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基于純角度觀測(cè)信息的leader-followers機(jī)器人編隊(duì)控制方法

韓青，孫樹(shù)棟，智睿瑞

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710072)

摘要:提出一種純角度觀測(cè)信息的leader-followers多機(jī)器人編隊(duì)控制方法．多個(gè)跟隨機(jī)器人(followers)僅觀測(cè)其領(lǐng)航機(jī)器人(leader)角度信息;基于非線性系統(tǒng)可觀測(cè)性的理論研究，這種純角度觀測(cè)信息能夠滿足leader-followers的可觀測(cè)性要求;利用無(wú)跡卡爾曼濾波算法對(duì)leader-followers機(jī)器人系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果設(shè)計(jì)了輸入-輸出狀態(tài)反饋控制規(guī)律控制跟隨機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，以達(dá)到理想的編隊(duì)效果。仿真驗(yàn)證了該方法的可行性。

關(guān)鍵詞:算法;角速度;控制;實(shí)驗(yàn);反饋控制;卡爾曼濾波;數(shù)學(xué)模型; MATLAB;矩陣代數(shù);非線性系統(tǒng);機(jī)器人;軌跡;速度;編隊(duì)控制; leader-followers編隊(duì)控制及可觀測(cè)性;移動(dòng)機(jī)器人;無(wú)跡卡爾曼濾波;無(wú)跡卡爾曼濾波算法與輸入-輸出反饋控制規(guī)律

多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用前景，是近年來(lái)機(jī)器人研究熱點(diǎn)，一些研究成果已經(jīng)在工業(yè)實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。已從傳統(tǒng)的工業(yè)領(lǐng)域擴(kuò)展到醫(yī)療服務(wù)、教育娛樂(lè)、勘探勘測(cè)、生物工程、柔性制造、救災(zāi)救援等新領(lǐng)域，并快速發(fā)展［1］。其中，多機(jī)器人編隊(duì)控制是多機(jī)器人研究的一個(gè)難點(diǎn)，尤其是在觀測(cè)信息非常有限的情況下，多機(jī)器人的編隊(duì)控制具有很強(qiáng)的非線性系統(tǒng)特性。

目前，多機(jī)器人編隊(duì)控制算法主要包括虛擬結(jié)構(gòu)(virtual structure)法［2］、基于行為(behaviorbased)的方法［3］、領(lǐng)航-跟隨(leader-follower)法［4-6］、人工勢(shì)場(chǎng)法［7］等。文獻(xiàn)［4］提出的編隊(duì)控制方法能實(shí)現(xiàn)避碰和跟蹤參考軌跡。文獻(xiàn)［5］提出了適用于2個(gè)機(jī)器人距離-方位-方向控制方法和適用于3個(gè)機(jī)器人的距離-距離-方向控制方法，解決編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)［6］提出了一種不確定環(huán)境下多機(jī)器人的動(dòng)態(tài)編隊(duì)控制方法。文獻(xiàn)［4-6］都是至少需要距離-角度信息或者更多信息。鑒于此，基于純角度信息［8-12］的機(jī)器人編隊(duì)研究成為了一個(gè)比較新的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［8-10］提出了3個(gè)或者4個(gè)機(jī)器人組成的編隊(duì)分布控制規(guī)律，分布控制規(guī)律使編隊(duì)全局穩(wěn)定。文獻(xiàn)［11］研究了機(jī)器人的隊(duì)形控制，并提出了3個(gè)機(jī)器人編隊(duì)控制規(guī)律。文獻(xiàn)［12］基于輸出擴(kuò)展雅克比矩陣的秩，研究了非線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性。

本文提出了一種通過(guò)跟隨機(jī)器人(followers)觀測(cè)領(lǐng)航機(jī)器人(leader)方位信息進(jìn)行機(jī)器人相對(duì)定位，并通過(guò)反饋用于跟隨機(jī)器人的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)調(diào)節(jié)，以進(jìn)行編隊(duì)控制的方法，該方法對(duì)機(jī)器人數(shù)量和編隊(duì)形狀沒(méi)有特殊要求，且能使編隊(duì)保持穩(wěn)定。

