張安軍

韓信立馬分油問題.相傳漢代軍事家韓信一天訪友歸來，途中經(jīng)過一集市，遇見賣油翁與顧客爭執(zhí).買者想買5斤油，而賣者無法計量，因而告訴買者，要么買3斤，要么買7斤.韓信詢問得知，賣油翁油婁中的葫蘆恰好裝有10斤油，但他僅有裝3斤和7斤的葫蘆，而買者執(zhí)意要買5斤油.韓信立在馬上稍加思索道：“你們無須再爭，以我之法保你們都滿意.”韓信下馬經(jīng)過幾次倒油，買賣雙方皆大歡喜.你知道，韓信是怎么倒油嗎[1]？

策略一摸著石頭過河，盲目拼湊

在解決這個問題時，你可能嘗試著拼湊，運氣好的話，你或許可以很快地湊成功，當然這種成功有著偶然性，猶如摸著石頭過河，憑感覺，缺乏目標，嘗試操作時間久一些，有可能拼湊成功，如下表1：

策略二正難則反，從結果中逆推

然而這樣的操作是有幾分偶然性和盲目性，倘若中間湊不成功，那么又要從頭開始.如果我們調整一下策略，從結果開始，逆推進行，從上面的表格中可以發(fā)現(xiàn)最后三個容器的狀態(tài)分別為5、5、0斤.由于每次倒油，從上表中可以發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的現(xiàn)象，就是在這三個容器中至少有一個容器被倒空，或被倒?jié)M，不會出現(xiàn)三個容器都同時有油但未滿的狀態(tài)；有了這條規(guī)則，在逆推的過程中，同時還要關注倒油前后的等價性，即第（n+1）次←→第n次，如下

從結果逆向思考，可以減少倒油過程的盲目性，又可以最小的次數(shù)達到符合要求的操作，如上表從結果逆向最小需要9次就可.從中可以得到啟發(fā)，考慮問題思維不要單向度，正難則反，執(zhí)果溯源，確定解題的方向.

策略三化無形為有形，利用圖象解決

上述的10斤、7斤、3斤的葫蘆為了方便起見，把它們分別記作1、2、3號葫蘆，剛開始時，1、2、3號葫蘆分別是10斤、0斤、0斤，用數(shù)學符號記作（10，0，0），由于不管如何操作，1、2、3號葫蘆所裝的油的總和為10斤，即（z，x，y）中x+y+z=10，當x，y，z中有兩個量確定時，第三個量也唯一的確定，因此可以用三個數(shù)中的兩個數(shù)表示問題中的量，不妨用2、3號的葫蘆表示，如（7，3）表示2、3號葫蘆所裝的油分別為7斤、3斤，推廣之（x，y）表示2、3號葫蘆所裝的油分別為x斤、y斤（0≤x≤7，0≤y≤3，x，y為整數(shù)），這樣可以在直角坐標系中表示（x，y）中的點，橫坐標表示2號葫蘆所裝的油，縱坐標表示3號葫蘆所裝的油，坐標的單位表示裝油的斤數(shù).圖1

為了從形中探尋規(guī)律，現(xiàn)把表3中7、3斤裝的葫蘆斤數(shù)組成橫、縱坐標的點表示在圖1中，從點（0，0）開始，結束點為（5，0），點與點之間用箭頭表示，依次連接，可以發(fā)現(xiàn)在長為7、寬為3的長方形的邊上組成45°或90°夾角，但缺乏規(guī)律，為了尋求規(guī)律，如圖2，采用傾斜角為60°的斜坐標，同樣以橫坐標表示7斤葫蘆所裝的油，斜坐標表示3斤葫蘆所裝的油，坐標的單位仍表示裝油的斤數(shù)，可以最外圍的四邊形如同入射光線碰到平面鏡要進行反射，從（0，0）出發(fā)，第1次反射只有兩種可能，（7，0）或（0，3），不妨從（0，0）開始第1次入射點為（7，0），如圖2，最后只要到達（5，0）需要9次，如果從（0，0）開始第1次入射點為（0，3），如圖3所示，需要12次.

有了圖象法解決倒油問題，這類問題就變得輕松、簡單，和韓信立馬分油相類似的有泊松倒酒趣題，據(jù)說泊松在青年時代研究過一個有趣的數(shù)學游戲：某人有12品脫啤酒一瓶，想從中倒出6品脫.但是他沒有6品脫的容器，只有一個8品脫的容器和一個5品脫的容器.怎樣的倒法才能使8品脫和12品脫的容器中恰好各裝6品脫啤酒[2]？親愛的讀者相信你也會解決此類問題.

參考文獻

[1]王青建.數(shù)學開心辭典[M].北京：科學出版社，2008：130.

[2]李原.泊松趣題的啟迪[J].數(shù)學學習與研究，2012（5）：36.