安徽省合肥市第四十八中學(xué)

史承灼 魏大付 (郵編：230061)

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復(fù)習(xí)考試

舊題賦新意 老樹開新花

安徽省合肥市第四十八中學(xué)

史承灼 魏大付 (郵編：230061)

2016年安徽中考數(shù)學(xué)壓軸的第23題似曾相識(shí)，又推陳出新, 立意新穎，引起廣泛關(guān)注.下面試對(duì)該題進(jìn)行探源、探析.

1 原題呈現(xiàn)

圖1

圖2

圖3

如圖1，A、B分別在射線OM、ON上，且∠MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA、OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP、△OBQ，點(diǎn)C、D、E分別是OA、OB、AB的中點(diǎn).

(1)求證：△PCE≌△EDQ；

(2)延長(zhǎng)PC、QD交于點(diǎn)R.

①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

2 試題探源

此題源于兩道姊妹題.

圖4

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

圖5

(2016年安徽“合肥十校”聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬(一)第23題)如圖5，在鈍角△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和ACF，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，連接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN．求證：

(1)△EMD≌△DNF；

(2)△EMD∽△EAF；

(3)DE⊥DF．

這兩題都是以鈍角三角形的邊為斜邊向形外側(cè)作等腰直角三角形，考查等腰直角三角形的性質(zhì)(兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑)和應(yīng)用、三角形中位線定理的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用等.

3 試題剖析

2016年安徽中考第23題，在鈍角的邊上截取兩條線段(依然鈍角三角形)，以兩條線段為斜邊向角的外部作等腰直角三角形，將兩個(gè)等腰直角三角形斜邊上的中線延長(zhǎng)，建構(gòu)新圖形，由相似三角形出發(fā)探究角的度數(shù)和線段的比值，給問題的求解增添了難度，煥發(fā)“舊題賦新意，老樹開新花”的效果.

第(1)問，根據(jù)點(diǎn)C、D、E分別是OA、OB、AB的中點(diǎn)，可得DE、CE是△AOB的中位線.根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到DEOC,CEOD,推出四邊形ODEC為平行四邊形，于是得到∠OCE=∠ODE.由△OAP與△OBQ都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的定義易得，由全等三角形的判定方法即可證明△PCE≌△EDQ.

顯然，有效的解題不能單純地依靠模仿和記憶，而是應(yīng)該通過觀察、猜想、驗(yàn)證推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握.使知識(shí)內(nèi)化，方法獲得遷移，能力得以提升，因此，教學(xué)中錘煉解題思想方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)尤為重要.

圖6

第(2)問①如圖6，連接RO，根據(jù)PR與QR分別為線段OA與OB的垂直平分線，得到AR=OR=BR,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD.在四邊形OCRD中，由∠OCR=∠ODR=90°,∠MON=150°，可得∠CRD=30°，進(jìn)而得∠ARB=60°.由“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”得△ABR為等邊三角形.

通過分析，不難發(fā)現(xiàn)該題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定、“三線合一”性質(zhì)、線段垂直平分線的判定及性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和及等邊三角形的判定(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形)、相似三角形的判定及性質(zhì)等.圖中線多干擾視角，影響思考.全等條件(特別是角)隱藏圖中，需認(rèn)真觀察、仔細(xì)分析、多方探尋.無(wú)線段長(zhǎng)度，求線段比值等令人心發(fā)慌.可熟悉的題型與圖形又給人“似曾相識(shí)燕歸來(lái)”之感.此情此景又會(huì)讓人“有法可想、有口可入、有路可走”乃至“有利可圖”，只要有所思、有所想、有所悟，各種思維、思想、方法和靈感便會(huì)引爆，進(jìn)而解決問題.

4 試題引發(fā)的思考

鑒于上述剖析，可以看出面對(duì)這種難題，靠考場(chǎng)上的靈機(jī)一動(dòng)，計(jì)上心來(lái)，或靠總復(fù)習(xí)時(shí)的突擊就想解決，顯然不太靠譜.立足數(shù)學(xué)核心概念，關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程；基于試題研究，積累解題經(jīng)驗(yàn)是解決這些難題比較好的策略.