1　leader-followers編隊(duì)控制及其可觀測(cè)性

1. 1leader-follower機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型

設(shè)(x，y)是機(jī)器人在世界坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)，θ是機(jī)器人在世界坐標(biāo)系中的方向角。ρ1是跟隨機(jī)器人質(zhì)心到leader機(jī)器人質(zhì)心的距離。φ1是follower機(jī)器人y軸到leader機(jī)器人質(zhì)心的視角，leader(R1)的坐標(biāo)位置向量是［x1y1θ1］，follower(R2)的坐標(biāo)位置向量是［x2y2θ2］，leader和follower的控制輸入分別是線速度和角速度，即［ν1ω1］和［ν2ω2］。leader-follower的方向角差值是α1=θ1－θ2，leader-follower坐標(biāo)關(guān)系如圖1。

leader-follower機(jī)器人編隊(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)模型如(1)式所示。

輸出向量y =[ y1y2]T=[φ1α1]T。

對(duì)(1)式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型擴(kuò)展，可以得到n個(gè)followers的情況。

狀態(tài)向量:

輸入向量:

輸出向量:

圖1　leader-follower坐標(biāo)關(guān)系

1. 2李導(dǎo)數(shù)及l(fā)eader-followers非線性系統(tǒng)可觀測(cè)性

n個(gè)followers的情況，leader-followers機(jī)器人編隊(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)模型如(3)式。

根據(jù)文獻(xiàn)［13］，以秩評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)確定非線性系統(tǒng)的局部弱可觀測(cè)性。

李導(dǎo)數(shù)計(jì)算:

任何函數(shù)的零階李導(dǎo)數(shù)是其本身:

hk(s)關(guān)于fνi一階李導(dǎo)數(shù)定義為:

hk(s)關(guān)于fνi二階李導(dǎo)數(shù)(s)定義為:

基于李導(dǎo)數(shù)的定義，由各階李導(dǎo)數(shù)梯度構(gòu)成的行向量觀測(cè)矩陣定義為(8)式:

式中，表示梯度操作，·表示向量?jī)?nèi)積，i，k = 1，…，n，j = 2，…，n + 1; p∈N。

引理1對(duì)于非線性系統(tǒng)Sn，若由行向量構(gòu)成的可觀測(cè)矩陣M滿秩(leader-followers系統(tǒng)，rank(M) = 3n，n是followers機(jī)器人數(shù)量)，則非線性系統(tǒng)是局部弱可觀測(cè)的。

由(2)式，計(jì)算各階李導(dǎo)數(shù)和觀測(cè)矩陣M。

零階李導(dǎo)數(shù):

零階李導(dǎo)數(shù)梯度:

一階李導(dǎo)數(shù):

一階李導(dǎo)數(shù)梯度:

由零階李導(dǎo)數(shù)梯度和一階李導(dǎo)數(shù)梯度構(gòu)成的行向量矩陣M。

定理1當(dāng)leader和follower 2個(gè)機(jī)器人滿足:

1)ν1＞0，νj＞0，j = 2，…，n + 1。

2)φj≠0，j = 1，…，n，即測(cè)量方位的follower機(jī)器人不沿著follower和leader 2個(gè)機(jī)器人連線做直線運(yùn)動(dòng)。

3) leader-follower機(jī)器人不能做平行直線運(yùn)動(dòng)。

(23)式中矩陣M的秩是3。

證明:在滿足3個(gè)前提條件的情況下，對(duì)(23)式中M經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換，

由變換后的結(jié)果可以看出，變換后的矩陣有3個(gè)線性獨(dú)立行，因此rank(M) = 3。

由文獻(xiàn)［12］命題3知，各階李導(dǎo)數(shù)梯度等于相同階數(shù)h(s)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的梯度。

定理2當(dāng)leader和follower 2個(gè)機(jī)器人滿足:

