李寶慶 程軍圣　吳占濤　楊宇

摘要：自適應(yīng)最稀疏時頻分析（adaptive and sparsest time-frequency analysis，ASTFA）方法將信號分解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，在優(yōu)化的過程中實現(xiàn)信號的自適應(yīng)分解.為了研究ASTFA的分解能力，在定義分解能力評價指標(biāo)（Evaluation Index of Decomposition Capacity，EIDC）的基礎(chǔ)上，以雙諧波分量合成信號模型來研究幅值比、頻率比、初始相位差對ASTFA的影響.同時，將ASTFA方法與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition， EMD）、局部特征尺度分解（Local Characteristic-scale Decomposition， LCD）進(jìn)行對比分析.研究結(jié)果表明，ASTFA方法的分解能力基本不受幅值比的影響，可分解的極限頻率比較大，不受初始相位差的影響，該方法的分解能力具有明顯的優(yōu)越性.

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)最稀疏時頻分析；經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解；局部特征尺度分解；分解能力；相位

中圖分類號：TH113.1； TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1674-2974（2016）02-0043-05

自適應(yīng)時頻分析方法可以在對信號分解的過程中根據(jù)信號本身的特性自動選擇基函數(shù)或者其參數(shù)，從而實現(xiàn)信號的分解.目前廣泛應(yīng)用的自適應(yīng)時頻分析方法有EMD方法，EMD通過多次迭代將信號分解為一系列具有不同時間尺度的內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）之和，并通過希爾伯特變換得到分量信號的瞬時頻率和瞬時幅值[1].除EMD方法外，一些新的自適應(yīng)時頻分析方法被提出與研究，如LCD方法.LCD法自適應(yīng)地將一個復(fù)雜信號分解為若干個相互獨立的內(nèi)稟尺度分量（Intrinsic Scale Component，ISC）之和[2].實際上，EMD與LCD的分解思路是相同的，都首先采用基于極值點的局部特征尺度參數(shù)定義一種瞬時頻率具有物理意義的單分量信號，然后據(jù)此進(jìn)行自適應(yīng)分解，其中EMD定義了IMF分量，LCD定義了ISC分量.因此，EMD和LCD都存在一些共同的缺陷，如模態(tài)混淆、分解過程的偽分量問題等[3-4].另外，單分量信號IMF和ISC的定義缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.

受壓縮感知理論以及EMD方法的啟發(fā)，Hou和Shi于2011年提出了一種自適應(yīng)最稀疏時頻分析（ASTFA）方法[5-6]，主要思想是基于多尺度數(shù)據(jù)具有內(nèi)在的稀疏時頻分布的特點，采用高斯牛頓迭代法解決非線性優(yōu)化問題實現(xiàn)信號的分解.ASTFA方法以分解得到的單分量個數(shù)最少為優(yōu)化目標(biāo)，以單分量的瞬時頻率具有物理意義為約束條件，在目標(biāo)優(yōu)化的過程中實現(xiàn)信號的自適應(yīng)分解，并直接得到各個分量的瞬時頻率和瞬時幅值，從而獲得原始信號完整的時頻分布.ASTFA方法與EMD及LCD方法不同，其具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[7]，每個分量信號都具有明確的物理意義.

實際上，自適應(yīng)時頻分析方法并不是對所有的多分量信號都能實現(xiàn)有效分解，分解能力存在一定的局限性.文獻(xiàn)[8-9]對EMD方法的分解能力做了研究，研究表明EMD的分解能力與分量信號的頻率比及振幅比有關(guān)，當(dāng)分量的頻率太過接近或者高、低頻分量的幅值比太小時，EMD方法不能實現(xiàn)分量的有效分離.類似于EMD方法的分解能力研究，文獻(xiàn)[10]通過建立分解能力研究模型研究了頻率比、幅值比及初始相位差對LCD分解能力的影響，研究表明初始相位差的影響很小，頻率比及幅值比的影響明顯.以上研究表明，以雙諧波分量合成信號的分解效果來評估自適應(yīng)時頻分析方法的分解能力是一種非常有效的方法.本文基于雙諧波分量合成信號的分解來研究頻率比、幅值比、初始相位差對ASTFA方法分解能力的影響，并與EMD及LCD方法進(jìn)行對比.結(jié)果表明，ASTFA方法的分解能力具有一定的優(yōu)越性.

