廖小兵王文超+李奔

摘要：由于電力系統(tǒng)修正方程組具有高維、稀疏的特點(diǎn)，本文提出將預(yù)處理Krylov子空間方法應(yīng)用于潮流修正方程組的求解，形成預(yù)處理NewtonKrylov的潮流計(jì)算方法。結(jié)合ILU預(yù)處理方法，比較了最常用的3類NewtonKrylov方法求解潮流方程的計(jì)算效果。通過(guò)對(duì) IEEE30、IEEE118、IEEE300 和3個(gè)Poland大規(guī)模電力系統(tǒng)進(jìn)行潮流計(jì)算，結(jié)果表明：3類NewtonKrylov方法是電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的有效方法，呈現(xiàn)出良好的收斂特性和計(jì)算效率。

關(guān)鍵詞：潮流計(jì)算；修正方程組；ILU預(yù)處理；NewtonKrylov方法

中圖分類號(hào)：TM744 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1引言

潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)分析中最古老的經(jīng)典課題之一。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算通常以牛頓法為主[1]。牛頓法是求解非線性代數(shù)方程組的有效方法之一，它將非線性方程組的求解轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的求解，但由于每次迭代后都需更新雅可比矩陣的元素，導(dǎo)致每次都需求解高維的線性代數(shù)方程組。傳統(tǒng)的直接法，如Gauss消去法，LU分解等，計(jì)算量和存儲(chǔ)量較大，且固有的前推回代過(guò)程難以并行[2-3]。迄今為止，越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)外研究人員在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中采用NewtonKrylov方法求解潮流方程[4-8]。

NewtonKrylov方法是在不精確牛頓法的基礎(chǔ)上，結(jié)合Krylov子空間迭代法，形成的一類新的求解非線性方程組的數(shù)值方法。這類方法結(jié)合了Newton方法的良好收斂特性，以及Krylov子空間方法的存儲(chǔ)量少、計(jì)算量小、易于并行等優(yōu)點(diǎn)[9]，非常適合并行求解大規(guī)模的非線性方程組問(wèn)題[10]。文獻(xiàn)[4]首次將Krylov子空間法中的GMRES方法應(yīng)用于潮流計(jì)算中。文獻(xiàn)[5]將此類迭代法與不精確牛頓法相結(jié)合（NewtonGMRES），同時(shí)采用不同的預(yù)處理方法，對(duì)兩個(gè)大規(guī)模電力系統(tǒng)進(jìn)行了對(duì)比分析計(jì)算。結(jié)果表明：結(jié)合適當(dāng)?shù)念A(yù)處理的NewtonGMRES方法比NewtonLU方法約快2倍。

迄今為止，在潮流計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的NewtonKrylov方法是NewtonGMRES方法。結(jié)合預(yù)處理技術(shù)的NewtonGMRES方法具有良好的收斂特性和數(shù)值穩(wěn)定性，已成為大規(guī)模電力系統(tǒng)潮流計(jì)算首選方法之一。目前，關(guān)于其它NewtonKrylov方法[11]在潮流計(jì)算中的應(yīng)用還缺乏相關(guān)的報(bào)道，以及它們?cè)诔绷饔?jì)算中計(jì)算效率的比較。因此，本文結(jié)合ILU預(yù)處理技術(shù)，將3種最常用的NewtonKrylov方法應(yīng)用于潮流計(jì)算，并比較了它們的收斂性和計(jì)算效率。

3預(yù)處理NewtonKrylov方法的潮流計(jì)算

Krylov子空間方法是求解大型稀疏線性代數(shù)方程組的一類有效方法，其收斂速度依賴于其系數(shù)矩陣特征值的分布。通過(guò)選取適當(dāng)?shù)木仃嘙使M-1A盡可能接近單位陣，來(lái)改善系數(shù)矩陣特征值分布的方法稱為預(yù)處理技術(shù)，。通常的做法是令M在某種意義下接近A并且M-1的計(jì)算易于實(shí)現(xiàn)或選取接近于A-1的M-1并且M-1容易求取。迄今為止，潮流計(jì)算常用的預(yù)處理方法主要包括直接抽取矩陣的對(duì)角線元素作為預(yù)條件子、ILU分解（incomplete LU factorization）、不完全 Cholesky 分解、Jacobi 預(yù)條件子等。文獻(xiàn)[10]對(duì)這幾種預(yù)處理方法，采用不同規(guī)模的電力系統(tǒng)進(jìn)行了潮流計(jì)算，結(jié)果表明：結(jié)果表明：基于ILU分解的預(yù)處理方法比其它預(yù)處理方法具有更少的迭代次數(shù)和浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)。