1)ν1＞0，νj＞0，j = 2，…，n + 1。

2)φj= k1，αj= k2，j = 1，…，n，k1，k2是常數(shù)，即leader-follower機(jī)器人同時(shí)做平行直線運(yùn)動(dòng)。

(23)式中矩陣M的秩是2。

證明當(dāng)φj= k1，αj= k2，k1，k2是常數(shù)，φj和αj對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，上標(biāo)(0，…，n)是函數(shù)h1(s)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)階數(shù)。

(23)式中的M由零階李導(dǎo)數(shù)梯度至一階李導(dǎo)數(shù)梯度構(gòu)成，當(dāng)然M也可以由更高階李導(dǎo)數(shù)的梯度構(gòu)成，但是推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，二階李導(dǎo)數(shù)梯度及更高階李導(dǎo)數(shù)梯度跟零階李導(dǎo)數(shù)梯度及一階李導(dǎo)數(shù)梯度成線性比例關(guān)系，所以，由零階李導(dǎo)數(shù)梯度至更高階李導(dǎo)數(shù)梯度構(gòu)成M的秩不會(huì)改變，即定理1中rank(M)仍是3，定理2中rank(M)還是2。

當(dāng)follower和leader機(jī)器人沿著曲線軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)定理1，rank(M) = 3，即M滿秩，由引理1知，系統(tǒng)Sn是局部弱可觀測(cè)的。當(dāng)follower和leader機(jī)器人沿著直線軌跡運(yùn)動(dòng)，根據(jù)定理2，rank(M) = 2，即M不滿秩，由引理1知，系統(tǒng)Sn不具有局部弱可觀測(cè)性。

系統(tǒng)是局部弱可觀測(cè)的，系統(tǒng)輸出能夠傳遞足夠豐富的信息，觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生比較準(zhǔn)確的估計(jì)，改善編隊(duì)控制;系統(tǒng)不具有局部弱可觀測(cè)性，系統(tǒng)輸出不能夠傳遞足夠豐富的信息，觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生不準(zhǔn)確估計(jì)，影響編隊(duì)控制。

2　UKF濾波算法和輸入-輸出反饋控制規(guī)律

為了實(shí)現(xiàn)反饋運(yùn)動(dòng)控制，狀態(tài)估計(jì)是必要的，本文選擇UKF濾波算法。通過(guò)UKF濾波算法和輸入-輸出狀態(tài)反饋控制規(guī)律的有機(jī)結(jié)合，獲取多機(jī)器人方位信息進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制，以達(dá)到理想的編隊(duì)效果。

2. 1UKF濾波算法

系統(tǒng)輸入向量為U，輸出向量為y，UKF濾波算法用來(lái)估計(jì)狀態(tài)S的角度信息，即y = h(s) =[φjαj]T，j = 1，…，n，通過(guò)UKF濾波算法，獲得了比較準(zhǔn)確的角度值。(27)式和(28)式分別是帶有噪聲的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程。

D是輸出轉(zhuǎn)換矩陣，O和N是零均值、協(xié)方差分別是PL和PN白高斯噪聲，且s(0)、O和N假定為不相關(guān)。對(duì)(27)式采用前向歐拉方法進(jìn)行離散化處理，采樣時(shí)間為Tc，得到式(29)。

式中Γ(s(k)，u(k) ) = TcF(s) U + s(k)，k∈N。

UKF基于UT變換過(guò)程，該算法包括初始化、時(shí)間更新和測(cè)量更新幾個(gè)階段，詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)［14］。

2. 2輸入-輸出狀態(tài)反饋控制

以R1和R2機(jī)器人為對(duì)象設(shè)計(jì)控制規(guī)律，設(shè)計(jì)的控制規(guī)律同樣適用于其他跟隨機(jī)器人。

對(duì)(1)式的狀態(tài)方程進(jìn)行變形，得到與其等價(jià)的(30)式，并對(duì)α1=θ1－θ2兩邊求導(dǎo)，得到(31)式。

