白　秀，楊培鳳（.呼和浩特民族學(xué)院　數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古　呼和浩特　0005) （.內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院　公共教學(xué)部，內(nèi)蒙古　呼和浩特　00070)

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He-變分方法在求解廣義（2+1）-Boussinesq方程和（2+1）-KP方程中的應(yīng)用

白秀1，楊培鳳2
（1.呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古呼和浩特010051) （2.內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，內(nèi)蒙古呼和浩特010070)

摘要：利用He--變分方法構(gòu)造廣義(2+1)-Boussinesq方程和（2+1）-KP方程等的孤子解.該方法也可以適用于求解其它非線性偏微分方程的精確解中.

關(guān)鍵詞:偏微分方程；孤子解；He--變分方法；半逆解法

隨著非線性科學(xué)的迅速發(fā)展，非線性微分方程滲透到應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、地球科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生命科學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)的諸多領(lǐng)域中，從而求解其解析解和數(shù)值解是揭示其各類屬性方面具有重要的理論意義和實(shí)際意義.近三十多來，國內(nèi)外專家學(xué)者在求解非線性偏微分方程的精確解方面做了很多卓有成效的工作，推出很多有效的求解技巧和方法，如齊次平衡法[1]-[3]、輔助方程法[4,5]、Paialeve截尾展開法[6]、Tanh函數(shù)方法[7]、Exp—展開法[8]、變分迭代法[9]、He-變分方法[10,11]、同倫攝動(dòng)方法[12]和廣義（G'/G）-展開法[13]等．這些方法中，He-變分方法具有既簡(jiǎn)單又直接的特性，它基于He—半逆解法[10]建立一種巧妙的變分泛函，進(jìn)而構(gòu)造非線性偏微分方程（組）的孤立子解等精確解.該方法已成功應(yīng)用到求解Benjanmin One方程[14]和吸孤子方程[15]的孤子解中.

本文從文獻(xiàn)[11,14-16]得到啟示，利用變分方法對(duì)廣義（2+1）—Boussinesq方程和（2+1）—KP方程等進(jìn)行求解，成功推出這些方程的孤子解.

1　利用變分法求解廣義(2+1)—Boussinesq方程

著名的廣義(2+1)—Boussinesq方程[17]為

其中參數(shù)a,b,c和d是任意常數(shù),且cd≠0，此方程在淺水波長(zhǎng)波分析和表層多孔滲水物質(zhì)材料的水滲透分析中廣泛應(yīng)用.

根據(jù)變分方法的基本思想，設(shè)行波變換u(x,y,t)=u(ξ),且ξ=kx+ly-λt，對(duì)方程（1）行波約化，再將所得到的低維形式常微分方程經(jīng)兩次積分得到下列二階微分方程：

再利用半逆解法，便得（2）的如下變分公式

設(shè)方程（2）的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

再把（5）帶入到（3）里，得到下列雙參數(shù)函數(shù)

同樣，也可以將（5）帶入到(4)得到對(duì)應(yīng)的雙參數(shù)函數(shù)J2(p,q).

為了討論（6）的穩(wěn)定性，求得：

然后，建立如下方程組：

求解上述方程組，得到

所以,廣義(2+1)—Boussinesq方程（2）的孤子解為：

其中ξ=kx+ly-λt.

2　利用變分方法求解（2+1）—KP方程

具有兩個(gè)空間變量與一個(gè)時(shí)間變量的(2+1)—KP方程[18]

其中α為任意常數(shù)，該方程描述弱色散和非線性介質(zhì)微擾現(xiàn)象.

設(shè)行波變換u(x,y,t)=u(ξ),且令ξ=kx+ly-λt，對(duì)方程（14）行波約化，再將所得到的低維形式常微分方程經(jīng)兩次積分得到下列二階微分方程：

再利用半逆解法，可得到（15）的變分公式

為了求解該方程，通過構(gòu)造下列2種形式的孤子解，能得到方程（14）的解：

情形1設(shè)(14)的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

把（18）帶入到（16）里，得到雙參數(shù)函數(shù)

同樣，可以帶入（17）里得到對(duì)應(yīng)的雙參數(shù)函數(shù)J(p,q).