NewtonKrylov潮流計(jì)算方法的本質(zhì)是一種雙層迭代法。在求解過(guò)程中，均含內(nèi)、外兩類迭代過(guò)程：一般將牛頓法迭代過(guò)程稱為外迭代；將稀疏線性代數(shù)方程組的迭代求解過(guò)程稱為內(nèi)迭代，即Krylov子空間迭代。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，NewtonKrylov潮流計(jì)算方法并不是一種新方法。但由于結(jié)合了預(yù)處理技術(shù)，而預(yù)處理方法的選擇極具靈活性，所以是一種極具潛力的計(jì)算方法。

4算例仿真和分析

本文所有仿真分析均基于MATLAB平臺(tái)，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了3種NewtonKrylov（NG法，NB法，NC法）潮流計(jì)算程序，并以此詳細(xì)比較3種NewtonKrylov方法求解潮流方程的效率。外迭代的收斂容差為1e-6（基準(zhǔn)功率100MVA），內(nèi)迭代的收斂容差為1e-2。圖1是基于ILU預(yù)處理NewtonKrylov方法潮流計(jì)算流程圖。圖1基于ILU預(yù)處理NewtonKrylov

方法潮流計(jì)算流程圖

所采用的算例模型包括 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng) IEEE30、IEEE118和IEEE300，以及3個(gè)Poland互聯(lián)大規(guī)模電力系統(tǒng)模型，測(cè)試時(shí)間取平均值。表1給出了6個(gè)算例系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和雅可比矩陣的條件數(shù)。從表1可以看出隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大，其初次形成的雅可比矩陣J的條件數(shù)往往是很大的（cond（J）>1e+3），接近極限運(yùn)行狀態(tài)。

表2是基于ILU預(yù)處理NewtonKrylov方法進(jìn)行潮流計(jì)算的結(jié)果。從表2可以看出，3種NewtonKrylov方法的收斂性都非常強(qiáng)??；在同樣收斂精度的情況下，NB法和NC法在收斂速度上比NG法快，大約減少一半的迭代次數(shù)；但NB法和NC法包含了兩次正交化的過(guò)程，計(jì)算量大約是NG法的兩倍，因此，從整體上來(lái)說(shuō)求解效率并沒(méi)有明顯提高。再結(jié)合表3可知，當(dāng)電力系統(tǒng)規(guī)模較小時(shí)，NB法和NC法都比NG法節(jié)省計(jì)算時(shí)間；隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的增大（上千節(jié)點(diǎn)時(shí)），NG法的計(jì)算時(shí)間較NB法和NC法減少。需要說(shuō)明一下，對(duì)于IEEE30系統(tǒng)而言，ILU預(yù)處理的精度太高，將迭代法變成了直接法，相當(dāng)于ILU預(yù)處理和內(nèi)迭代中兩次分解雅克比矩陣，使得IEEE30系統(tǒng)的計(jì)算時(shí)間比IEEE118系統(tǒng)還要多。

5結(jié)論及討論

3類NewtonKrylov方法是計(jì)算電力系統(tǒng)潮流的有效方法，具有良好的收斂特性和計(jì)算效率。在同樣的收斂精度下，基于ILU預(yù)處理的NG法和NC法的內(nèi)迭代次數(shù)較NG法明顯減少，但NG法和NC法的計(jì)算量大約是NG法的兩倍，因此，在計(jì)算時(shí)間上并沒(méi)有明顯提高。總體上說(shuō)，3類算法各有優(yōu)缺點(diǎn)，要根據(jù)電力系統(tǒng)的規(guī)模，選擇合適的算法。

NewtonKrylov潮流計(jì)算方法成功的核心在于預(yù)處理矩陣的選取，本文采用最常用的ILU預(yù)處理方法，其它預(yù)處理方法對(duì)3類NewtonKrylov的方法計(jì)算效率的影響，及如何針對(duì)不同規(guī)模的電力系統(tǒng)，選取合適的預(yù)處理方法，都缺乏相關(guān)的結(jié)論。預(yù)處理方法和NewtonKrylov的方法怎樣協(xié)調(diào)配合計(jì)算不同規(guī)模的電力系統(tǒng)潮流，都有待進(jìn)一步研究和驗(yàn)證。

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