袁　偉，王　毅，文　俊

(重慶市水利電力建筑勘測設(shè)計研究院， 重慶 400020)

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基于博弈論改進TOPSIS模型的構(gòu)建及應(yīng)用

袁偉，王毅，文俊

(重慶市水利電力建筑勘測設(shè)計研究院， 重慶 400020)

摘要：對工程方案進行綜合比選時，傳統(tǒng)方法往往因指標(biāo)定權(quán)計算方法選用不適宜，進而影響到評價結(jié)果的精度和合理性。綜合考慮生態(tài)效益、經(jīng)濟效益、社會效益，按照實用性、代表性等原則建立評價指標(biāo)體系，提出用“垂直距離”替代“歐式距離”對傳統(tǒng)的TOPSIS模型進行改進，從而建立基于博弈論的改進TOPSIS模型，并將該模型用于重慶市境內(nèi)的雙溪河整治工程的方案優(yōu)選中。實例應(yīng)用結(jié)果表明，該方法用于工程方案的綜合評價是可行的，評價結(jié)果較為可靠、合理，為其他工程方案綜合評價提供了一種新方法和借鑒經(jīng)驗。

關(guān)鍵詞：逼近理想解的排序法；集對分析；博弈論權(quán)重；最小相對熵原理

在河道整治、地基處理等工程中，工程投資、施工難度和工期等將會成為選擇工程方案的制約因素，通常要對多個工程方案進行綜合比選，然而多個待選方案的綜合評價問題屬于多層次、多屬性和多目標(biāo)的決策問題，由于受到多種制約因素的影響，使得決策問題具有一定的不確定性。SPA為一種處理隨機性、模糊性和不確定性的系統(tǒng)方法，得到了廣泛的應(yīng)用[1-5]，文獻[2-5]將集對分析理論運用于不同領(lǐng)域，解決相關(guān)的實際問題，均得出相對合理的研究成果，但往往忽視了對評價指標(biāo)權(quán)重計算方法作深入研究和分析，不同權(quán)重計算方法對評價結(jié)果的影響程度以及探求更為合理的組合權(quán)重計算方法值得進一步研究。在文獻[6]中將集對分析(SPA)和TOPSIS兩種理論進行耦合，利用集對分析的同一度矩陣構(gòu)建規(guī)范決策矩陣，建立了改進的TOPSIS模型，提高了其鑒別優(yōu)劣排序的能力。本文對文獻[6]提出改進的TOPSIS模型作進一步改進，提出用“垂直距離”替代“歐式距離”，并將該改進TOPSIS模型用于河道整治工程方案比選中，解決多方案優(yōu)劣排序問題。本文采用“博弈論”法[7]求解組合權(quán)重，該法具有適用范圍廣、計算簡便和概念清晰等優(yōu)點。

1模型建立

1.1TOPSIS和SPA理論

TOPSIS[8]方法具有計算簡便、概念清晰的特點，主要用于解決多目標(biāo)、多屬性決策問題，這與河道整治綜合評價決策問題相適宜，其具體思路詳見文獻[9]。但傳統(tǒng)TOPSIS模型存在一個較為明顯的不足之處，可能同時出現(xiàn)與理想解和負(fù)理想解的歐式距離均接近的情況，再利用相對歐式距離作方案優(yōu)劣排序，存在一定的不足。為解決這個問題，提出用“垂直距離”來替代歐式距離。文獻[9]給出“垂直距離”的定義即在理想解和負(fù)理想解之間存在兩點，過這兩點作理想解和負(fù)理想解連線為法向量的平面之間的距離。如果一個方案與理想解的“垂直距離”較近，那么與負(fù)理想解的“垂直距離”就遠，證明過程詳見文獻[9]。

SPA[1]在給定的問題背景下，對所論的集對進行同、異、反的定量分析，聯(lián)系度計算公式如下：

u=a+bi+cj

(1)

式中：a、b和c分別為同一度、差異度和對立度，且滿足a+b+c=1；i在[-1，1]中取值，j為對立度系數(shù)，一般恒取-1。

若所論的集對只須進行同一性、同一度進行分析，對其差異性、對立性不作分析，同一性、同一度的概念定義參見文獻[6]。集對同一度的計算規(guī)則參見文獻[10]。

1.2基于博弈論組合權(quán)重的改進TOPSIS模型

步驟1：建立待評方案集、評價指標(biāo)集

假設(shè)有m個待評方案和有n個評價指標(biāo)，以此建立待評方案集A={A1，A2…Am}和評價指標(biāo)集P={P1，P2…Pn}，每個指標(biāo)值均為非負(fù)有理數(shù)。對于成本型指標(biāo)越小越優(yōu)，比如工程投資、工程占地面積等；對于效益型指標(biāo)越大越優(yōu)，比如安全性、可靠性等。

