王勵冰?。ê幽鲜≈芸趲煼秾W(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院　466001）

王超杰?。ê幽鲜∮莱鞘懈呒壷袑W(xué)　476600）

Hilbert空間A-可因子分解算子的性質(zhì)

王勵冰（河南省周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院466001）

王超杰（河南省永城市高級中學(xué)476600）

摘要：在已有A-可因子分解算子概念的基礎(chǔ)上，建立了A-可因子分解算子是有界的若干充要條件，同時討論了其對偶算子的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：A-可因子分解算子對偶算子有界

DOI：

作者簡介：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.017

首先列出A-可因子分解算子的定義。

定義1[3]設(shè)1≤p≤∞，線性算子L：L2（Rd）→LP（E）(E為Rd的一個可測子集)。如果對于任意可因子分解函數(shù)f=準(zhǔn)g，其中f，g∈L2（Rd），準(zhǔn)是Rd上以ZdA為周期的函數(shù)，算子L具有下列形式

那么稱算子L為A-可因子分解算子。

下面給出A-可因子分解算子的兩個性質(zhì)。

定理1[3]算子L：L2（Rd）→L1（Q0）是有界A-可因子分解算子當(dāng)且僅當(dāng)存在g∈L2（Rd），使得L（f）=（f，g）A（t），坌f∈L2（Rd）。更多地，||L||=||g||。

引理1[3]設(shè)A-可因子分解算子L1，L2：L2（Rd）→L1（Q0），則L1=L2當(dāng)且僅當(dāng)

現(xiàn)在接著討論A-可因子分解算子的性質(zhì)，首先給出A-可因子分解算子是有界的三個充要條件。

定理2設(shè)L：L2（Rd）→L2（Q0）是線性A-可因子分解算子，則L是有界的當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)B>0（B=||L||），使得對坌f∈L2（Rd）有

|L（f）（t）|≤B||f||A（t），a.e. t∈Q0。

更多的，L是同構(gòu)算子當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)A，B>0（A=||L-1||-1，B=||L||）使得對任意的f∈L2（Rd）有

A||f||A（t）≤|L（f）（t）|≤B||f||A（t），a.e. t∈Q0。

證明對Rd上任意有界ZdA周期函數(shù)準(zhǔn)和坌f∈L2（Rd）有

所以由引理1可得結(jié)論。

綜上所述，定理2、定理3和定理4建立了A-可因子分解算子是有界的充要條件，于是可以用這三個定理來判定A-可因子分解算子的有界性，定理5對A-可因子分解算子L的對偶算子L*進行了討論，給出了對偶算子L*的一個性質(zhì)。

參考文獻：

[1]張恭慶，林源渠．泛函分析講義[M]．北京:北京大學(xué)出版社，2003．

[2]夏道行，吳卓人．實變函數(shù)論與泛函分析[M]．北京:高等教育出版社，2010．

[3]王勵冰，王超杰．Hilbert空間A-可因子分解算子[J]．科技展望，2015，25(17)：265．

[4]王勵冰，王超杰．A-內(nèi)積及其性質(zhì)[J]．佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2015（2）：240-241．

[5]李登峰，薛明志．Banach空間上的基和框架[M]．北京:科學(xué)出版社，2007．

王勵冰(1986- )，男，河南省周口人，助教，碩士研究生，主要從事小波分析及其應(yīng)用方面的研究。

（責(zé)編趙建榮）