朱純強(qiáng) 張欣杰 張善廷

（山東科技大學(xué)，測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島266590）

1 引言

GPS是一種空間定位技術(shù)，其應(yīng)用完全不同于傳統(tǒng)的用于分別觀測(cè)地面水平位置和高程的方法，可以確定出一個(gè)物體的三維位置［1］。但GPS確定的高程的參考物質(zhì)是一個(gè)固定的橢球，即所謂的水平高，而不是我們?cè)趯?shí)際工程中所表述的正高或正常高。這需要我們?cè)谄綍r(shí)工作中把測(cè)量得到的絕對(duì)標(biāo)高轉(zhuǎn)換為相對(duì)標(biāo)高，即將觀測(cè)的水平高通過計(jì)算得出正高或正常高［2］。

隨著GPS定位技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛，導(dǎo)致GPS高程擬合受到了工程測(cè)量人員的廣泛關(guān)注。其擬合的原理就是通過已知點(diǎn)所具有的高程異常值ξ及其擁有的位置關(guān)系得出函數(shù)模型，通過內(nèi)插法可以得出其他GPS定位點(diǎn)的高程異常值。具體的方法有平面擬合法、移動(dòng)多項(xiàng)式法、多面函數(shù)法等［3］，但是在實(shí)際應(yīng)用中每一種高程擬合方面都是基于數(shù)學(xué)模型建立起來的，并且都具有其各自獨(dú)有的適用范圍和特有的優(yōu)點(diǎn)和缺陷，所以根據(jù)觀測(cè)地區(qū)的范圍及地形，可以采用不同的GPS高程擬合方法以達(dá)到提高測(cè)量精度的目的。

2 GPS高程擬合方法

2.1 等值線內(nèi)插法

高程異常值的確定最早采用的方法是等值線內(nèi)插法是最早，這種方法是是最直接的計(jì)算方法。其思想是通過畫出高程異常值的等高線圖，其次采用內(nèi)插法來確定未確定點(diǎn)的高程異常值。

具體方法是，在觀測(cè)范圍內(nèi)選擇布置均勻的GPS點(diǎn)，使用GPS測(cè)量方法得到固定點(diǎn)的大地高，再利用我們通常使用的水準(zhǔn)測(cè)量的方法來測(cè)定已選點(diǎn)的正常高，根據(jù)公式ξ=H-h求出位置點(diǎn)的高程異常值，使用合適的比例，將已測(cè)量點(diǎn)繪制在圖紙內(nèi)，并且表示出高程異常值，再計(jì)算等高距，最終畫出高程異常值的等高線圖。從等高線圖上就可以通過內(nèi)插法得出未知點(diǎn)的高程異常值，接著利用ξ=H-h求出位置測(cè)點(diǎn)的正常高。這種方法通常是在地勢(shì)平整的地方使用，高程精度可達(dá)到厘米級(jí)。然而對(duì)測(cè)區(qū)地形不平整，起起伏伏，較為復(fù)雜的地區(qū)，采用等值線內(nèi)插法得出的高程異常值差距比較大。

這種方法有一定的局限性，其精度主要取決于兩個(gè)方面，分別是測(cè)量范圍內(nèi)GPS點(diǎn)的分布均勻程度和密實(shí)程度以及對(duì)于獲取大地高、正常高的精確度［5］。如果測(cè)量范圍內(nèi)GPS點(diǎn)的分布密度比較大，那么內(nèi)插得出的正常高的精度就相對(duì)較高。如何提高已知點(diǎn)高程的異常值的精確性的前提是選擇更高等級(jí)的GPS測(cè)量和正常水準(zhǔn)測(cè)量，進(jìn)而才能采用內(nèi)插法得出位置點(diǎn)高精度的高程異常值。

2.2 曲線擬合法

有時(shí)候，GPS點(diǎn)的布置屬于線性分布，可通過下述的曲線擬合的方法對(duì)GPS高程進(jìn)行擬合，從而求出未知點(diǎn)的高程異常值。其基本思想是選擇合適的、呈線性分布的GPS點(diǎn)，通過曲線擬合的方法，得出類似大地水準(zhǔn)面的曲線，再采用內(nèi)插法得出未知點(diǎn)的高程異常值，從而得到未知點(diǎn)的正常高。