4.1 立足數(shù)學(xué)核心概念，關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能

數(shù)學(xué)核心概念是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，也是“生成”其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).立足數(shù)學(xué)核心概念，把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，是理解數(shù)學(xué)知識(shí)，解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵.針對(duì)“圖形與幾何”學(xué)習(xí)內(nèi)容,考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的達(dá)成情況，主要是借助基本圖形：三角形、四邊形和圓，考查學(xué)生對(duì)重要幾何基本事實(shí)的理解和運(yùn)用，考查圖形的性質(zhì)及圖形變化，考查學(xué)生在具體情境中合理應(yīng)用圖形的性質(zhì)及判定解決問題的能力.因此,首先，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)落實(shí).以教材為載體，以幾何概念的內(nèi)涵和外延為重點(diǎn)，理解概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，避免死記硬背概念，避免片面追求“偏題、難題、怪題”.關(guān)注教材中的例題、習(xí)題的落實(shí)，力求大多數(shù)能堅(jiān)持正常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生達(dá)到基本要求.其次，幫助學(xué)生構(gòu)建“核心概念”之間結(jié)構(gòu)體系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，通過變式訓(xùn)練，提煉基本圖形等促使學(xué)生掌握應(yīng)用圖形性質(zhì)及判定解題的基本技能，提升解決數(shù)學(xué)問題的水平.

4.2 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程

有的同學(xué)做題又快又準(zhǔn)，有的同學(xué)總能用最簡(jiǎn)單的方式來(lái)解題，有的同學(xué)總出現(xiàn)這樣那樣的問題，比如，時(shí)間不夠用、考場(chǎng)上卡殼以及會(huì)做的題得不了滿分……. 顯然“思維”決定著考試的節(jié)奏和成績(jī). 何為思維呢？思維就是指人腦利用已有的知識(shí)對(duì)記憶的信息進(jìn)行分析、計(jì)算、比較、判斷、推理、決策的動(dòng)態(tài)活動(dòng)過程.它是獲取知識(shí)及運(yùn)用知識(shí)求解問題的根本途徑.數(shù)學(xué)思維就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓.

由此我們得到：在復(fù)雜問題的解決時(shí)，要善于在眾多條件和信息中有方向性的選擇有用信息，形成新的判斷和認(rèn)識(shí).不時(shí)地提出問題，甚至是假設(shè)或猜想，明確問題所在，由問題引導(dǎo)思考，進(jìn)而解決問題，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動(dòng)過程，優(yōu)化思維品質(zhì)，這對(duì)提升解題能力是十分有價(jià)值的.

4.3 基于試題研究，積累解題經(jīng)驗(yàn)

中考試題通常是以教材例習(xí)題或其他省的中考題為“背景”，經(jīng)過命題專家的巧妙構(gòu)思編擬而成的，它們?cè)从诮滩?，又高于教材；源于原有考題，又高于原有考題.這就啟發(fā)我們?cè)诮虒W(xué)中，要充分發(fā)揮教師的教學(xué)智慧，遴選教材中內(nèi)涵豐富的典型例習(xí)題或其他省的典型中考試題，由淺入深，由此及彼，引導(dǎo)學(xué)生努力探索問題的衍生點(diǎn)，從題設(shè)、結(jié)論圖形結(jié)構(gòu)等方面多角度探究與聯(lián)想，變式與拓展，挖掘內(nèi)在的教學(xué)價(jià)值，發(fā)揮其輻射功能，創(chuàng)造性地使用教材，巧妙的引入中考題，開發(fā)豐富有效的課程資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受知識(shí)的生成和發(fā)展的過程，在例習(xí)題及中考題的探究中洞察問題本質(zhì)，在理解的基礎(chǔ)上尋找知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，思考、歸納，從復(fù)雜圖形中剝離出基本數(shù)學(xué)模型(基本圖形)，激活數(shù)學(xué)思維，通過解題與聯(lián)想把蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法揭示出來(lái)，挖掘出隱含問題的本質(zhì)屬性.有效促進(jìn)解題過程的思維定勢(shì)正向遷移，化生為熟、化非常規(guī)題為標(biāo)準(zhǔn)題，為探索和發(fā)現(xiàn)基本模型積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象地指出：“好問題如同蘑菇，它們都能成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè).”平時(shí)，要善于尋找波利亞所說(shuō)的“蘑菇群”，積累解題經(jīng)驗(yàn)，努力實(shí)現(xiàn)“做一題”、“會(huì)一類”、“通一片”.

1 范宏業(yè).透視中考?jí)狠S題 反思學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014(12)：45-48

2 王鋒.積累解題經(jīng)驗(yàn) 提升創(chuàng)新能力[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2013(10)：30-33

3 劉金英，張義民，王立明.中考數(shù)學(xué)試題分類解析(二)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011(1-2)：46-57

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2016-08-26)