韓俊元

中考中經(jīng)常會涉及“平面圖形的認識（一）”中的問題，這些問題難度不大，我們只有掌握好基本知識，就能迅速準確解決.

一、 有關“角”的問題

例1 （2013·江蘇淮安）如圖1，三角板的直角頂點在直線l上，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是______.

【分析】 由三角板的直角頂點在直線l上，根據(jù)平角的定義可知∠1與∠2互余，又∠1=40°，即可求得∠2的度數(shù).

【解答】 如圖，三角板的直角頂點在直線l上，則∠1+∠2=180°-90°=90°.

∵∠1=40°，∴∠2=50°.

故答案為50°.

【點評】 本題只要理解平角、互余的定義即可解決問題，是基礎題，熟記互為余角的兩個角的和等于90°是解題的關鍵.

例2 （2013·浙江湖州）把15°30′化成度的形式，則15°30′=____度.

【分析】 15°30′=15°+（30÷60）°=15.5°，故填15.5.

【點評】 本題考查了角的單位：度、分、秒的換算. 由高級單位變成低級單位乘進率，由低級單位變成高級單位除以進率.

例3 （2014·福建泉州）如圖2，直線AB與CD相交于點O，∠AOD=50°，則∠BOC=______°.

【分析】 根據(jù)對頂角相等，可得答案.

【解答】 ∵∠BOC與∠AOD是對頂角，∴∠BOC=∠AOD=50°，故答案為50.

【點評】 本題考查了對頂角與鄰補角，對頂角相等是解題關鍵.

例4 如圖3，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）.

A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°

【分析】 先根據(jù)OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°，求出∠BOC與∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出結論.

【解答】 ∵ OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°，

∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，

∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.

故選D.

【點評】 本題考查的是角的計算，熟知角平分線的定義是解答此題的關鍵.

二、 有關“線”的問題

例5 （2013·湖北武漢）兩條直線最多有1個交點，三條直線最多有3個交點，四條直線最多有6個交點，…，那么六條直線最多有（ ）.

A. 21個交點 B. 18個交點

C. 15個交點 D. 10個交點

【分析】 兩條直線的最多交點數(shù)為：×1×2=1，

三條直線的最多交點數(shù)為：×2×3=3，

四條直線的最多交點數(shù)為：×3×4=6，

所以，六條直線的最多交點數(shù)為：×5×6=15.

【解答】 C.

【點評】 本題屬于找規(guī)律的問題，它建立在直線與直線的交點的個數(shù)變化之上，我們應該從特殊情形考慮，進而總結歸納出規(guī)律.

例6 （2014·山東濟寧）把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程. 用幾何知識解釋其道理正確的是（ ）.

A. 兩點確定一條直線

B. 垂線段最短

C. 兩點之間線段最短

D. 三角形兩邊之和大于第三邊

【分析】 此題為數(shù)學知識的應用，由題意把一條彎曲的公路改成直道，肯定要盡量縮短兩地之間的路程，這就用到兩點間線段最短定理.

【解答】 要想縮短兩地之間的路程，就盡量使兩地在一條直線上，因為兩點間線段最短. 故選C.

【點評】 本題考查了線段的性質，牢記線段的性質是解題關鍵.

三、 綜合型問題

例7 如圖4，已知∠AOB是直角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.

（1） 若∠BOC=60°，求∠EOF的度數(shù)；

（2） 若∠AOC=x°（x>90），此時能否求出∠EOF的大小？若能，請求出它的數(shù)值；若不能，請用含x的代數(shù)式來表示.

【分析】 解決本題首先要抓住∠EOF=∠COE-∠COF，對于第（1）問，直接求出∠COE、∠COF這兩個角即可，而第（2）問，則要設∠AOC=x°，然后用x表示出∠COE、∠COF這兩個角即可.

【解答】（1） 因為∠AOB=90°，∠BOC=60°，所以∠AOC=150°.

又因為OE平分∠AOC，所以∠COE=75°.

又OF平分∠BOC，所以∠COF=30°.

所以∠EOF=∠COE-∠COF=45°.

（2） 因為∠AOC=x°（x>90），且OE平分∠AOC，

所以∠COE=

°.

又因為∠AOB=90°，所以∠BOC=（x-90）°.

又因為OF平分∠BOC，所以∠COF=

°.

所以∠EOF=∠COE-∠COF=

°-

°=45°.

【點評】 緊緊抓住角的和差表示，結合角平分線的定義，運用從特殊到一般的思想方法，問題則會化難為易.

例8 如圖5，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上在A點左邊的一點，且AB=14. 動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t（t>0）秒.

（1） 寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)______；點P表示的數(shù)_____（用含t的代數(shù)式表示）；

（2） 動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，問點P運動多少秒時追上點Q？

（3） 若M為AP的中點，N為PB的中點， 點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長.

【分析】 （1） 根據(jù)已知可得B點表示的數(shù)為8-14；點P表示的數(shù)為8-5t；

（2） 點P運動x秒時，在點C處追上點Q，則AC=5x，BC=3x，根據(jù)AC-BC=AB，列出方程求解即可；

（3） 分①當點P在A、B兩點之間運動時，②當點P運動到點B的左側時，利用中點的定義和線段的和差求出MN的長即可.

【解答】 （1） ∵ 點A表示的數(shù)為8，B在A點左邊，AB=14，

∴ 點B表示的數(shù)是8-14=-6，

∵ 動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t（t>0）秒，

∴ 點P表示的數(shù)是8-5t.

故答案為：-6，8-5t.

（2） 設點P運動x秒時，在點C處追上點Q，則AC=5x，BC=3x，

∵ AC-BC=AB，

∴ 5x-3x=14，解得：x=7，

∴ 點P運動7秒時追上點Q.

（3） 線段MN的長度不發(fā)生變化，都等于7，理由如下：

∵ ① 當點P在A、B兩點之間運動時：

MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7；

② 當點P運動到點B的左側時：

MN=MP-NP=（AP-BP）=AB=7.

【點評】 本題屬于一道綜合題，不僅用到了線段的知識，還結合了數(shù)軸、方程、兩點之間的距離等相關知識，同時還運用了初中階段經(jīng)常遇到的一種數(shù)學思想方法——分類討論.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學）俊元