2.2.1 多項(xiàng)式曲線擬合

地面任意一點(diǎn)A（x，y）的高程異常值ξ與平面坐標(biāo)的關(guān)系：

其中f（x）為高程異常值ξ的趨勢(shì)線，v為誤差。

設(shè)

當(dāng)有n個(gè)已知點(diǎn)時(shí)，上式可寫成矩陣形式

其中

對(duì)于所有的已知點(diǎn)，均可以寫出以上的方程，據(jù)最小二乘的定理，在 ∑v2=min的條件下，B=（XTX）-1XTξ，可以求出模型轉(zhuǎn)換參數(shù)，再迭代回公式便可計(jì)算出未知點(diǎn)的高程異常值。

2.2.2 三次樣條曲線擬合

對(duì)于測(cè)量距離較大，已知點(diǎn)比較多的測(cè)量區(qū)域，適宜采用三次樣條曲線擬合方法［6］。三次樣條曲線的可以擬合成連續(xù)函數(shù)，把測(cè)線分成多個(gè)線段，并且將每段假設(shè)為三次多項(xiàng)式函數(shù)，然后將這些多項(xiàng)式函數(shù)組成三次樣條函數(shù)。為了保證計(jì)算的準(zhǔn)確程度，在實(shí)際應(yīng)用中要求得出的曲線函數(shù)在連接點(diǎn)處連續(xù)，且函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)全部在連接點(diǎn)處連續(xù)。如此才能保證在分段之后得出的三次樣條函數(shù)在后期運(yùn)算中能夠得出準(zhǔn)確的高程異常值。

設(shè)過n個(gè)已知點(diǎn)，ξi和xi在區(qū)間［xi，xi+1］（i=1，2，...，n-1）上有如下三次樣條函數(shù)關(guān)系：

ζ（x）=ζ（xi）+ （x-xi）ζ（xi，xi+1）+ （xxi）（x-xi+1）ζ（x，xi，xi+1）式 中，x 為 未 知 點(diǎn)坐標(biāo)：

ζ（xi，xi+1）為一階差商，ζ（xi，xi+1）= （ζi+1-ζi）（xi+1-xi）；

ζ（x，xi，xi+1）為二階差商，ζ（x，xi，xi+1）=1／6［ζ''（xi）+ζ''（x）+ζ''（xi+1）］；

ζ''（x）（i=1，2，...，n-1）滿足系數(shù)矩陣為對(duì)稱三角陣的線性方程組；

（xi-xi+1）ζ''（xi-1）+2（xi+1，xi-1）ζ''（xi）+（xi+1，xi）ζ''（xi+1）=6［ζ''（x，xi+1）-ζ（x，xi）］ζ（x0）=ζ''（xn）=0

用追趕法解上面方程組，可求出ζ''（xi）和ζ（xi，xi+1），而

這種方法有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，具有多項(xiàng)式的好處，彌補(bǔ)了多項(xiàng)式的不足。多項(xiàng)式的不足是單個(gè)多項(xiàng)式會(huì)有不靈活不穩(wěn)定的現(xiàn)象。由于三次樣條曲線的各種優(yōu)點(diǎn)，使得在實(shí)際中遇到測(cè)線長(zhǎng)已知點(diǎn)多的情況下采用此方法擬合高程。

2.3 曲面擬合

當(dāng)GPS點(diǎn)的分布為面狀分布時(shí)，適合采用曲面擬合法，由此擬合出的區(qū)域和大地水準(zhǔn)面更加類似，然后通過計(jì)算該區(qū)域內(nèi)的高程異常值，進(jìn)而求出正常高。曲面擬合的主體原理和曲線擬合類似，不同是一個(gè)主要針對(duì)線狀，一個(gè)主要針對(duì)面狀。其操作順序是利用測(cè)量范圍內(nèi)已知點(diǎn)的GPS大地高以及通過水準(zhǔn)測(cè)量得出的正常高，利用公式求得已知點(diǎn)的高程異常值，然后采用已知點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）和高程異常值ζ建設(shè)數(shù)學(xué)模型，并且通過擬合，得出最為接近于該測(cè)量范圍內(nèi)的類似大地水準(zhǔn)面，最后內(nèi)插出未知點(diǎn)的高程異常值ζ，最終求出未知點(diǎn)的正常高。

