藍麗紅，金玲玉*

（華南農(nóng)業(yè)大學數(shù)學系，廣東廣州510642）

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原子費米氣體附近BCS-BEC過渡區(qū)Ginzburg-Landau方程組穩(wěn)態(tài)解的存在性

藍麗紅，金玲玉*

（華南農(nóng)業(yè)大學數(shù)學系，廣東廣州510642）

摘要：研究了費米-玻色模型中Feshbach共振附近費米原子氣體超流中所呈現(xiàn)的依賴于時間的Ginzburg- Landau （TDGL）方程組，并得到了該方程組在一定條件下穩(wěn)態(tài)解的存在性及正則性。

關鍵詞：穩(wěn)態(tài)解；Ginzburg- Landau方程；山路引理

BCS- BEC過渡現(xiàn)象最早被發(fā)現(xiàn)于1992年［1-2］，眾多學者對原子費米氣體超流中所呈現(xiàn)的BCS- BEC過渡現(xiàn)象進行了研究［3-6］。另外，Ginzburg- Landau理論在原子費米氣體超流的研究史上扮演了重要的角色，這是由于它能夠捕獲超流體在宏觀上［7-8］所能呈現(xiàn)出來的幾乎所有特征。在文獻［6］中，M. Machida等建立了在費米-玻色模型中Feshbach共振附近費米原子氣體超流中所呈現(xiàn)的依賴于時間的Ginzburg- Landau方程模型如下

首先給出一些符號和預備知識。令Hr1（RN），LrP（RN）為徑向對稱函數(shù)的Sobolev空間。記C和c為任意的正常數(shù)。將方程（2）兩邊同乘以- dg，并加上方程（1）得

記W=覫+gφ，則方程組（2）、（3）等價于

對方程（4）、（5），考慮其穩(wěn)態(tài)解（駐波解）。令

則u，v滿足

記

則方程（6）、（7）可簡化為

對任意λ2＞0，u∈Hr1（R3），方程（9）的解可表示為

其中gλ2

(3)為算子-△+λ2的基本解。方程組（8）、（9）的弱解

可轉化為

的弱解，其中α=a1a2。

主要結果如下：

定理1假定λ1＞0，λ2＞0，β＞0，存在一個常數(shù)λ*＞0，使得α∈（-∞，λ*），則問題（11）有一個解，即問題（1）、（2）有穩(wěn)態(tài)解。

定理2令u∈H1（RN）是方程（11）的解，則u∈C2，v（RN），其中0＜v＜1。

1方程組（1）、（2）穩(wěn)態(tài)解的存在性

定義函數(shù)Iα：Hr1（R3）→R

由于Iα函數(shù)在臨界點的值就是方程（11）的弱解。下面先給出函數(shù)Iα的一些性質。由方程（9），對任意λ2＞0有

利用Holder不等式可知

由式（13）、（14）可得

其中C為正常數(shù)。

引理1假定β＞0，λ1＞0，λ2＞0，函數(shù)Iα滿足山路引理［15］條件：

證明考慮α＜0的情形，有

對α＞0的情形，利用式（15）及Sobolev不等式可得

，利用式（16）和（17），存在一個常數(shù)α*＞0，使得Iα≥α*＞0。

固定一個u∈Hr1（R3），則

令t→+∞，則有Iα（tu）→-∞。故引理1得證。

定義

顯示，M≥α*。利用引理1及山路引理［15］可知，存在一個（PS）序列unλ λ奐Hr1（R3），使得當n→∞時，有

其中H-1（R3）記為Hr1（R3）的對偶空間。

引理2在引理1的條件下，由式（19）可得（PS）數(shù)列unλ λ在H1（RN）上有界。

證明由式（18）、（19）有

當α＜0時，有

考慮α＞0的情形，由式（15）和式（20）有

其中C1是正常數(shù)，選取α＜minλ 1，λ2λminλ 1，λ1λ，則式（22）中最后一個不等式成立。

利用式（21）、（22），對所有α＜λ*，存在一個常數(shù)λ*＞0，使得數(shù)列λunλ在Hr（1R3）上有界。故引理2證明完畢。

引理3泛函I（αun）的（PS）序列（滿足式（19））具有收斂子列。

證明由引理2知序列λunλ在Hr（1R3）上有界，則存在u∈Hr（1R3），當n→∞時，存在子列（不妨記為un）：un→u弱收斂于Hr（1R3），un→u強收斂于Lr（pR3），1＜p＜6。

下面證明un→u且u≠0。由式（19）得

i.e.

由于當n→∞時，有

及

2正則性

本節(jié)將討論方程（11）解的正則性，首先回顧一些基本的結果。引理4［16］Helmholtz方程在RN中的基本解是

的一個解，其中μ∈C和gμ（N）滿足：

（1）當x≠0時，gμ（N）＞0且gμ（N）∈C∞（RN｛

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