為了考慮(19)的穩(wěn)定性,求得：

再建立聯(lián)立方程組(20)和(21)，并求解得到：

所以，原(2+1)維KP方程（14）的孤子解為：

其中ξ=kx+ly-λt.

情形2設(shè)(14)的孤子解為

其中ξ=kx+ly-λt.

把（25）帶入到（16）里，再對(duì)通過討論得到的雙參數(shù)函數(shù)的穩(wěn)定性，求關(guān)于參數(shù)p，q的方程組，并求解得到參數(shù)p，q以下解：

所以，原(2+1)維KP方程（14）又具有以下形式的孤子解：

其中ξ=kx+ly-λt.

3　結(jié)論

He--變分方法是求解偏微分方程精確解的有效工具，本文基于He—半逆解法，對(duì)廣義(2+1)—Boussinesq方程和（2+1）—KP方程等進(jìn)行構(gòu)造對(duì)應(yīng)變分公式，進(jìn)而尋找這些方程的孤子解.這些結(jié)果顯示，該變分方法簡(jiǎn)單明了，利用它可以構(gòu)造其它諸多非線性偏微分方程的孤立子解和周期解.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕M.L. Wang. Solitary solutions for variant Boussinesq equations[J].Phys Lett A, 1995(199): 169 - 172.

〔2〕M.L. Wang. Exact solution for a compound KdV -Burgers equation[J],Phys Lett ,1996(213): 279 - 287.

〔3〕M.L. Wang. Application of a homogeneous balance methods to exact solutions of nonlinear equations in Mathematical physics[J]. Phys Lett A, 1996(216): 267-270.

〔4〕李志斌.非線性數(shù)學(xué)物理方程的行波解[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

〔5〕Sirendaoreji, Sun J. Auxiliary equation method for solving nonlinear partial differential equati- ons [J]. Phys Lett A, 2003(309): 387-396.

〔6〕李翊神.孤子與可積系統(tǒng)[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?999.

〔7〕E.G. Fan. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations [J]. Phys Lett A, 2000 (277): 212-218.

〔8〕J.H. He, X.H. Wu. Exp-function method for nonlinear wave equations [J], Chaos Solition Fractals, 2006(30): 700-708.

〔9〕J.H. He. Variational iteration method-Some recent results and new interpretations [J], Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007 (207):3-17.

〔10〕J.H. He. Some Asymptotic Methods for Strongly Nonlinear wave equition [J], Internat J. Modern Phys. B, 2006 (20) (10):1141-1199.

〔11〕J.H. He. Non-perturbative methods for strongly Nonlinear problems [J] , Berlin: dissertation. de-Verlag im Internet GmbH, 2006.

〔12〕J.H. He. New interpretation of homotopy perturbation method[J], Internet J. Modern Phys. B, 2006 (20): 2561-2568.

〔13〕Erdunbuhe, Temuerchaolu. A Generalized (G'/G) -Expansion Method and Its Applications to the Whitham-Broer-Kaup-Like Equations [J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版）, 2012，(41)(2):120-131.

〔14〕Z.L. Tao. Variational approach to the Benjamin Ono equation [J]. Nonlinear analysis: real world applications, 2009 (10):1939-1941.

〔15〕Z.L. Tao. Solving breaking solution equation by He’s variational method [J] . Comput. Math. Appl., 2009 (58):2395-2397.

〔16〕J. Zhang, Variational approach to solitary wave solution of the generalized Zakharov equation [J], Comput. Math. Appl., 2007 (54):1043–1046.

〔17〕H.T. Chen, H.Q. Zhang. New double periodic and multiple soliton solutions of the eneralized (2+1)-dimensional Boussinesq equation[J]. Chaos Solitons Fract, 2004(20)(4):756-769.

〔18〕Kadomtsev, B.B., Petviashvili, V.I.. On the stability of solitary waves in weakly dispersive media [J], Sov Phys Dokl, 1970 (15) (1):539-541.

基金項(xiàng)目:內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目( 2013MS0118),內(nèi)蒙古高等學(xué)?？茖W(xué)研究資助項(xiàng)目(NJZC13276，NJZZ14210)和呼和浩特民族學(xué)院科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)資助項(xiàng)目(CXTD1402)

收稿日期：2015年10月22日

中圖分類號(hào)：0175.29

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）01-0010-02