式中: sr［ρ1φ1］T，M2×2和N2×2分別是F的右上角和左上角的子矩陣。

借鑒文獻(xiàn)［15］I/O標(biāo)準(zhǔn)線性化技術(shù)和文獻(xiàn)［16］的方法，提出了應(yīng)用于機(jī)器人編隊(duì)控制的輸入-輸出狀態(tài)反饋控制規(guī)律。

C是輔助控制變量，控制增益k1，k2＞0。上標(biāo)“ide”指理想值。(32)式代入(30)式并結(jié)合(31)式，得到簡(jiǎn)化的閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(34)式。

該輸入-輸出反饋控制規(guī)律可以穩(wěn)定編隊(duì)。

3　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文通過(guò)3個(gè)pioneer-3at機(jī)器人(1個(gè)leader、2 個(gè)followers)組成leader-followers編隊(duì)來(lái)驗(yàn)證上述控制方法的有效性。pioneer-3at機(jī)器人具有激光雷達(dá)、全景相機(jī)、聲吶、紅外等傳感器，很容易獲取角度信息。為了使仿真更為真實(shí)，利用功能強(qiáng)大的Webots 7搭建3D仿真平臺(tái)，能夠精確模擬真實(shí)環(huán)境，也可以將仿真數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中進(jìn)行研究分析。實(shí)驗(yàn)仿真場(chǎng)景如圖2所示，follower機(jī)器人是R2、R3，leader機(jī)器人是R1。

leader-followers機(jī)器人編隊(duì)經(jīng)過(guò)分段直線-曲線組合軌跡1、正弦形軌跡2及螺旋形軌跡3。仿真實(shí)驗(yàn)效果見(jiàn)圖3～圖5。

仿真中，采用基于純角度信息的編隊(duì)控制方法，followers根據(jù)leader的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行實(shí)時(shí)自我調(diào)整;采用UKF濾波算法對(duì)leader-followers機(jī)器人系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì);采用輸入-輸出狀態(tài)反饋閉環(huán)控制規(guī)律來(lái)穩(wěn)定編隊(duì)。

圖2　移動(dòng)機(jī)器人仿真場(chǎng)景

3. 1初始條件

機(jī)器人編隊(duì)采用直線-曲線組合軌跡1時(shí)，leader線速度和角速度:

機(jī)器人編隊(duì)采用正弦軌跡2時(shí)，leader線速度和角速度:

機(jī)器人編隊(duì)采用螺旋軌跡3時(shí)，leader線速度和角速度: ω1(t)是時(shí)間的復(fù)雜函數(shù)。

leader和follower初始位置及方向角:

UKF和反饋控制相關(guān)參數(shù):

s(0) =

3. 2仿真分析

對(duì)于軌跡1:

從圖3a)可見(jiàn)，R1、R2、R3機(jī)器人沿直線-曲線組合軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)保持了比較理想的編隊(duì)。

從圖3b)可見(jiàn)，機(jī)器人編隊(duì)沿曲線軌跡1運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)角估計(jì)誤差幾乎是零，即使在運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生變化時(shí)，最大誤差是0. 000 518 6。

從圖3c)可見(jiàn)，機(jī)器人編隊(duì)在曲線軌跡1運(yùn)動(dòng)時(shí)，方向角估計(jì)誤差也很小，即使在運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生變化時(shí)，最大誤差是－0. 003 94。

從圖3d)可見(jiàn)，機(jī)器人沿軌跡1運(yùn)動(dòng)時(shí)，一直沿著直線或曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度變化不大，但當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生變化時(shí)，速度的方向和大小變化比較明顯;沿著直線軌跡運(yùn)行時(shí)，跟隨機(jī)器人的速度接近領(lǐng)航機(jī)器人的初始速度。

圖3　仿真結(jié)果

對(duì)于軌跡2:

