行為的批判性態(tài)度，但又認為，錯誤中難道沒有合理的成分嗎？比如，他把不會求的15°的三角函數(shù)值，轉化為能求的45°、30°的三角函數(shù)值的想法或許有價值，我們應當感謝這一想法的精彩貢獻（此時掌聲響起，氣氛活躍）。怎樣進一步探求呢？教師啟發(fā)道：前面我們學習了哪些有關的知識呢？這些知識能否為我們所用呢？能否將未知轉換為已知呢？同學們很快地想到可考慮借助單位圓，將15°理解成兩個向量的夾角，新的思路便初露端倪了。拾階而上，由特殊到一般，就將探求cos（α-β）的問題擺在了面前，解決問題的方法也由隱而露了。在完成當α-β∈[0，π]，兩角差的余弦公式時，師生共同明晰了兩向量夾角范圍是多少？任意兩角差的范圍是多少？在此基礎上，進一步提出問題，激發(fā)探究愿望：在π<α-β≤2π時，剛才探究出的公式是否依然成立呢？這樣由淺入深，由近及遠，循序漸進，學生經(jīng)歷了真實探索、全程探索的過程，收益頗豐。

另一方面，在探索性教學過程中，有一個問題特別重要，教師要讓全體學生真正經(jīng)歷而不是虛假經(jīng)歷探索的過程，不能急，要慢，要慢慢地等待，要有耐心。正如《教育是慢的藝術》一文所指出的：“教育，是一種慢的藝術。慢，需要平靜和平和；慢，需要細致和細膩；慢，更需要耐心和耐性。教育，作為一種慢的藝術，需要留足等待的空間和時間，需要有舒緩的節(jié)奏。高頻率，快節(jié)奏，大梯度，不利于學生的有序成長和發(fā)展?！苯處熞o足學生思考的時間與空間，讓學生經(jīng)歷思考、操作、交流與消化，容許并提倡學生之間進行討論與交流，大膽表達與思維碰撞，教師所做的就是耐心地等待與觀察。反之，急于求得公式結果及使用公式，則大大地喪失了本內(nèi)容的數(shù)學教育價值，舍本求末，丟失了西瓜撿取了芝麻。筆者在教學中也多次使用了教學等待。例如，在上述推導公式的探究過程中足足用了20分鐘。

再者，筆者也覺得展評典型非優(yōu)解法是培養(yǎng)、發(fā)展學生思維能力的好途徑，同時也是慢的藝術的一種體現(xiàn)。例如，在解決第二組問題時，筆者在巡視、等待、觀察學生的計算過程與結果后，發(fā)現(xiàn)很多學生直接利用兩角差的余弦公式將已知式展開，結合公式sin2？茲+cos2？茲=1，消去sin？茲，可是由于數(shù)字比較繁瑣，很多同學在順用公式時算了很久也沒有得到結果。此時，筆者并沒有馬上在黑板上給出此題的簡潔解法，而是啟發(fā)：“還記得我們剛才在求解cos15°時，將這個未知的單角拆成已知的兩角差嗎？”一些同學聽到此話，靜思一會兒后，發(fā)現(xiàn)了待求角和已知角之間的關系，露出了興奮、喜悅的樣子。這樣同學們經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)，收獲了喜悅，體會到了化歸思想方法的威力。之后，筆者選擇做對的（公式巧用）和沒有解出來的（公式順用）的典型代表，將他們的作品拿到展臺投影，和同學們一起點評，不足之處，用紅筆改正。大家個個沉浸在探索、互動、興奮的氛圍中，雖然下課了，學生們?nèi)耘d趣盎然。