一、重溫古典概型

一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)——有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型.我們把在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成的集合記為I，基本事件的個(gè)數(shù)n就是集合I中元素的個(gè)數(shù)，事件A是集合I的一個(gè)包含m個(gè)元素的子集，則P（A）=car（A）car（I）=mn.

解決古典概型問(wèn)題通常分為四步：第一步，分析本試驗(yàn)是否是等可能的;第二步，本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè);第三步，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個(gè);第四步，計(jì)算比值得概率.其中求基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵，常用方法有列舉法（適用于比較簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)題），列表法（適用于有兩種不同的對(duì)象的問(wèn)題），樹(shù)圖法（適用于有多種不同對(duì)象的問(wèn)題），這些方法歸根結(jié)底就是列舉，列舉時(shí)應(yīng)特別注意：要嚴(yán)防遺漏，絕不重復(fù).

例1用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，求：（1）3個(gè)矩形顏色都相同的概率;（2）3個(gè)矩形顏色都不同的概率.

解析：所有可能的基本事件共有27個(gè)，如圖所示.

（1）記“3個(gè)矩形都涂同一顏色”為事件A，由圖，知事件A的基本事件有1×3=3（個(gè)），故P（A）=327=19.

（2）記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件B，由圖，可知事件B的基本事件有2×3=6（個(gè)），故P（B）=627=29.

例2一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率;

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n<m+2的概率.

解析：（1）從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6個(gè).

從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有{1，2}，{1，3}兩個(gè).因此所求事件的概率P=26=13.

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果（m，n）有

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16個(gè).

又滿足條件n≥m+2的事件為（1，3），（1，4），（2，4），共3個(gè)，

所以滿足條件n≥m+2的事件的概率為P1=316.

故滿足條件n<m+2的事件的概率為1-P1=1-316=1316.

解后反思：（1）本題在審題時(shí)，要特別注意細(xì)節(jié)，如第（1）問(wèn)，注意兩球一起取，實(shí)質(zhì)上是不分先后，而第（2）問(wèn)，第一次、第二次取出的球的編號(hào)分別是m、n，兩次取球是有次序的;

（2）在列舉基本事件時(shí)，要注意細(xì)節(jié)，以防遺漏，第（1）問(wèn)中基本事件應(yīng)寫(xiě)成{1，2}的形式，表示無(wú)序，第（2）問(wèn)基本事件應(yīng)寫(xiě)成（1，2）的形式，表示有序;

（3）此類題目解答時(shí)，同學(xué)們往往存在格式不規(guī)范，思維不流暢的問(wèn)題.如在解答時(shí)，缺少必要的文字說(shuō)明，沒(méi)有按要求列出基本事件.在第（2）問(wèn)中，由于不能將事件n<m+2的概率轉(zhuǎn)化成n≥m+2的概率，導(dǎo)致數(shù)據(jù)復(fù)雜、易錯(cuò).

二、幾何概型再認(rèn)識(shí)

幾何概型試驗(yàn)也有兩個(gè)基本特點(diǎn)：（1）無(wú)限性——在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè);（2）等可能性——每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.幾何概型的計(jì)算一般按下列步驟進(jìn)行：

（1）選取合適的模型，即樣本空間Ω;

（2）在坐標(biāo)系中正確表示Ω與所求概率事件A所在的區(qū)域;

（3）計(jì)算Ω與A的幾何度量m（Ω），m（A）;

（4）計(jì)算概率P（A）=m（A）m（Ω）.

幾何概型的概率是將古典概型的有限性推廣到無(wú)限性，而保留等可能性的一種求概率的方法.它是借助幾何度量來(lái)表示樣本空間與所考查的樣本.事件A的概率P（A）只與子區(qū)域A的幾何度量（長(zhǎng)度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān).常見(jiàn)的幾何概型有兩種：（1）線型幾何概型——當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí);（2）面型幾何概型——當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決.

幾何概型中的難點(diǎn)是所求事件所構(gòu)成區(qū)域的確定，這類似于“方程與不等式”中“等”與“不等”的思維模式，某事件發(fā)生與否也會(huì)存在一個(gè)零界點(diǎn).所謂的零界點(diǎn)就是事件發(fā)生面臨突變的關(guān)鍵點(diǎn).臨界點(diǎn)可能是長(zhǎng)度、面積，也可能與面積、長(zhǎng)度有關(guān).另外幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.

例3在集合A={m|關(guān)于x的方程x2+mx+34m+1=0無(wú)實(shí)根}中隨機(jī)地取一元素m，恰使式子lgm有意義的概率為.

分析：通過(guò)轉(zhuǎn)化集合A和“l(fā)gm有意義”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何概型.

解析：由Δ=m2-4（34m+1）<0得-1<m<4.

即A={m|-1<m<4}.

由lgm有意義知m>0，即使lgm有意義的范圍是（0，4），

故所求概率為P=4-04-（-1）=45.