從圖4a)可見(jiàn)，R1、R2、R3機(jī)器人沿軌跡2運(yùn)動(dòng)時(shí)保持了比較理想的編隊(duì)。

從圖4b)可見(jiàn)，機(jī)器人編隊(duì)沿曲線軌跡2運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)角估計(jì)誤差幾乎是零，即使在運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生變化時(shí)，最大誤差是－0. 000 6。

從圖4c)可見(jiàn)，機(jī)器人編隊(duì)沿曲線軌跡2運(yùn)動(dòng)時(shí)，方向角估計(jì)誤差最大是－0. 002 862。

從圖4d)可見(jiàn)，機(jī)器人沿軌跡2運(yùn)動(dòng)時(shí)，R2的速度變化范圍是0. 904 6～1. 402; R3的速度變化范圍是0. 848 2～1. 392。

對(duì)于軌跡3:

從圖5a)可見(jiàn)，R1、R2、R3機(jī)器人在軌跡3運(yùn)動(dòng)時(shí)保持了比較理想的編隊(duì)。

從圖5b)可見(jiàn)，機(jī)器人編隊(duì)沿軌跡3運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)角估計(jì)誤差幾乎是零。

從圖5c)可見(jiàn)，機(jī)器人編隊(duì)沿軌跡3運(yùn)動(dòng)時(shí)，方向角估計(jì)誤差收斂速度比較快，在t= 1 s時(shí)刻幾乎收斂到零。

從圖5d)可見(jiàn)，機(jī)器人沿軌跡3運(yùn)動(dòng)時(shí)，跟隨機(jī)器人速度呈現(xiàn)增大趨勢(shì)。

圖4　仿真結(jié)果

圖5　仿真結(jié)果

4　結(jié)論

本文提出了一種跟隨機(jī)器人(followers)觀測(cè)領(lǐng)航機(jī)器人(leader)純角度信息的leader-followers編隊(duì)控制方法?；诜蔷€性系統(tǒng)的可觀測(cè)性理論，分析了機(jī)器人編隊(duì)的可觀測(cè)性;應(yīng)用UKF算法對(duì)leader-followers系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì);設(shè)計(jì)了輸入-輸出狀態(tài)反饋控制規(guī)律穩(wěn)定編隊(duì)。仿真結(jié)果表明，多個(gè)機(jī)器人能快速形成編隊(duì)，并以較小的誤差做復(fù)雜軌跡運(yùn)動(dòng)，保持了比較理想的隊(duì)形。后續(xù)研究將包括實(shí)現(xiàn)多機(jī)器人隊(duì)形變換及避障方法。

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Bearing-only Leader-Followers Multi-Robot Formation Control

Han Qing，Sun Shudong，Zhi Ruirui

(Contemporary Design and Integrated Manufacturing Technology Key Laboratory of Ministry of Education， School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China)

Abstract:A bearing-only formation control method for leader-followers multi-robots is proposed．In the study，follower-robots can only observe the bearing information of the leader-robot．Based on the observability of nonlinear system，studies show that the bearing-only observation meets the leader-followers observability condition for general nonlinear system．The unscented Kalman filter(UKF) is employed to estimate the state of leader-followers’robots．The results are used for followers’movement control via the input-output feedback control law，so that the desired formation of the robots are maintained．Simulation results are presented to demonstrate the feasibility of the approach．

Key words:algorithms，angular velocity，control，experiments，feedback control，Kalman filters，mathematical models，MATLAB，matrix algebra，nonlinear systems，robots，trajectories，velocity; formation control，leader-followers formation control and observability，mobile robot，UKF(Unscented Kalman filter)，UKF filter algorithm and input-output feedback control law

作者簡(jiǎn)介:韓青(1973—)，西北工業(yè)大學(xué)講師、博士研究生，主要從事智能機(jī)器人、多機(jī)器人協(xié)調(diào)控制與機(jī)電一體化與機(jī)電控制技術(shù)的研究。

收稿日期:2014-10-08基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金(51475383、51075337)資助

文章編號(hào):1000-2758(2015) 02-0244-07

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

中圖分類號(hào):TP24