有限長軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)分析

黑棣1,2呂延軍2張永芳2

1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，渭南，7140002.西安理工大學(xué)，西安，710048

摘要：基于π油膜假設(shè)，運(yùn)用變分約束原理和分離變量法求得了有限長動(dòng)壓軸承非線性油膜力的近似解析表達(dá)式。通過計(jì)算比較可知，該方法和有限元法的計(jì)算結(jié)果非常接近，而且可以節(jié)約大量計(jì)算時(shí)間。在此基礎(chǔ)上，以轉(zhuǎn)子的角速度、圓盤處的偏心量及轉(zhuǎn)軸的剛度為控制參數(shù)，運(yùn)用Newmark法分析了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。數(shù)值結(jié)果揭示系統(tǒng)具有周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)、六周期運(yùn)動(dòng)、十周期運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特征。

關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力學(xué)；軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；有限長軸承；穩(wěn)定性；分岔

中圖分類號(hào)：TH133

收稿日期：2015-01-04

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375380)；陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院常規(guī)項(xiàng)目(2013-19)

作者簡介：黑棣，男，1983年生。陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電系講師，西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)及控制、潤滑理論及新型軸承技術(shù)。發(fā)表論文10余篇。呂延軍，男，1972年生。西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。張永芳，女，1975年生。西安理工大學(xué)印刷與包裝工程學(xué)院副教授。

Analysis of Nonlinear Dynamics of Rotor System Supported by Finite Long Bearing

Hei Di1,2Lü Yanjun2Zhang Yongfang2

1.Shaanxi Railway Institute, Weinan，Shaanxi，714000

2.Xi’an University of Technology，Xi’an，710048

Abstract:Based on the assumption of π oil film, an approximation expression of nonlinear oil film force of finite hydrodynamic bearing was obtained by variational constraint principal and the separation of variables. The results calculated by the proposed method are in good agreement with the oil film forces by the finite element method, and the computing cost is reduced greatly. Based on the nonlinear oil film force, the speed of rotor, eccentricity of disk and stiffness of shaft were taken as control parameters, nonlinear dynamic behaviors of bearing-rotor system were analyzed by Newmark method. Numerical results reveal periodic, double-periodic, quasi-periodic, 6-periodic, 10-periodic of rich and complex nonlinear behaviors of the system.

Key words: nonlinear dynamics；bearing-rotor system；finite long bearing；stability；bifurcation

0引言

大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械廣泛用于燃?xì)廨啓C(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、工業(yè)壓縮機(jī)及各種電動(dòng)機(jī)等機(jī)械裝置中，是國家基礎(chǔ)設(shè)施和基礎(chǔ)工業(yè)中最關(guān)鍵、最核心的設(shè)備之一，在電力、航空、冶金、石化、紡織、機(jī)械、動(dòng)力、運(yùn)輸?shù)刃袠I(yè)中有著舉足輕重的地位。軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部件，且在高速、精密旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的應(yīng)用日益廣泛，所以對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的研究十分重要。

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為和穩(wěn)定性的研究主要是基于無限短軸承模型[1-6]和無限長軸承模型[7-10]。當(dāng)軸承的長徑比非常小的時(shí)候(無限短軸承假設(shè))，油膜力沿軸承周向的分布就可以忽略。相反，當(dāng)軸承的長徑比非常大的時(shí)候(無限長軸承假設(shè))，油膜力沿軸承軸向的分布也可以忽略。

無限短和無限長軸承模型是非常簡單的模型，并不能反映實(shí)際的情況。為了更準(zhǔn)確地計(jì)算油膜力，學(xué)者們提出了許多計(jì)算油膜力的方法。Zheng等[11]提出了一個(gè)里茲模型來計(jì)算油膜力，這種方法可以節(jié)約大量的計(jì)算時(shí)間。Xiao等[12]基于變分不等式理論提出了一個(gè)快速有效的計(jì)算油膜力的算法，此算法將油膜力及其Jacobis的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求解一組線性代數(shù)方程。基于多參數(shù)法，Vignolo等[13]給出了無限長軸承假設(shè)下油膜力的近似解析解，并運(yùn)用此方法求得了靜態(tài)油膜力。Hirani等[14]、Bastani等[15]運(yùn)用不同的無限短和無限長軸承模型的組合來近似求解有限長軸承油膜力。Wang等[16]基于動(dòng)態(tài)π油膜假設(shè)得到了有限長軸承油膜力的解析解。

本文運(yùn)用變分原理和分離變量法求得了有限長軸承油膜力的近似解析解，即在求解雷諾方程的時(shí)候，將雷諾方程中的壓力分布函數(shù)看作是2個(gè)獨(dú)立函數(shù)的乘積(一個(gè)函數(shù)僅僅是軸承周向坐標(biāo)的函數(shù)，另一個(gè)函數(shù)僅僅是軸承軸向坐標(biāo)的函數(shù))。在求得有限長軸承油膜力的近似解析解之后，針對柔性對稱轉(zhuǎn)子，分析了此軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。

1轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

有限長滑動(dòng)軸承支撐的對稱柔性轉(zhuǎn)子模型如圖1所示。

圖1　有限長滑動(dòng)軸承—柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

有限長滑動(dòng)軸承支承的對稱柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可寫為

(1)

2ma+mb=m

式中，M、K分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；f為軸承的非線性油膜力；Q為施加在轉(zhuǎn)子上的周期激勵(lì)力(與角速度同步的不平衡激勵(lì)或氣動(dòng)力激勵(lì))；x為轉(zhuǎn)子的位移；m為轉(zhuǎn)子總質(zhì)量；ma、mb分別為集中到2個(gè)軸頸及圓盤處的質(zhì)量；E、I分別為轉(zhuǎn)子的彈性模量及轉(zhuǎn)子截面的赤道慣性矩；l為兩個(gè)軸承的中心距；ω為轉(zhuǎn)子角速度；g為重力加速度；eji(i=x，y；j=a，b)為軸承及圓盤處不平衡質(zhì)量偏心距在x、y方向的分量；fxa、fya分別為2個(gè)軸承在x軸和y軸負(fù)方向的非線性油膜力分量。

對于軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，為了理論推導(dǎo)和計(jì)算方便，引入如下量綱一變量：

式中，X、Y分別為軸頸中心x、y方向的位移分量；e為偏心量；c為軸承半徑間隙；m′為轉(zhuǎn)子質(zhì)量的一半；σ為Sommerfeld數(shù)(Sommerfeld數(shù)是表征系統(tǒng)載荷的參數(shù))；B為軸承寬度；η為潤滑油動(dòng)力黏度；R為軸承半徑。

為了研究方便，引入系統(tǒng)參數(shù)：

該參數(shù)對于具體的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，是一個(gè)常量。

2有限長軸承的油膜力計(jì)算

2.1油膜力的計(jì)算方法

圖2給出了有限長動(dòng)壓軸承示意圖及其計(jì)算坐標(biāo)。圖2中，Ob為軸承中心，Oj為軸頸中心，Φ為從y軸負(fù)方向順時(shí)針轉(zhuǎn)至油膜位置的角度，θ為偏位角，φ為從OjOb延長線順時(shí)針方向轉(zhuǎn)至油膜位置的角度，fr、ft分別為作用在軸頸上的非線性油膜力徑向和切向分量，fx、fy分別為作用在軸頸上的非線性油膜力在x軸和y軸負(fù)方向的分量，h為油膜厚度，r為軸頸半徑，W為軸承載荷。

圖2　有限長軸承圖

對于徑向滑動(dòng)軸承，將潤滑油膜視為不可壓縮的流體，則其一般的Reynolds方程為

(2)

h=c+αcosφ

式中，Gφ、Gz為紊流因子；p為油膜的壓力；γ為軸承周向坐標(biāo)；z為軸承軸向坐標(biāo)；U為軸頸的周向速度；α為偏心距。

引入以下量綱一變量：

λ=2z/Bε=α/cτ=ωtP=p/p0

p0=2ωη/ψ2H=1+εcosφ

式中，λ為量綱一軸向坐標(biāo)；τ為量綱一時(shí)間；H為量綱一油膜厚度；ε為偏心率；ψ為間隙比；P為量綱一的油膜壓力。

將式(2)代入式(1)可得

(3)

本文基于π油膜假設(shè)，運(yùn)用變分原理和分離變量法對式(3)進(jìn)行求解，求得非線性油膜壓力分布的近似解析解。求解過程中，所用到的邊界條件：油膜起始邊處的油膜壓力為0，即φ=0，P=0；油膜終止邊處的油膜壓力為0，即φ=π，P=0；油膜在終止邊處連續(xù)，即φ=π，?P/?φ=0。

為了表達(dá)方便，將式(3)改寫為

E(P)=f

(4)

式(4)定義在平面(φ，λ)的有界區(qū)域Ω上，邊界為Γ，設(shè)H1(Ω)是Soblev空間，B(u，v)：H1(Ω)×H1(Ω)→R是強(qiáng)制對稱連續(xù)雙線性泛函，其中

(5)

u,v∈H1(Ω)

f(v)是H1(Ω)上的線性連續(xù)泛函：

f(v)=?ΩfvdΩ

(6)

定義二次泛函：

J(v)=B(u，v)/2-f(v)

(7)

根據(jù)潤滑力學(xué)第一變分原理，如果P是式(4)的解，那么P也同時(shí)滿足如下泛函的極值問題：

(8)

