第I卷必做題部分

一、填空題

1.已知集合A={0，1}，B={-1，0，a+3}，且AB，則實(shí)數(shù)a的值為.

2.已知復(fù)數(shù)z=1-i，則z2-2zz-1的模為.

3.樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在[6，10）內(nèi)的頻數(shù)為.

4.設(shè)變量x，y滿足約束條件x-y≥1，x+y≥1，x≤2，則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值為.

5.下圖是討論三角函數(shù)某個(gè)性質(zhì)的程序框圖，若輸入ai=sini11π（i∈N+），則輸出的i的值是.

6.給定下列四個(gè)命題：

①分別與兩條異面直線都相交的兩直線一定是異面直線；

②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；

③垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面相互垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.

其中，為真命題的序號為.

7.已知：正三棱柱的底面正三角形邊長為2，側(cè)棱長為3，則它的體積V=.

8.設(shè)數(shù)列{an}（n∈N*）是等差數(shù)列.若a2和a2014是方程4x2-8x+3=0的兩根，則數(shù)列{an}的前2015項(xiàng)的和S2015=.

9.已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，則f（2012）=.

10.已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+b-1，且a∈（0，3），則對于任意的b∈R，函數(shù)F（x）=f（x）-x總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的概率是.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy下，已知雙曲線x2-y2=a（a>0），右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A，B是右支上兩點(diǎn)，∠AFB=120°，線段AB的中點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)為M′，則MM′AB的最大值為.

12.三角形ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2OA+AB+AC=0，|OA|=|AB|，則CA·CB等于.

13.函數(shù)f（x）=（1-ax）ex（x>0）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)的充要條件是a∈.

14.設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=23，則1x+1y的最大值為.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分

15.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，B=π3，cosA=45，b=3.

（1）求sinC的值；

（2）求△ABC的面積.

16.在四棱錐PABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB.

（1）若F為PC的中點(diǎn)，求證：PC⊥平面AEF；

（2）求證：CE∥平面PAB.

17.已知水渠在過水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大現(xiàn)有以下兩種設(shè)計(jì)，如圖：

圖①的過水?dāng)嗝鏋榈妊鰽BC，AB=BC，過水濕周l1=AB+BC，圖②的過水?dāng)嗝鏋榈妊菪蜛BCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，過水濕周l2=AB+BC+CD，若△ABC與梯形ABCD的面積都為S.

（1）分別求l1和l2的最小值；

（2）為使流量最大，給出最佳設(shè)計(jì)方案.

18.已知橢圓x2+y2b2=1（0

（1）當(dāng)m+n>0時(shí)，求橢圓離心率的范圍；

（2）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論.

19.（本小題滿分16分）設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng)；數(shù)列{bn}滿足2n2-（t+bn）n+32bn=0（t∈R，n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）試確定實(shí)數(shù)t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；

（3）當(dāng)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列時(shí)，對每個(gè)正整數(shù)k，在ak和ak+1之間插入bk個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}.設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，試求滿足Tm=2cm+1的所有正整數(shù)m.

20.設(shè)a為實(shí)常數(shù)，已知函數(shù).f（x）=x2-2alnx（x>0）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；

（3）當(dāng)a≠0時(shí)，證明：對一切x∈（0，+∞），都有x2-f（x）2a>1ex-2ex.（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

第II卷附加題部分

一、選做題：本大題共4小題，請從這4題中選做2小題，如果多做，則按所做的前兩題記分.每小題10分，共20分

21.（A）41：幾何證明選講

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AD，過A點(diǎn)的切線交CB的延長線于E點(diǎn).

求證：AB2=BE·CD.

（B）選修42：矩陣與變換

設(shè)T是矩陣acb0所對應(yīng)的變換，已知A（1，0），且T（A）=P設(shè)b>0，當(dāng)△POA的面積為3，∠POA=π3，求a，b的值.

（C）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

過點(diǎn)P（-3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線x=t+1t，y=t-1t（t為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)求線段AB的長.

（D）選修45：不等式選講

已知x，y，z均為正數(shù)求證：xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z.

二、必做題：本大題共2小題

22.已知（x+12x）n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.

（1）求n的值；

（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

23.如圖，在棱長為1的正方體AC1中，E、F分別為A1D1和A1B1的中點(diǎn).

（1）求異面直線AE和BF所成的角的余弦值；

（2）求平面BDD1與平面BFC1所成的銳二面角的余弦值；

（3）若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上，且EP∥平面BFC1，求EP的最大值、最小值.

參考答案

第I卷必做題部分

一、填空題

1. -2

2. 2

3. 64

4. 5

5. 21

6. ④、②

7. 33

8. 2015

9. 0

10. 13

11. 66

12. 3

13. （4，+∞）

14. 1

二、解答題

15.解：（1）因?yàn)锳，B，C為△ABC的內(nèi)角，B=π3，cosA=45，所以C=2π3-A，sinA=35.