解題反思：解決幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍.當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段長(zhǎng)度比計(jì)算;當(dāng)考查對(duì)象為線時(shí)，一般用角度比計(jì)算.

例4如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=3，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率.

分析：根據(jù)“在∠BAC內(nèi)作射線AM”可知，本題的測(cè)度是角度.

解析：因?yàn)椤螧=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°，

在Rt△ABD中，AD=3，∠B=60°，

所以BD=ADtan60°=1，∠BAD=30°.

記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生.

由幾何概型的概率公式，得P（N）=30°75°=25.

解后反思：幾何概型的關(guān)鍵是“測(cè)度”，如本題條件若改成“在線段BC上找一點(diǎn)M”，則相應(yīng)的測(cè)度變成線段的長(zhǎng)度.

例5設(shè)AB=6，在線段AB上任取兩點(diǎn)（端點(diǎn)A、B除外），將線段AB分成了三條線段，若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率.

解析：設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)度分別為x、y，則第三條線段長(zhǎng)度為6-x-y，故全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

0<x<6，

0<y<6，

0<6-x-y<6，

即0<x<6，

0<y<6，

0<x+y<6.

所表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱋AB.

若三條線段x，y，6-x-y能構(gòu)成三角形，

則還要滿足x+y>6-x-y，

x+6-x-y>y，

y+6-x-y>x，

即為x+y>3，

y<3，

x<3.

所表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱀EF，

由幾何概型知，所求概率為P=S△DEFS△AOB=14.

解后反思：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法.用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫(huà)出事件A發(fā)生的區(qū)域.

三、古典概型與幾何概型聯(lián)袂而至

例6已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=mx+n.

（1）設(shè)集合P={-2，-1，1，2，3}和Q={-2，3}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為m和n，求函數(shù)y=mx+n是增函數(shù)的概率;

（2）實(shí)數(shù)m，n滿足條件m+n-1≤0

-1≤m≤1

-1≤n≤1，求函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限的概率.

解析：（1）抽取的全部結(jié)果的基本事件有

（-2，-2），（-2，3），（-1，-2），（-1，3），（1，-2），（1，3），（2，-2），（2，3），（3，-2），（3，3），共10個(gè)基本事件.設(shè)使函數(shù)為增函數(shù)的事件為A，則A包含的基本事件有（1，-2），（1，3），（2，-2），（2，3），（3，-2），（3，3），共6個(gè)基本事件，所以，P（A）=610=35.

（2）m、n滿足條件

m+n-1≤0

-1≤m≤1

-1≤n≤1的區(qū)域如圖所示.

要使函數(shù)的圖象過(guò)第一、二、三象限，則m>0，n>0，故使函數(shù)圖象過(guò)第一、二、三象限的（m，n）的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙薜年幱安糠郑嗨笫录母怕蕿镻=1272=17.

解后反思：對(duì)含兩個(gè)變量控制的概率問(wèn)題，若兩個(gè)變量取值為有限個(gè)，可轉(zhuǎn)化為古典概型;若取值有無(wú)窮多個(gè)，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型問(wèn)題.

例7拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面中，有兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是0，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是2，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是4，將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).

（1）求點(diǎn)P落在區(qū)域C：x2+y2≤10內(nèi)的概率;

（2）若以落在區(qū)域C上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率.

解析：（1）以0、2、4為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)P共有（0，0）、（0，2）、（0，4）、（2，0）、（2，2）、（2，4）、（4，0）、（4，2）、（4，4）共9個(gè)，而這些點(diǎn)中，落在區(qū)域C內(nèi)的點(diǎn)有：（0，0）、（0，2）、（2，0）、（2，2）共4個(gè)，

∴所求概率為P=49.

（2）∵區(qū)域M的面積為4，而區(qū)域C的面積為10π，

∴所求概率為P=410π=25π.

在例6、例7中，幾何概型、古典概型聯(lián)袂而至，具體選用哪一種概型，應(yīng)通過(guò)試驗(yàn)的全部結(jié)果是否有限來(lái)加以區(qū)別.兩例中第一問(wèn)基本事件是有限的，屬于古典概型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把握好列舉的方向且不重不漏，第（2）問(wèn)基本事件是無(wú)限的，是幾何概型問(wèn)題.

通過(guò)以上分析，不難發(fā)現(xiàn)兩種概型雖然都是通過(guò)計(jì)算比值而獲解，但其本質(zhì)卻是不同，古典概型中的比值是基本事件的個(gè)數(shù)之比，幾何概型中的比值是測(cè)度（長(zhǎng)度、角度、面積或體積）之比.區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限還是無(wú)限多個(gè).解決古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是“列舉”，要練好列舉的基本功，提升列舉的能力水平，解決幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是“找準(zhǔn)臨界點(diǎn)”，確定所求事件所構(gòu)成區(qū)域及測(cè)度類型.

（作者：夏志勇，海安縣曲塘中學(xué)）