王 榮，王 嘯，孔 陽，李厚彪，高中喜

（電子科技大學(xué) a.微電子與固體電子學(xué)院；b.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731）

基于傅里葉級(jí)數(shù)的滲流管道壓力模型研究

王 榮a，王 嘯a，孔 陽a，李厚彪b，高中喜b

（電子科技大學(xué) a.微電子與固體電子學(xué)院；b.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731）

該文將滲流模型抽象簡化成存在n段沙子滲流段的管道物理模型，建立了流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的基本方程。通過建立滲流偏微分方程，結(jié)合達(dá)西定律、Kozeny－Carman方程，并利用傅里葉變換的方法求解偏微分方程，推導(dǎo)出關(guān)于滲流率K的表達(dá)式。通過確定管道中的沙子段滲流參數(shù)的關(guān)系表達(dá)式，進(jìn)而確定了管道中的沙子段壓力分布的數(shù)學(xué)模型。最后，通過分析求得壓力分布，建立了管道中的壓力分布的數(shù)學(xué)模型。

滲流率；低滲透多孔介質(zhì)；滲流偏微分方程；傅里葉變換；歐拉方程；達(dá)西方程

滲流力學(xué)是一門有著較長歷史卻充滿年輕活力的科學(xué)。滲流模型是研究滲流力學(xué)中相關(guān)問題的模擬與求解的一門科學(xué)［1］。目前已成為人類開發(fā)地下水、地?zé)?、石油、天然氣、煤炭與煤層氣等諸多地下資源的重要理論基礎(chǔ)，在環(huán)境保護(hù)、地震預(yù)報(bào)、生物醫(yī)療等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，在興建大型水利水電工程、農(nóng)林工程、凍土工程等工程技術(shù)中，已成為必不可少的理論［1－4］。

本文主要考察如圖1所示的管道物理模型，其中長方形表示水平放置的直徑為d的圓柱體正視圖，圓柱體由n段沙子段和（n＋1）段空管段組成，整個(gè)圓柱體的長度為nL1＋（n＋1）L2，其中L1表示各段沙子段的水平長度，L2表示空管段的水平長度。p1、p2表示管道兩端的壓力，q1、q2表示兩端的流量，系統(tǒng)為均質(zhì)模型，其中各段沙子段的滲流率K和孔隙度φ都是相同的，即各段沙子段的固有性質(zhì)相同。通過的流體為水或者油。t＝0時(shí)刻，在管道左端施加壓力p1和流量q1。本文基于這樣的模型，通過流體連續(xù)性方程和線性達(dá)西方程解出模型的相關(guān)系數(shù)。

圖1 存在砂子滲流段的管道物理模型

1 管道滲流的數(shù)學(xué)模型

1.1 管道中沙子段滲流參數(shù)K的表達(dá)式

根據(jù)現(xiàn)有的研究成果［2－4］，將分別建立流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的基本方程，即運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)方程和能量方程這3個(gè)守恒方程，并研究有關(guān)的物性方程狀態(tài)方程。將這些方程聯(lián)立起來，消去某些應(yīng)變量，建立起單一的滲流偏微分方程。

在一般情況下，流體的流動(dòng)所引起的溫度變化很小，可當(dāng)作等溫過程。在等溫條件下，能量方程是不必要的。我們所討論的流體限于牛頓流體，故達(dá)西定律是適用的。所以這里用到Darcy方程、連續(xù)性方程和狀態(tài)方程。

考慮的應(yīng)變量有壓力p、水流密度ρ、流速V、孔隙度φ和動(dòng)力黏滯系數(shù)μ。流場壓力p的偏微分方程具有經(jīng)典的形式，下面將導(dǎo)出關(guān)于壓力p的偏微分方程，并通過p（x，t）與達(dá)西定律、Kozeny－Carman方程聯(lián)立推導(dǎo)出關(guān)于滲流率K的表達(dá)式。

1.2 滲流偏微分方程的建立

對(duì)于各向異性介質(zhì)，取坐標(biāo)軸x的正方向（即管道的正方向）與滲透率的主方向一致。為清晰起見，現(xiàn)將有關(guān)方程寫出。

連續(xù)性方程［3］：

Darcy定律［3］：

Kozeny－Carman方程［3］：

狀態(tài)方程［3］：

將式（4）和式（5）相乘并微分可得：

再討論式（1）中：

對(duì)于

的情形，關(guān)于壓力函數(shù)p（x，t）的二階微分方程為：

式（7）為單相液體等溫滲流的普遍方程。略去重力影響，并且流場中壓力變化不大以致可以認(rèn)為黏度μ與空間位置無關(guān)，則各向異性多孔介質(zhì)中的滲流偏微分方程簡化為：

對(duì)于均勻各向異性介質(zhì)，K為常數(shù)，則方程化簡為：

由此推導(dǎo)出了管道內(nèi)部關(guān)于壓力p（x，t）的滲流偏微分方程。

1.3 基于滲流偏微分方程的滲流率K的公式推導(dǎo)

壓力p是關(guān)于位置x和時(shí)間t的函數(shù)，由變量分離法可將方程寫為p（x，t）＝X（x）T（t）。其中X（x）是關(guān)于位置x的函數(shù)，T（t）是時(shí)間t的函數(shù)［5－8］。

由滲流偏微分方程得：

取p（0，t）＝p1，p（L，t）＝p2為邊界條件，p與q之間由達(dá)西方程產(chǎn)生聯(lián)系，故流量q是壓力p的函數(shù)。由于初始時(shí)水管內(nèi)部壓強(qiáng)為0，則初始條件p（x，0）＝0。由于邊界條件均不為0，則將p（x，t）進(jìn)行線性變換，結(jié)合邊界條件可得：