1ASTFA方法

ASTFA方法基于多尺度數(shù)據(jù)具有內(nèi)在稀疏分布的特點，在建立包含所有內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)的過完備字典庫的基礎(chǔ)上尋找信號的最稀疏表達(dá).ASTFA方法首先建立合適的過完備字典庫，然后在過完備字典庫中搜索對數(shù)據(jù)的匹配性最好的自適應(yīng)基.

1）ASTFA方法的完全分解區(qū)明顯大于EMD和LCD方法的完全分解區(qū)，表明ASTFA方法的分解能力明顯強(qiáng)于EMD和LCD方法.且ASTFA方法能夠分解的最大頻率比為F=0.74，EMD方法能夠分解的最大頻率比為F=0.61，LCD方法能夠分解的最大頻率比為F=0.69.

2）ASTFA方法的完全不分解區(qū)明顯小于EMD和LCD方法的完全不分解區(qū)，同樣表明ASTFA方法的分解能力明顯強(qiáng)于EMD和LCD方法.

3）ASTFA方法的分解能力基本不受幅值比的影響，但是在頻率比0.61

4）EMD和LCD方法的區(qū)域劃分非常相似，同時在低頻率比、低幅值比情況下有分量無法完全分離的情況.這種相似性現(xiàn)象的出現(xiàn)是由于EMD和LCD采用了相同的分解思路.

為驗證圖3—圖5計算結(jié)果的正確性，考察式（10）所示的仿真信號x（t），t∈[0，1]，設(shè)定幅值比A=1.頻率比F與EIDC的關(guān)系如圖6所示，由圖6可知，在式（10）的分析模型下，EMD能夠分解的頻率比上限為F=0.61，LCD能夠分解的頻率比上限為F=0.67，ASTFA能夠分解的頻率比上限為F=0.74，結(jié)果表明了計算的正確性.

為驗證圖3—圖5計算結(jié)果的正確性，考察式（11）所示的仿真信號，設(shè)定頻率比為F=0.4.幅值比A與EIDC的關(guān)系如圖7所示，由圖7可知，在式（11）的分析模型下，EMD能夠分解的幅值比上限為A=3.85，LCD能夠分解的幅值比上限為A=3.35，ASTFA的 EIDC值基本接近于0，結(jié)果不但表明了計算的正確性，而且表明ASTFA有良好的分解精度.

從圖9中可以看出，ASTFA準(zhǔn)確地將兩個分量信號進(jìn)行分離.結(jié)果證明ASTFA方法除在頻率比0.61

2.3初相位差φ對分解能力的影響

前面在研究頻率比F，幅值比A對分解能力的影響時，設(shè)定初相位差φ=0.現(xiàn)在進(jìn)一步研究初相位差φ對ASTFA方法分解能力的影響，初始相位差φ∈[-2π，2π].為研究初相位差φ對ASTFA方法分解能力的影響，考察式（13）所示的仿真信號，頻率比F=0.4，幅值比A=1，位于完全可分解區(qū)域.仿真信號的初相位差φ與EIDC的關(guān)系如圖10所示.從圖10中可以看出，EIDC值變化不大，初始相位差對分解能力基本無影響.

為更具一般性，在不完全可分解區(qū)域選擇一個合成信號，頻率比F=0.8，幅值比A=3，具體如式（14）.仿真信號的初相位差φ與EIDC的關(guān)系如圖11所示.從圖11中可以看出，EIDC值變化不大，初始相位差對分解能力基本無影響.綜合圖10和圖11可以知道，對于不同的頻率比F和幅值比A，初始相位差φ對ASTFA方法的分解能力基本無影響.

3結(jié)論

根據(jù)本文的研究，可以得到以下結(jié)論：

1）頻率比對ASTFA方法的影響較大，ASTFA方法可分解的極限頻率比為0.74，該極限頻率比優(yōu)于EMD和LCD方法.

2）幅值比對ASTFA方法的影響較小，除去頻率比0.61

3）初始相位差對ASTFA方法的分解能力基本無影響.

通過本文的研究發(fā)現(xiàn)，與EMD和LCD方法相比，ASTFA方法的分解能力具有明顯的優(yōu)越性，ASTFA方法將會得到廣泛的關(guān)注.但是ASTFA方法中相位初始值的選擇非常關(guān)鍵，需在后續(xù)的應(yīng)用中對相位初始值的選擇進(jìn)行深入的研究.

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