尚德生, 周運明， 周愛華

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東淄博255049)

一類三次系統(tǒng)的大同宿分支

尚德生, 周運明， 周愛華

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東淄博255049)

摘要：利用多參數(shù)攝動理論和微分方程定性理論，通過對一類三次系統(tǒng)擾動形成的大同宿軌研究，得到該系統(tǒng)至少有5個極限環(huán)，并給出極限環(huán)的分布為3+(1,1)分布.

關(guān)鍵詞：攝動； 分支； 三次系統(tǒng)； 極限環(huán)； 大同宿軌

1引言與主要結(jié)論

文獻(xiàn)[1]研究了下面的 Liénard系統(tǒng)

(1)

證明了對ε的解析函數(shù)a1,a2,a3，且|ε|充分小時系統(tǒng)至多存在三個極限環(huán)。文獻(xiàn)[2]又研究了系統(tǒng)

(2)

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可以有四個極限環(huán)。文獻(xiàn)[3]又進(jìn)一步討論下面的三次系統(tǒng)

(3)

其中f2(x,y)=a1+a2x+a3x2+a4y2.單純地通過對同宿軌和雙同宿軌的擾動進(jìn)行研究得到系統(tǒng)(3)可以有五個極限環(huán)，其分布為 1+(2, 2)的結(jié)構(gòu).

首先利用對雙同宿軌擾動得到一個大的同宿軌，然后再研究大同宿軌的穩(wěn)定性，并利用改變大同宿軌的穩(wěn)定性的方法進(jìn)行研究，得到系統(tǒng)(3)仍然可以有5個極限環(huán)，但是得到一種新的分布3+(1,1)(即在三個大極限環(huán)里面包含兩個分離的小極限環(huán))，這種分布是文獻(xiàn)[3]中沒有的. 以定理形式給出.

定理 1 系統(tǒng) (3)至少可以有5個極限環(huán)，其分布是 3+(1，1).

注：利用擾動大同宿軌研究極限環(huán)的方法已經(jīng)在文獻(xiàn)[4]中運用，在這里利用這一方法來討論另外一個不同的多項式系統(tǒng).

2擾動大同宿軌及引理

由于未擾動系統(tǒng)是Hamilton的，其Hamilton函數(shù)為

而H(x,y)=0對應(yīng)未擾動系統(tǒng)的雙同宿軌，記為

x1≤x≤0,或0≤x≤x2,其中

其中

Mi(a)=-∮Li(a1+a2x+a3x2+a4y2)ydx=

2[Ai1a1+Ai2a2+Ai3a3+Ai4a4],i=1,2

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的計算得

顯然，有下述引理成立

引理 1如果b>0，則存在函數(shù)

(5)

附近有一個大同宿軌Γ*存在的充分必要條件是

a2=K2(ε,a1,a3,a4),即d1+d2=0

且d1≠0.對于d1>0及d1<0的情況分別見圖1(a)、(b).

圖1　當(dāng)d1+d2=0而d1=0時形成的大同宿軌

由于系統(tǒng)(3)在原點擾動下的散度為

div(3)|Oε(0,0)=-εa1+O(ε2),

可得下面的引理成立

引理 2存在函數(shù)

K1(ε,a3,a4)=O(ε)

(6)

使得div(3)|Oε(0,0)≥0(<0)當(dāng)且僅當(dāng)

a1≤(>)K1(ε,a3,a4).

引理 3 (Ⅰ)如果ai=Ki,i=1,2成立，則當(dāng)t→±∞時，積分

δ=-∮L1+L2(a1+a2x+a3x2+3a4y2)dt+O(ε).

(Ⅱ)當(dāng)δ>0(<0)時，大同宿軌Γ*是不穩(wěn)定(穩(wěn)定)的.

證明 (Ⅰ) (Ⅱ)的證明見文獻(xiàn)[5-6]. 對于(Ⅲ)的證明，結(jié)合文獻(xiàn)[2-3]中的計算，得到

從而在 ai=Ki,i=1,2的條件下有

δ=δ10(b)+δ20(b)=

a3f1(b)+a4f2(b)+O(ε),

其中

a4≥(<)K4(ε,a3)

(7)

這可以通過化簡并利用Mathematica7.0得到結(jié)論(注意：當(dāng) b>0時，有f2(b)>0).

根據(jù)文獻(xiàn)[6-7]的方法和公式計算在條件 ai=Ki,i=1,2,4下系統(tǒng)關(guān)于大同宿軌Γ*的一階鞍點量. 為了便于理解，重述主要結(jié)果如下：

對于形如

的系統(tǒng)，在原點處的一階鞍點量 R11有下面的計算公式

[fxy(fyy-fxx)+gxy(gyy-gxx)-

fxxgxx+fyygyy]/λ}

這里各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是計算其在原點處的值(詳見文獻(xiàn)[7]).

根據(jù)該公式易求得系統(tǒng)對應(yīng)大同宿軌Γ*處的一階鞍點量為

R11=(3a4-ba2-a3)ε.

引理 4在條件ai=Ki,i=1,2,4下，當(dāng)a3ε>0時，大同宿軌Γ*處的一階鞍點量

R11=-4Ma3ε+O(ε2)<0，

且

s1=529659+379053b2+111510b4+

18060b6+1400b8,

s2=395118+1125819b2+768744b4+

244440b6+40320b8+2800b10,

s3=59049+41553b2+1662606b4+

1524744b6+544320b8+89040b10+5600b12,

17199b2+7980b4+980b6)θ+140b3(9+2b2)θ2

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可以得到下面的結(jié)果

引理 5 如果大同宿軌Γ*為順時針定向的，且一階鞍點量R11>0(<0)，則大同宿軌Γ*為外不穩(wěn)定 (穩(wěn)定)的.