其中，檢驗(yàn)函數(shù)集K是H1(Ω)中的非空閉凸集。

油膜壓力只存在于油膜收斂區(qū)，則式(8)只在0≤φ≤π和-1≤λ≤1范圍內(nèi)成立。假設(shè)非線性油膜壓力試驗(yàn)函數(shù)是2個(gè)獨(dú)立函數(shù)的乘積即P(φ，λ)=P*(φ)ζ(λ)，其中，P*(φ)是關(guān)于φ的未知函數(shù)，ζ(λ)是λ的未知函數(shù)。要想求得油膜壓力試驗(yàn)函數(shù)P(φ，λ)，則需分別求解2個(gè)獨(dú)立函數(shù)P*(φ)和ζ(λ)。

將試驗(yàn)函數(shù)P(φ，λ)=P*(φ)ζ(λ)代入式(7)可得

(9)

對式(9)取一階變分，由極值條件得

(10)

由于P*(φ)符合一階變分條件，故有W=-K，則式(10)可寫為

(11)

由式(11)即可求解出

(12)

通過以上方法可以求出獨(dú)立函數(shù)ζ(λ)的表達(dá)式，由于非線性油膜壓力試驗(yàn)函數(shù)P(φ，λ)=P*(φ)ζ(λ)，所以要想得到油膜壓力試驗(yàn)函數(shù)P(φ，λ)的表達(dá)式，則還需求出獨(dú)立函數(shù)P*(φ)的表達(dá)式?；跓o限長軸承假設(shè)，P*(φ)的表達(dá)式可以通過以下的方法求出。

無限長軸承是基于軸承寬度B遠(yuǎn)大于軸承直徑d這個(gè)假設(shè)，即B?d。當(dāng)B?d時(shí)，油膜力沿軸向的變化率較其沿周向的變化率可以忽略不計(jì)(?p/?z??p/?φ)，即λ方向的壓力梯度可忽略，也就是說無限長軸承的油膜壓力函數(shù)僅僅是關(guān)于軸承周向坐標(biāo)φ的函數(shù)。由于P*(φ)也僅僅是關(guān)于軸承周向坐標(biāo)φ的函數(shù)，所以可以將無限長軸承油膜壓力分布函數(shù)作為P*(φ)。

基于無限長軸承假設(shè)，式(3)可以寫為

(13)

對式(13)積分兩次，即可求得

(14)

通過對P(φ，λ)積分，我們可以求出徑向、切向的量綱一油膜力Fr和Ft：

(15)

由Fr、Ft可以求出x、y方向的油膜力分量Fx和Fy：

(16)

2.2油膜力的計(jì)算結(jié)果

2.1節(jié)提出了求解有限長軸承油膜力近似解析解的方法，為了驗(yàn)證此方法的可行性，將本文提出方法的計(jì)算結(jié)果、無限長軸承模型的計(jì)算結(jié)果和FEM計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。對比參數(shù)如下：偏心率ε=0.5，x、y方向速度分別為vx=0.01，vy=0，有限長滑動(dòng)軸承寬徑比B/d=1.0。圖3給出了3種方法的計(jì)算結(jié)果。

(a)三種方法計(jì)算的F x

(b)三種方法計(jì)算的F y 圖3　三種方法計(jì)算的油膜力的比較

從圖3可以看出，本文提出方法的計(jì)算結(jié)果與FEM的計(jì)算結(jié)果吻合得非常好，無限長軸承模型計(jì)算的結(jié)果與FEM的計(jì)算結(jié)果相差較大。

圖4給出了本文提出方法的計(jì)算速度和FEM的計(jì)算速度。從圖4可以看出，本文提出方法的計(jì)算速度遠(yuǎn)高于FEM的計(jì)算速度，即本文提出的方法可以節(jié)約大量的計(jì)算時(shí)間。

圖4　本文方法與FEM方法的計(jì)算速度

3數(shù)值算例

3.1以量綱一角速度為控制參數(shù)

(a)軸承處

(b)圓盤處 圖5　不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子軸承處和圓盤處y方向的分岔圖

(a)周期軌跡(b)Poincaré映射點(diǎn)列 圖6　轉(zhuǎn)子軸承處的周期軌跡和 Poincaré映射點(diǎn)列( =0.95)

(a)準(zhǔn)周期軌跡

(b)Poincaré映射點(diǎn)列 圖7　轉(zhuǎn)子軸承處的準(zhǔn)周期軌跡和 Poincaré映射點(diǎn)列( =1.05)

(a)十周期軌跡

(b)Poincaré映射點(diǎn)列 圖8　轉(zhuǎn)子軸承處的十周期軌跡和 Poincaré映射點(diǎn)列( =1.10)

3.2以轉(zhuǎn)軸量綱一剛度為控制參數(shù)