步驟2：確定理想方案A0

對于某一個評價指標(biāo)，理想方案A0的取值：即從m個待評價方案中選擇最優(yōu)值：

A0={P01，P02…P0n}

(2)

步驟3：同一度矩陣R

根據(jù)文獻[10]，同一度矩陣R=(rik)m×n，其中的元素rik為：

當(dāng)PikP0k，則有rik=P0k/Pik

(3)

步驟4：規(guī)范決策矩陣Z

根據(jù)同一度矩陣R構(gòu)建規(guī)范決策矩陣Z=(zik)m×n，其中的元素zik為[11]：

(4)

步驟5：計算各指標(biāo)的組合權(quán)重wkc

對于評價指標(biāo)的權(quán)重計算，若僅考慮主觀賦權(quán)法，往往因客觀信息考慮較少帶來一定的誤差，影響到評價結(jié)果的精度；相應(yīng)地若僅考慮客觀賦權(quán)法，指標(biāo)賦權(quán)有了客觀依據(jù)，可以充分挖掘數(shù)據(jù)的客觀屬性，但專家的經(jīng)驗對指標(biāo)賦權(quán)具有不可忽視的作用。為充分發(fā)揮兩種賦權(quán)法的優(yōu)勢，主觀賦權(quán)采用專家打分法確定，客觀權(quán)重采用熵權(quán)法確定，熵權(quán)法計算公式參見文獻[12]，用博弈論求解各指標(biāo)的組合權(quán)重，稱其為“博弈論”法，具體計算公式如下[7]：

假設(shè)有L種方法計算指標(biāo)權(quán)重，得到指標(biāo)的權(quán)重向量：

wj=(wj1，wj2…wjn)，(j=1,2,…,L)

(5)

對于組合權(quán)重w，則L種權(quán)重向量的線性組合：

(6)

為了使組合權(quán)重w與每一個權(quán)重wj的離差極小化，由此可建立對策模型：

(7)

根據(jù)矩陣的微分性質(zhì)，可以推導(dǎo)出上式的最優(yōu)化的一階導(dǎo)數(shù)條件：

(8)

由上式可以計算求得(α1，α2，…αL)，對其進行歸一化處理，可得組合權(quán)重wc：

(9)

為了對不同組合權(quán)重計算方法進行比較，僅介紹兩種常用的計算方法如下：

(1) 文獻[13]運用最小相對熵原理求解組合權(quán)重，稱其為“最小相對熵原理”法，構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)和約束條件為：

(10)

(11)

(12)

(2) 文獻[14]運用優(yōu)化決策模型求解組合權(quán)重，稱其為“優(yōu)化決策模型”法，構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)和約束條件為：

(13)

(14)

(15)

若僅2組權(quán)重向量計算組合權(quán)重，“優(yōu)化決策模型”法是“博弈論”法的簡化形式，即wc=α1·w1k+α2·w2k,(α1+α2=1)，由此可見，“博弈論”法適用于L≥2的情況，而“優(yōu)化決策模型”法僅適用于L=2的情況。

步驟6：建立加權(quán)規(guī)范決策矩陣X=(xik)m×n，其中的xik：

(16)

(17)

根據(jù)文獻[9]，平移矩陣T=(tik)m×n，其中的tik：

(18)

步驟8：計算“垂直距離”Di

計算各方案與理想解的“垂直距離”Di，其計算公式為：

(19)

Di值表明方案接近理想解的程度[15]，Di值越小，說明距離理想解越近，則待評價方案越優(yōu)。

2模型應(yīng)用

選用重慶市境內(nèi)的雙溪河(為御臨河的二級支流)的河道整治工程的相關(guān)資料來驗證本文所建立模型的可行性和合理性，該河流于2013年進行河道整治時提出3種治理方案：

方案1：“抬高式”明渠方案；

方案2：“箱涵+非常溢洪道”方案；

方案3：明渠方案。

評價指標(biāo)根據(jù)河流實際情況選定，共選擇7個評價指標(biāo)：工程投資X1，萬元/m；工程占地面積X2，畝；工程景觀性X3；工程安全性X4；工程親水性X5；工程施工強度因子X6；工程施工導(dǎo)流難度X7。三種治理方案的具體數(shù)據(jù)見表1。

表1　三種治理方案特性表

由表1可知，理想方案A0={2.17，124.73，0.8，0.8，0.7，0.3，0.4}，由公式(3)和公式(4)可得同一度矩陣R和規(guī)范決策矩陣Z，根據(jù)文獻[12]給出的熵權(quán)法計算步驟可得各指標(biāo)的客觀權(quán)重w(o)={0.1429，0.1412，0.1431，0.1339，0.1597，0.1488，0.1303}，各指標(biāo)的主觀權(quán)重通過專家咨詢打分，得到各指標(biāo)的主觀權(quán)重w(s)={0.1653，0.1488，0.1405，0.1570，0.1405，0.1322，0.1157}，由式(7)～式(9)、式(12)(α1=0.761，α2=0.239)和式(15)(μ取0.5)得到各指標(biāo)的組合權(quán)重見表2，再將表2中組合權(quán)重計算結(jié)果分別代入式(16)～式(19)可得評價結(jié)果見表3。