利用傅里葉變換解式（11）得：

其中

所以

由達(dá)西方程可得：

由Kozeny－Carman方程可得：

其中直徑為d的圓管的水力半徑R為過水?dāng)嗝婷娣e與濕周之比，即：

所以化簡得到滲流率為：

式中，μ是動(dòng)力黏滯系數(shù)，φ是孔隙度，K0是無量綱常數(shù)，L1為沙子段長度，n是管道中沙子段數(shù)。

2 確定管道中的沙子段壓力分布的數(shù)學(xué)模型

2.1 基于傅里葉變換求解管道內(nèi)沙子段壓力與長度的關(guān)系式推導(dǎo)

由上述傅里葉變換解偏微分方程的過程可得：

其中傅里葉系數(shù)為：

管道內(nèi)沙子段壓力與長度的關(guān)系式為：

2.2 模型的仿真結(jié)果與模型檢驗(yàn)

圖2中X軸代表位置變化、T軸代表時(shí)間變化、P軸代表壓力隨時(shí)間位置的變化。顏色從淺到深代表壓力p（x，t）的逐漸加強(qiáng)的過程。從圖2中可以看出管道沙子段壓力p（x，t）的分布具有以下特點(diǎn)：

圖2 管道沙子段壓力p（x，t）的模型圖形

1）當(dāng)t較小時(shí)，管道系統(tǒng)處于非穩(wěn)態(tài)，隨著位置x的增加，沙子段壓力分布p隨之是非線性減??；

2）當(dāng)t大于臨界值之后，管道系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，隨著位置x的增加，沙子段壓力分布p隨之線性減?。?/p>

3）對(duì)于沙子段中固定的位置x0，在極短的時(shí)間t內(nèi)，管道系統(tǒng)處于非穩(wěn)態(tài)，沙子段在該點(diǎn)所受的壓力p隨著時(shí)間t的增加非線性增加；

4）對(duì)于沙子段中固定的位置x0，隨著時(shí)間t的增加，當(dāng)t大于臨界值后，管道系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，沙子段在該點(diǎn)所受的壓力p不隨時(shí)間t的變化而變化，此時(shí)沙子段x0處所受的壓力為p（x0）。

3 模型評(píng)價(jià)及改進(jìn)

3.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

本文將滲流模型抽象簡化成存在n段沙子滲流段的管道物理模型，通過物理模型分析、建立與計(jì)算，根據(jù)管道的兩端壓力p1、p2，流量q1、q2以及孔隙度φ，分別建立流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的3個(gè)守恒基本方程，即運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)方程和能量方程，并研究有關(guān)的物性方程狀態(tài)方程。對(duì)這些方程聯(lián)立，消去某些應(yīng)變量，建立了關(guān)于流場壓力p的偏微分方程。利用傅里葉變換的方法求解偏微分方程，推導(dǎo)出關(guān)于滲流率K的表達(dá)式。

在推導(dǎo)出滲流偏微分方程的數(shù)學(xué)表達(dá)形式之后，在直觀的物理模型背景下，討論滲流偏微分方程的定解問題，然后使用經(jīng)典的傅里葉變換方法來求出一般滲流微分方程的解析解，由此得到沙子段的壓力分布及管道內(nèi)部的壓力分布的數(shù)學(xué)模型。這種微分方程本身刻畫了一個(gè)隨著時(shí)間不斷演化的動(dòng)態(tài)過程，而邊界（初始）條件在某個(gè)特定的時(shí)刻，捕捉到了該過程的幾個(gè)確定形式。在物理上，邊界（初始）條件給出了在最后或者最初時(shí)刻所關(guān)心的物理量的某種特殊狀態(tài)，這樣，整個(gè)數(shù)學(xué)物理模型詳細(xì)刻畫出了p（x，t）關(guān)于位置x和時(shí)間t的變化過程。

3.2 模型的缺點(diǎn)及改進(jìn)方向

在本模型的建立求解過程中，流體的流動(dòng)所引起的溫度變化極小，即整個(gè)過程看作等溫過程，所以并沒有考慮流體的能量方程。同時(shí)所討論的流體對(duì)象限于牛頓流體，這個(gè)與水流通過管道的實(shí)際情況有略微不同。需要在考慮能量方程的基礎(chǔ)之上，考慮牛頓內(nèi)摩擦力對(duì)水流速度及管內(nèi)壓力分布的影響。這一點(diǎn)可以作為將來本模型的改進(jìn)方向。

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Research on the Seepage Pipeline Pressure Model Based on Fourier Series

WANG Ronga，WANG Xiaoa，KONG Yanga，LI Houbiaob，GAO Zhongxib
（a.School of Microelectronics and Solid State Electronics；b.School of Mathematics Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China）

This paper simplifies the percolation model into a physical model of the n－stage pipeline presence of sand seepage segment，and establishes the basic equations of fluid flow in porous media.By establishing the seepage partial differential equations，combining with Darcy's law，Kozeny－Carman equation，and then using Fourier transform method to solve these partial differential equations，we derive the expression equation of seepage rate K.We then determine the expression of the pipeline segment sand seepage parameters and mathematical model of pressure in the pipeline.Finally，by analyzing obtained pressure distribution，the mathematical model of the pipeline pressure distribution is established

seepage rate K；low permeability porous media；partial differential equations of seepage；Fourier transform；Euler equation；Darcy equation

O341；G642.423

A

10.3969／j.issn.1672－4550.2016.06.013

2015－05－16；修改日期：2015－06－01

國家自然科學(xué)基金（11101071）；電子科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（2015XBJX0041，2016XJYYB037）。

王榮（1993－），男，本科，主要從事數(shù)學(xué)建模和微電子科學(xué)與技術(shù)（半導(dǎo)體集成電路）方面的研究。