圖9為軸承處和圓盤處轉(zhuǎn)子中心y方向的位移隨轉(zhuǎn)軸量綱一剛度變化的分岔圖。由圖9可以看出，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，當(dāng)轉(zhuǎn)軸的量綱一剛度從2變化到6時(shí)，轉(zhuǎn)子所經(jīng)歷的運(yùn)動(dòng)分別為周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)、周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)。由此可以看出，剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)影響較大。圖10所示為轉(zhuǎn)軸的量綱一剛度k=2.5時(shí)，轉(zhuǎn)子軸承處轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡和Poincaré映射點(diǎn)列。隨著轉(zhuǎn)軸剛度的增加，系統(tǒng)將發(fā)生擬周期分岔。圖11為k=3.7時(shí)，轉(zhuǎn)子軸承處準(zhǔn)周運(yùn)動(dòng)軌跡、Poincaré映射圖。隨著轉(zhuǎn)軸剛度繼續(xù)增加，系統(tǒng)將發(fā)生倒分岔，即由準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)軸剛度再繼續(xù)增加，系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生倍周期分岔，即由原來的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為倍周期運(yùn)動(dòng)。圖12為k=5.2時(shí)，軸承處轉(zhuǎn)子的倍周期運(yùn)動(dòng)軌跡、Poincaré映射圖。從圖12b可以看出，倍周期軌跡在穿越Pioncaré截面時(shí)為2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。轉(zhuǎn)軸的剛度繼續(xù)增加，系統(tǒng)將再次發(fā)生倒分岔，即由原來的倍周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)。

(a)軸承處

(b)圓盤處 圖9　不同剛度下轉(zhuǎn)子軸承處和圓盤處y方向的分岔圖

(a)周期軌跡(b)Poincaré映射點(diǎn)列 圖10　轉(zhuǎn)子軸承處的周期軌跡和 Poincaré映射點(diǎn)列(k=2.5)

(a)準(zhǔn)周期軌跡

(b)Poincaré映射點(diǎn)列 圖11　轉(zhuǎn)子軸承處的準(zhǔn)周期軌跡和 Poincaré映射點(diǎn)列(k=3.7)

(a)二周期軌跡

(b)Poincaré映射點(diǎn)列 圖12　轉(zhuǎn)子軸承處的二周期軌跡和 Poincaré映射點(diǎn)列(k=5.2)

3.3以圓盤處量綱一偏心量為控制參數(shù)

(a)軸承處

(b)圓盤處 圖13　轉(zhuǎn)子軸承處和圓盤處y方向的分岔圖

(a)準(zhǔn)周期軌跡

(b)Poincaré映射點(diǎn)列 圖14　轉(zhuǎn)子軸承處的準(zhǔn)周期軌跡和 Poincaré映射點(diǎn)列( =0.01)

(a)六周期軌跡

(b)Poincaré映射點(diǎn)列 圖15　轉(zhuǎn)子軸承處的六周期軌跡和 Poincaré映射點(diǎn)列( =0.27)

4結(jié)語

首先，本文基于有限長軸承模型假設(shè)，運(yùn)用變分原理和分離變量法求得了有限長軸承的近似解析解。在求解雷諾方程的時(shí)候，將油膜壓力分布函數(shù)P(φ，λ)看成是兩個(gè)獨(dú)立函數(shù)P*(φ)、ζ(λ)的乘積，其中，P*(φ)是關(guān)于φ的周向函數(shù)，ζ(λ)是關(guān)于λ的軸向函數(shù)。周向函數(shù)P*(φ)用無限長軸承假設(shè)下的油膜壓力分布來代替，軸向函數(shù)ζ(λ)通過變分原理求得。在求得P*(φ)和ζ(λ)之后便可以求出有限長軸承油膜力的近似解。將本文提出方法的計(jì)算結(jié)果與有限元和無限長軸承模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較可知，本文提出的方法與有限元的計(jì)算結(jié)果非常接近，而且計(jì)算速度要比有限元方法的計(jì)算速度快很多，即本文提出的油膜力計(jì)算方法不僅能夠保證計(jì)算的精確度，而且還能夠提高計(jì)算效率，節(jié)約大量計(jì)算時(shí)間。

在求得有限長軸承油膜力近似解的基礎(chǔ)上，分別以轉(zhuǎn)軸的角速度、轉(zhuǎn)軸的剛度和圓盤的偏心量為控制參數(shù)，運(yùn)用軌跡圖、Poincaré映射圖、時(shí)間歷程和分岔圖分析了對稱柔性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。從計(jì)算的結(jié)果可以看出，轉(zhuǎn)子的非線性運(yùn)動(dòng)行為是非常豐富復(fù)雜的，呈現(xiàn)出周期、倍周期、準(zhǔn)周期、六周期、十周期等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

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(編輯張洋)