所以sinC=sin（2π3-A）=32cosA+12sinA=3+4310.

（2）由（1），知sinA=35，sinC=3+4310.因?yàn)锽=π3，b=3，所以在△ABC中，a=bsinAsinB=65.所以△ABC的面積S=12absinC=12×653×3+4310=36+9350.

16.證明：（1）在△ABC中，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，

∴AC=2AB，又∵PA=2AB，∴AC=PA，

∵F為PC的中點(diǎn)，∴AF⊥PC；

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵∠ACD=90°，∴CD⊥AC，AC∩PA=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵PC平面PAC，∴CD⊥PC，

∵E為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∴EF⊥PC，

∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF.

（2）提示：

①中心投影法：延長CD與AB交于G，證明CE∥PG.

②平行投影法：取PA中點(diǎn)M，過C作CN∥AD交AB于N，證四邊形CEMN是平行四邊形，從而得CE∥MN.

③面面平行的性質(zhì)：取AD中點(diǎn)H，證明平面CEH∥平面PAB.

17.（1）在圖①中，設(shè)∠ABC=θ，AB=BC=a，

則S=12a2sinθ，由于S、a、sinθ皆為正值，

可解得a=2Ssinθ≥2S，當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=1，即θ=90°時(shí)取等號，

所以l1=2a≥22S，l1的最小值為22S，

在圖②中，設(shè)AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，

可求得AD=m+n，S=12（n+m+n）·32m，

解得n=2S3m-m2，l2=2m+n=2m+2S3m-m2=2S3m+3m2≥23S=243S，

l2的最小值為243S，當(dāng)且僅當(dāng)2S3m=3m2，即m=4S33時(shí)取等號.

（2）由于2>43，則l2的最小值小于l1的最小值，所以在方案②中當(dāng)l2取得最小值時(shí)的設(shè)計(jì)為最佳方案.

18.解：（1）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（-c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為x=1-c2，y-b2=1b（x-12），

聯(lián)立方程組，解出x=1-c2，y=b2-c2b.

m+n=1-c2+b2-c2b>0，即b-bc+b2-c>0，

即（1+b）（b-c）>0，

∴b>c，

從而b2>c2，即有a2>2c2，∴e2<12，

又e>0，∴0

（2）直線AB與⊙P不能相切，

由kAB=b，kPB=b-b2-c2b0-1-c2=b2+cb（c-1），

如果直線AB與⊙P相切，則b·b2+cb（c-1）=-1，

解出c=0或2，與0

19.解：（1）由題意6a3=8a1+a5，則6q2=8+q4，解得q2=4或q2=2，

因?yàn)閝為正整數(shù)，所以q=2，

又a1=2，所以an=2n（n∈N*）.

（2）當(dāng)n=1時(shí)，2-（t+b1）+32b1=0，得b1=2t-4，

同理：n=2時(shí)，得b2=16-4t；n=3時(shí)，得b3=12-2t，

則由b1+b3=2b2，得t=3.

而當(dāng)t=3時(shí)，2n2-（3+bn）n+32bn=0，得bn=2n.

由bn+1-bn=2，知此時(shí)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.

（3）由題意知，

c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…

則當(dāng)m=1時(shí)，T1=2≠2c2=4，不合題意，舍去；

當(dāng)m=2時(shí)，T2=c1+c2=4=2c3，所以m=2成立；

當(dāng)m≥3時(shí)，若cm+1=2，則Tm≠2cm+1，不合題意，舍去；從而cm+1必是數(shù)列{an}中的某一項(xiàng)ak+1，

則Tm=a1+2+…+2b1個(gè)+a2+2+…+2b2個(gè)+a3+2+…+2b3個(gè)+a4+…+ak+2+…+2bk個(gè)

=（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）

=2（2k-1）+2×（2+2k）k2=2k+1+2k2+2k-2，又2cm+1=2ak+1=2×2k+1，所以2k+1+2k2+2k-2=2×2k+1，

即2k-k2-k+1=0，所以2k+1=k2+k=k（k+1），

因?yàn)?k+1（k∈N*）為奇數(shù)，而k2+k=k（k+1）為偶數(shù)，所以上式無解.即當(dāng)m≥3時(shí)，Tm≠2cm+1.

綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有m=2.

20.解：（1）f′（x）=2x-2ax=2（x2-a）x（x>0），

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）>0x2-a>0，x>0x>a；

f′（x）<0x2-a<0，x>00

所以，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在（a，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，在（0，a）上是單調(diào)遞減函數(shù).

