童姍姍，牛玉俊

(南陽理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 南陽 473004)

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具有媒體效應(yīng)和接種的傳染病模型的穩(wěn)定性分析

童姍姍，牛玉俊

(南陽理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 南陽 473004)

摘要：討論了一類具有媒體效應(yīng)和接種的傳染病模型.首先分析了各平衡點(diǎn)存在的充分條件，然后應(yīng)用Hurwitz判據(jù)得到了平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，通過分析極限環(huán)的存在唯一性得到了平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，最后探討了接種率和媒體效應(yīng)對(duì)疾病的防控作用.

關(guān)鍵詞：媒體效應(yīng)；接種；傳染?。粯O限環(huán)；全局漸近穩(wěn)定性

(1)

1平衡點(diǎn)的存在性

2平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)關(guān)于平衡點(diǎn)E(S,I)的Jacobian矩陣為

則μ1=a-θ，μ2=-d，

(μ+a-θ)(λ+β(λ+1)-p((a-θ)/b)p-d)=0,

μ2-[(1-p)(a-θ)-(2-p)bS*)μ+dpβ(λ+1)-pS*p-1I*=0

設(shè)μ1和μ2是特征方程的兩根，則

μ1+μ2=(1-p)(a-θ)-(2-p)bS*，

λ1·λ2=dpβ(λ+1)-pS*p-1I*，

故當(dāng)θ∈(θ1,θ2)時(shí)P2局部漸近穩(wěn)定，θ∈(0,θ1)時(shí)P2是鞍點(diǎn).

3極限環(huán)的存在唯一性

引理1[11]對(duì)于系統(tǒng)

(2)

其中函數(shù)f(x)，g1(x)，g2(x)是關(guān)于x的連續(xù)正值函數(shù).設(shè)E(x0,y0)是系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)，若系統(tǒng)(2)滿足：

證明對(duì)應(yīng)于引理1，系統(tǒng)(1)中

故

綜上，只需要hmin(S)≥0，即θ∈(0,θ1)時(shí)，

定理3.2

4媒體效應(yīng)的調(diào)控作用

由推論1可知，媒體所效應(yīng)對(duì)模型有以下影響：

推論2

( 1)系統(tǒng)的疾病平衡點(diǎn)由不穩(wěn)定變成全局漸近穩(wěn)定，所以媒體傳播較小時(shí)對(duì)疾病的防控作用有限；

( 2)疾病由地方病變成消失，所以隨著媒體傳播力度的增強(qiáng)對(duì)該系統(tǒng)有防控疾病的作用；

( 3)當(dāng)媒體傳播增強(qiáng)到一定力度后，會(huì)造成經(jīng)濟(jì)生活停滯，所以媒體傳播的力度應(yīng)適當(dāng).

5結(jié)論

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Analysis of the Stability of Infectious Disease Model

with Media Effects and Vaccination

TONG Shan-shan，NIU Yu-jun

(College of Mathematics and Physics,Nanyang Institute of Technology,Nanyang City 473004,China)

Abstract:A class of infectious disease model with media effects and vaccination is discussed.The sufficient conditions for the existence of the equilibrium points are analyzed,and the local asymptotic stability of the equilibrium point is obtained by using the Hurwitz criterion.The global asymptotic stability of the equilibrium point is obtained by analyzing the existence and uniqueness of the limit cycle.

Key words:media effect；vaccination；infectious disease；limit cycle；global asymptotic stability

文章編號(hào)：1007-2853(2015)11-0098-06 1007-2853(2015)11-0080-04

作者簡(jiǎn)介：王燕飛(1981-)，女，吉林省吉林市人，吉林化工學(xué)院講師,博士，主要從事統(tǒng)計(jì)決策及試驗(yàn)設(shè)計(jì)方面的研究. 王文蓮(1978-)，女，山西大同人，山西大同大學(xué)大同師范分校講師碩士，主要從事大學(xué)物理和物理課程教學(xué)論方面的研究.

收稿日期：2015-07-04 2015-07-10

中圖分類號(hào)：O 175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.16039/j.cnki.cn22-1249.2015.11.019