劉瑋

發(fā)明國際象棋的達(dá)依爾被砍頭了，可以說他死在了指數(shù)的威力之下。他所要的棋盤上每格麥粒數(shù)為一個(gè)數(shù)列之和：

20 + 21 + 22 + 23 + … + 263

如果2的指數(shù)是個(gè)變量x，則函數(shù)y = 2x就是一個(gè)指數(shù)函數(shù)。底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)是一個(gè)加速增長的函數(shù)，達(dá)依爾就是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的瘋狂增長而丟了性命。

自然界事物的增長或變化，一般都基于其原有數(shù)量，就好比存在銀行的錢，其利息增長的多少，在利率一定條件下取決于存入本金的多少……

皓天：“一個(gè)體重100千克的大胖子，一周減肥1千克是很容易的，但一個(gè)體重50千克的人一周減1千克就不容易了。”

鵬飛：“可是一個(gè)考90分的學(xué)生要想考100分是很難的，但一個(gè)考50分的人想考到60分還是很容易的。為什么？”

“哈哈！想考我？考90分的學(xué)生可提升到滿分的分?jǐn)?shù)只有10分，而考50分的學(xué)生卻有50分的提升空間?！?/p>

“思想挺深刻??！我們先來做個(gè)試驗(yàn)?！?/p>

鵬飛取來3杯清水，分別標(biāo)上1、2、3，其中1、2兩杯都加1匙鹽，3這杯加4匙鹽。

“你分別嘗一下這3杯水的咸度?！?/p>

“不用嘗就知道這1、2兩杯一樣咸，3更咸?！?/p>

“現(xiàn)在我在第2杯里再加鹽，看看加多少時(shí)會(huì)感覺它的咸度介于1和3之間。”

皓天思考了一下：“按理應(yīng)該是加2匙半?！?/p>

鵬飛又取來第4杯清水，加了2匙半鹽，而在第2杯中加了1匙鹽。

“你再嘗嘗，這兩杯哪個(gè)咸度介于1和3之間。”

為公平起見，皓天每次嘗后都要用清水漱口再嘗。

“是第2杯的咸度恰好介于1和3之間！”

鵬飛：“有何感想？”

“看來人的味覺不是按照物質(zhì)濃度成正比來的，倒像是按照等比規(guī)律來的。要想咸度是第3杯的2倍的話，是不是就得加8匙鹽？”

不等鵬飛回答，皓天立即動(dòng)手，在加了2匙半的杯中再加了5匙半鹽，一嘗，果然感覺像是加入4匙鹽后咸度的2倍。

“明明是等比例增長的，可人感覺卻是等差增加的。”

“也就是說，人感覺的是指數(shù)！”

“是的，2的幾次方，人的感覺就是幾倍！”

鵬飛打開電腦：“走，我們?nèi)タ匆粓?chǎng)感覺測(cè)量?！?/p>

皓天也立刻戴上電極頭盔。電腦把他們帶到1825年，德國生理學(xué)家恩斯特·海因里希·韋伯主持的一個(gè)測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)。

只見參與測(cè)試的5個(gè)人都被蒙上了雙眼，同時(shí)手提不同的重物。

“現(xiàn)在，我們要給你們手提的重物加重。”韋伯提醒著被試者，“請(qǐng)?jiān)谀銈兏杏X到重量增加的時(shí)候告訴我們?！?/p>

于是，助手們開始向重物上一點(diǎn)一點(diǎn)小心地添加沙子，當(dāng)被試者感覺質(zhì)量增加時(shí)即刻停止。

“現(xiàn)在我們來測(cè)量各自增加的沙子質(zhì)量?！表f伯親自一一測(cè)量。

不一會(huì)，結(jié)果出來了，分別大約是1磅、2磅、3磅、4磅和5磅，對(duì)應(yīng)被試者原來所提的質(zhì)量分別是10磅、20磅、30磅、40磅和50磅。

韋伯臉上露出不易察覺的興奮，測(cè)試再次驗(yàn)證了他的猜測(cè)。

韋伯宣布了他的發(fā)現(xiàn)：“人對(duì)力的反應(yīng)s遵循對(duì)數(shù)定律ds=k 。在這次關(guān)于力的測(cè)試中，k = 10?！?/p>

鵬飛和皓天退出電腦的虛擬幻境。鵬飛：“后來，韋伯的發(fā)現(xiàn)被物理學(xué)家古斯塔夫·西奧多·費(fèi)希納所推廣，形成著名的韋伯—費(fèi)希納定律：人類的反應(yīng)s 遵循對(duì)數(shù)定律s = kln ?！?/p>

皓天：“如果改變一下公式的形式，可寫成w = w0e ，k是個(gè)常數(shù)，或?qū)懗蓋 = w0eks。也就是說，要使人作出的反應(yīng)等階遞增，相應(yīng)的物理刺激必須以一個(gè)常數(shù)比率遞增，或者說以幾何級(jí)數(shù)遞增。可是，從韋伯的ds=k 怎么得到 s = kln 呢？”

鵬飛：“韋伯公式中的ds是人感覺的下限閾值，是個(gè)小量，dw是增加的物理刺激量，也是個(gè)小量，w0是原刺激量，ds=k 就是個(gè)微分方程啦。對(duì)這個(gè)方程積分就得到了韋伯—費(fèi)希納定律?！?/p>

皓天，“這個(gè)定律是說人的任何感覺都是按照對(duì)數(shù)規(guī)律進(jìn)行的嗎？”

鵬飛：“對(duì)各種感官的研究表明，它們都是遵循這一規(guī)律的?！?/p>

“我懂了，人類的感覺既可讓人精確地感受到細(xì)微的變化，又可在刺激太強(qiáng)烈時(shí)變得遲鈍些，以保護(hù)感覺器官不至受損?？梢杂谩砀窆硇稳萑祟惛杏X器官的這種微妙?！别┨煺f這番話時(shí)，禁不住眨眨眼做了個(gè)鬼臉。