由表2可知，采用不同組合權(quán)重法計算得到的指標(biāo)組合權(quán)重值差別不大，各指標(biāo)在指標(biāo)集中的重要程度沒有受到影響；式(15)是式(9)的最簡化形式(L=2)，兩者計算結(jié)果應(yīng)相同，兩者計算結(jié)果不同是由于主觀和客觀權(quán)重的比重系數(shù)不同造成的，假如μ取0.761，則兩種組合權(quán)重的計算結(jié)果則完全相同。不難發(fā)現(xiàn)，“博弈論”法中比重系數(shù)的確定是嚴(yán)格按照公式計算出來的，不存在主觀因素，其組合權(quán)重計算結(jié)果相對較合理、可靠，而“優(yōu)化決策模型”法中的偏好系數(shù) 的確定則由主觀偏好決定，存在較大的不確定性和隨意性。

表2　各指標(biāo)的組合權(quán)重對比表

表3　不同評價方法求得的評價結(jié)果對比表

由表3可知，三個治理方案的優(yōu)劣順序：方案1>方案2>方案3，即方案1是最優(yōu)方案，本文的評價結(jié)果與該河道治理采用的最終方案(“抬高式”明渠方案)一致。為了進一步驗證本文評價結(jié)果的正確性，利用文獻[10]構(gòu)建的評價模型，各指標(biāo)權(quán)重采用公式(9)計算得到的組合權(quán)重，其計算結(jié)果見表3。由文獻[10]構(gòu)建的評價模型計算得到的排列順序：方案1>方案2>方案3，與本文的評價結(jié)果一致，從而進一步驗證了改進的TOPSIS模型可行性和正確性。

3結(jié)語

(1) 運用集對分析處理決策問題中的不確定性信息，利用同一度矩陣構(gòu)建規(guī)范決策矩陣，是傳統(tǒng)TOPSIS模型的一次改進；利用“垂直距離”替代歐式距離，對文獻[6]的TOPSIS模型作進一步改進，進而提高模型評判方案的優(yōu)劣能力，采用熵權(quán)法計算各指標(biāo)的客觀權(quán)重，采用專家打分法得到各指標(biāo)的主觀權(quán)重，運用“博弈論”法結(jié)合主觀、客觀權(quán)重求得組合權(quán)重。

(2) 采用不同組合權(quán)重法計算得到的指標(biāo)組合權(quán)重值差別不大，各指標(biāo)在指標(biāo)集中的重要程度沒有受到影響，同時本文提出的“博弈論”法求解組合權(quán)重，計算結(jié)果相對較合理、可靠。“優(yōu)化決策模型”法僅適用于2種方法計算指標(biāo)權(quán)重的情形，而“博弈論”法適用于2種及以上方法計算指標(biāo)權(quán)重的情形，因此該法具有適用范圍廣、計算簡便和概念清晰等優(yōu)點。

(3) 河道整治工程方案綜合評價屬于多層次、多屬性和多目標(biāo)的決策問題，本文提出的評價模型為解決多層次、多屬性和多目標(biāo)的決策問題提供了一個新途徑，具有一定的應(yīng)用價值。

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Establishment and Application of the Improved TOPSIS Model Based on Game Theory

YUAN Wei, WANG Yi, WEN Jun

(ChongqingSurveyingandDesignInstituteofWaterResources,ElectricPowerandArchitecture,Chongqing400020,China)

Abstract：The conventional method is not suitable for comprehensive evaluation of project schemes due to its improper selection of calculation method for index weights, and then, the inappropriate method will affect the accuracy and rationality of the evaluation results.With comprehensive consideration of maximizing ecological benefit, economic benefit and social benefit, an evaluation index system was established according to the practical and representative principle. The conventional TOPSIS model was improved by replacing “Euclidean distance” with “vertical distance”, and a new model based on game theory was established and applied to the evaluation of Shuangxi river regulation schemes in Chongqing. The application result indicates that, this method is suitable for the comprehensive evaluation of project schemes with reliable and reasonable results. This new method provides a new approach and some reference for the evaluation of other project schemes.

Keywords:TOPSIS; SPA; game theory weights; minimum relative entropy principle

文章編號：1672—1144(2016)01—0188—04

中圖分類號：TV85

文獻標(biāo)識碼：A

作者簡介：袁偉(1985—)，男，安徽定遠人，碩士，工程師，主要從事水工結(jié)構(gòu)及基礎(chǔ)處理方案優(yōu)選等方面的研究工作。

收稿日期：2015-07-30修稿日期：2015-08-27

DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2016.01.035

E-mail：abc123-126@163.com