2.3.1 多項(xiàng)式曲面擬合

當(dāng)GPS點(diǎn)布設(shè)成網(wǎng)狀時(shí)，可以用數(shù)學(xué)多項(xiàng)式通過曲面擬合方法求出未知點(diǎn)的正常高h(yuǎn)。地面任意一點(diǎn)A（x，y）的高程異常值與平面坐標(biāo)的關(guān)系：

式中f（x，y）為高程異常ξ的趨勢(shì)面，v為誤差。

設(shè)

式中如果取x，y的一次項(xiàng)成為平面擬合，取兩次項(xiàng)為二次曲面擬合，取三次項(xiàng)為三次曲面擬合，取四次項(xiàng)為四次曲面擬合，以此類推。

當(dāng)有n個(gè)已知點(diǎn)時(shí)，上式也可寫成矩陣形式

式中

對(duì)于每個(gè)已知點(diǎn)，都可以列出上述方程，根據(jù)最小二乘原理，在∑v2=min的條件下，B=（XTX）-1XTξ，可以求出模型轉(zhuǎn)換參數(shù)，再帶回公式可計(jì)算出未知點(diǎn)的高程異常值。

2.3.2 多面函數(shù)擬合

多面函數(shù)出發(fā)點(diǎn)是幾何觀念，從而使得由諸多數(shù)據(jù)點(diǎn)得出的一個(gè)平差的數(shù)學(xué)曲面的問題得到解決。其理論原理為：任一圓滑的數(shù)學(xué)表面總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面總和，以任意的精度逼近。

設(shè)GPS點(diǎn)的高程異常值ξ與x，y存在以下函數(shù)關(guān)系：

式中，核函數(shù)一般采用正雙曲面函數(shù)：

Q（x，y，xj，yj）= ［（x-xj）2+ （y-yj）2+δ2］1／2

δ2為光滑因子，通常取一小正數(shù)或零，j=1，2，...，n為所選的節(jié)點(diǎn)號(hào)，共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)。若有m個(gè)擬合點(diǎn)，則：

當(dāng)m=n時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)m＞n時(shí)，可得誤差方程：

其中

Qij= ［（xi-xj）2+ （yi-yj）2］1／2

其中i=1，2，...，m；j=1，2，...n

根據(jù)最小二乘原理，在∑v2=min條件下，A=（MTM）-1MTξ，可以求出模型轉(zhuǎn)換參數(shù)，再帶回公式可計(jì)算出未知點(diǎn)的高程異常值。

3 提高GPS高程擬合精度的方法

為了改善GPS高程擬合的精度，可以選擇以下的方法。

（1）提高GPS在外作業(yè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)采集質(zhì)量的方法。選擇合適的采集參數(shù)；采用適當(dāng)?shù)臏y(cè)點(diǎn)；保證監(jiān)測(cè)采集質(zhì)量。

（2）提高測(cè)點(diǎn)確定大地高的精度。提高局部GPS起算點(diǎn)坐標(biāo)的精度，應(yīng)盡可能的選擇國(guó)家A、B級(jí)GPS點(diǎn)為局部GPS網(wǎng)的計(jì)算起點(diǎn)。

（3）提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度利用已有的VLBL、SLR站的地心坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，或利用國(guó)家A、B級(jí)GPS網(wǎng)點(diǎn)來推算轉(zhuǎn)換參數(shù)。

（4）提高擬合計(jì)算的精度。

①根據(jù)測(cè)量區(qū)域的情況，合理的分布已知點(diǎn)，并選取足夠數(shù)量的已知點(diǎn)。

②根據(jù)不同的測(cè)量區(qū)域，選用適當(dāng)?shù)臄M合模型。對(duì)高差較大（比如大于100m）的測(cè)量區(qū)域，通常要考慮地形的影響，對(duì)測(cè)量值進(jìn)行改正。

③對(duì)具有不同趨勢(shì)的大范圍測(cè)量區(qū)域，可考慮分區(qū)計(jì)算的方法。

④計(jì)算時(shí)，坐標(biāo)可以精確到1m或10m，但高程異常值應(yīng)精確到mm。計(jì)算出結(jié)果后，由計(jì)算機(jī)畫出測(cè)量范圍內(nèi)的高程異常值的等值線圖，以更清楚的分析測(cè)量區(qū)域內(nèi)高程異常值的變化情況，提高更高的擬合計(jì)算精度。