（2）方程f（x）=2ax在（0，+∞）上有唯一解等價(jià)于函數(shù)F（x）=f（x）-2ax的圖象在x軸的正半軸上只有一個(gè)交點(diǎn).令F′（x）=f′（x）-2a=0，即2（x2-ax-a）x=0（x>0），解之得x0=a+a2+4a2（另一解x=a-a2+4a2為負(fù)數(shù)，舍去）.0x0，有F′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)x=x0時(shí)，F(xiàn)（x）有極小值，也是最小值，

即F（x）min=F（x0）=x20-2alnx0-2ax0，

因?yàn)榉匠蘤（x）=2ax在（0，+∞）上有唯一解，

所以F（x）min=0，即x20-2alnx0-2ax0=0.①

又因?yàn)閤20-ax0-a=0，②

①與②聯(lián)立得a-2alnx0-ax0=0，即1-2lnx0-x0=0，③

令h（x）=1-x-2lnx（x>0），由于h′（x）=-1-2x<0，所以h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，且h（1）=0，即h（x）=1-x-2lnx在（0，+∞）有唯一零點(diǎn)，x=1，

故③的解就是x0=1，在代入②得a=12.

（3）x2-f（x）2a>1ex-2exxlnx>xex-2e（x>0）.

令G（x）=xlnx，因?yàn)镚′（x）=1+lnx，當(dāng)0

當(dāng)x>1e時(shí)，G′（x）>0，G（x）單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x=1e時(shí)，G（x）有極小值，也是最小值，

即G（x）min=-1e.

令g（x）=xex-2e，因?yàn)間′（x）=1-xex，當(dāng)00，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，所以，當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有極大值，也是最大值，即G（x）max=-1e.

又由于兩個(gè)函數(shù)的最小值與最大值時(shí)x的取值不同，

所以有G（x）>g（x），即x2-f（x）2a>1ex-2ex對一切x∈（0，+∞）恒成立.

第II卷附加題部分

一、選做題

21.（A）選修41：幾何證明選講

證明：連結(jié)AC，

因?yàn)镋A切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB，

因?yàn)锳B=AD，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD，

于是∠EAB=∠ACD，又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，所以∠ABE=∠D，

所以△ABE∽△CDA，

于是ABCD=BEDA，即AB·DA=BE·CD，

所以AB2=BE·CD.

（B）選修42：矩陣與變換

解：∵acb010=ab，∴P（a，b），

∵b>0，S△POA=3，∠POA=π3，P（a，b），A（1，0），

∴a=2，b=23.

（C）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解：直線的參數(shù)方程為x=-3+32s，y=12s（s為參數(shù)），

曲線x=t+1t，y=t-1t（t為參數(shù)）可以化為x2-y2=4，

將直線的參數(shù)方程代入上式，得s2-63s+10=0，

設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10，

AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.

說明：掌握直線，圓，圓錐曲線的參數(shù)方程及簡單的應(yīng)用.

（D）選修45：不等式選講

證明：因?yàn)閤，y，z均為正數(shù)，所以xyz+yzx=1z（xy+yx）≥2z，

同理可得yzx+zxy≥2x，zxy+xyz≥2y，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，以上三式等號都成立，

將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，

得xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z.

二、必做題

22.解：（1）由題設(shè)，得C0n+14×C2n=2×12×C1n，

即n2-9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）

（2）設(shè)第r+1的系數(shù)最大，則12rCr8≥12r+1Cr+18，12rCr8≥12r-1Cr-18.

即18-r≥12（r+1），12r≥19-1.解得r=2或r=3，

所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T3=7x5，T4=7x92.

說明：掌握二項(xiàng)式定理，展開式的通項(xiàng)及其常見的應(yīng)用.

23.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）A（1，0，0），E（12，0，1），B（1，1，0），

F（1，12，1），

AE=（-12，0，1），

BF=（0，-12，1），

cos〈AE，BF〉=15454=45.

（2）平面BDD1的一個(gè)法向量為MA=（12，-12，0），

設(shè)平面BFC1的法向量為n=（x，y，z），

n·BF=-12y+z=0n·BC=（x，y，z）·（-1，0，1）=-x+z=0，∴x=zy=2z，

取z=1得平面BFC1的一個(gè)法向量n=（1，2，1），

cos〈MA，n〉=MA·n|MA||n|=12-1226=-36，

∴所求的余弦值為36.

（3）設(shè)P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），

EP=（x-12，y，-1），由EP·n=0得（x-12）+2y-1=0，

即x=-2y+32，∵0≤x≤1，∴0≤-2y+32≤1，∴14≤y≤34，

∴|EP|=（x-12）2+y2+1

=（2y-1）2+y2+1

=5y2-4y+2

=5（y-25）2+65，

∵14≤y≤34，

∴當(dāng)y=25時(shí)，∴|EP|min=305，

當(dāng)y=34時(shí)，∴|EP|max=294.

（王小青，江蘇省如皋中學(xué)）