3焦點的穩(wěn)定性

下面討論在條件(5)-(7)下，焦點Piε(xi0+O(ε),O(ε)),i=1,2的穩(wěn)定性問題，其中

這樣對于奇點Piε,i=1,2處，可以先不考慮前面的-a3ε，利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica7.0分別畫出其在b>0部分的圖像，如圖2所示.

圖2　擾動后焦點Piε的圖像(其中-εa3<0固定)

且可得圖像的兩個零點b1≈0.379626，b2≈5.03778. 這樣根據(jù)圖像和-a3ε的符號可得到表1.

表1　系統(tǒng)(3)在兩焦點Piε,i=1,2處對于

根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]得到引理6:

引理6當(dāng)div(Piε)<0(相應(yīng)地>0)時，焦點div(Piε)是穩(wěn)定(相應(yīng)地不穩(wěn)定的).

4系統(tǒng)的環(huán)性分析及定理證明

下面在ε>0充分小且a3>0固定的條件下完成定理1的證明和系統(tǒng)分析.

對于d1+d2=0，且d1>0的情形，根據(jù)上述表1及引理6，得到對于b∈(0,b1)的情形，焦點P1ε是不穩(wěn)定的，而P2ε是穩(wěn)定的. 這樣根據(jù)圖1(b)的大同宿軌內(nèi)剩余的兩條穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形走向，可知在大同宿環(huán)內(nèi)各有一個小的極限環(huán)出現(xiàn)，它們分別圍繞P1ε和P2ε；對于b∈(b1,b2)，由于焦點Piε,i=1,2都是穩(wěn)定的，故而在大同宿軌內(nèi)僅有一個小的不穩(wěn)定極限環(huán)出現(xiàn)，它圍繞P2ε；而對于b∈(b2,+∞)，情形與 b∈(0,b1)時完全相同，在大同宿軌內(nèi)也各有一個小環(huán)分別圍繞P1ε和 P2ε.

由于R11<0，根據(jù)引理5得到大同宿軌是穩(wěn)定的，這樣對于固定的a3>0，如果|a4-K4| ?a3，且a4>K4，則有δ>0，根據(jù)引理4知道大同宿軌這時改變穩(wěn)定性，即由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定，可以根據(jù)環(huán)域定理得到在大同宿軌外有一個穩(wěn)定的大極限環(huán)Γ1,s出現(xiàn)；然后對固定的a3,a4，讓|a1-K1|?|a4-K4|?a3，且a1>K1，這時大同宿軌再次改變穩(wěn)定性，即由不穩(wěn)定變成穩(wěn)定，又可以在大同宿軌外，在Γ1,s內(nèi)出現(xiàn)一個不穩(wěn)定的大極限環(huán)Γ2,u；最后，對于固定的a1,a3,a4，如果|a2-K2|?|a1-K1|?|a4-K4|?a3，且a2>K2，則大同宿軌破裂，同時原大同宿軌的不穩(wěn)定流形在穩(wěn)定流形的外面，從而又有一個穩(wěn)定的大極限環(huán) Γ3,s出現(xiàn)在Γ2,u內(nèi)部. 這樣系統(tǒng)(3)在這種情況下會出現(xiàn)3個大極限環(huán)套著左右各一個小極限環(huán)的現(xiàn)象，記為3+(1,1)(如圖3所示).

圖3　五個極限環(huán)的3+(1,1)分布

其它情形可以類似討論，而出現(xiàn)極限環(huán)的個數(shù)及分布分別如下：

當(dāng)d1>0時,若b∈(b1,b2),則為3+(0,1)分布；若b∈(b2,+∞),則為3+(1,1)分布.當(dāng)d1<0時，若b∈(0,b1),則為3+(0，0)分布;若b∈(b1,b2),則為3+(1,0)分布；若b∈(b2,+∞),則為3+(0,0)分布.

這樣，通過先設(shè)定參數(shù)使得未擾動系統(tǒng)原先的兩個同宿軌同時破裂并產(chǎn)生一個大同宿軌，然后來研究大同宿軌的穩(wěn)定性，并通過適當(dāng)擾動來改變大同宿軌的穩(wěn)定性，在最后改變參數(shù)值讓大同宿軌按照預(yù)定的要求破裂的方法，得到系統(tǒng)(3)可以出現(xiàn)5個極限環(huán)，其分布為3+(1,1)，定理1得證.

注：在該類擾動下系統(tǒng)解的有界性判斷比較困難，所以不能判斷在Γ1,s的外圍是否還有大極限環(huán)存在，所以根據(jù)我們的方法得到系統(tǒng)(3)可以存在 3+(1,1)分布的至少5個極限環(huán)的結(jié)論.

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[7]HanMA,ZhangTH.Somebifurcationmethodsoffindinglimitcycles[J].MathematicalBiosciencesandEngineering(英文版),2006,3(1):67-77.

(編輯：劉寶江)

收稿日期：2014-09-09

作者簡介：尚德生，男，sdsshang@163.com

文章編號：1672-6197(2015)02-0027-05

中圖分類號：O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

The large Homoclinic loop bifurcation of a kind of cubic system

SHANG De-sheng, ZHOU Yun-ming， ZHOU Ai-hua

(School of Science, Shandong University of Technology， Zibo 255049, China)

Abstract:In this paper, the bifurcations of a large homoclinic loop, which obtained by perturbing a kind of cubic system, are considered. Through applying the bifurcation theory of planar dynamical systems, we obtain that the given system can have at least five limit cycles, and the distributions of the limit cycles are 3+(1, 1).

Key words:perturbation; bifurcation; cubic system; limit cycle; large Homoclinic loop