基于有向圖的刀軸矢量?jī)?yōu)化研究

劉紅軍1曹寧江1趙吉賓2

1.沈陽航空航天大學(xué)，沈陽，1101362.中國(guó)科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所，沈陽，110016

摘要：針對(duì)球頭銑刀的五軸數(shù)控加工，提出了一種基于有向圖的刀軸矢量?jī)?yōu)化方法。根據(jù)刀軸矢量數(shù)據(jù)量大的特點(diǎn)，提出了建立刀軸矢量有向圖的最小優(yōu)化模型和算法。該方法能獲得全局刀軸矢量變化量最小的刀軸矢量序列，將可行域邊界上的刀軸矢量加入到有向圖的計(jì)算中，提高了算法的計(jì)算效率。仿真分析表明，該方法優(yōu)化了刀軸矢量的連續(xù)性和光順性，對(duì)于最佳刀具姿態(tài)在可行域邊界上的加工具有一定的適用性。

關(guān)鍵詞：刀軸矢量；五軸數(shù)控加工；有向圖；可行域邊界；空間構(gòu)造法

中圖分類號(hào)：TP391.7

收稿日期：2014-07-28

基金項(xiàng)目：遼寧省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013024017)

作者簡(jiǎn)介：劉紅軍，男，1971年生。沈陽航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)、數(shù)字化制造。發(fā)表論文25篇。曹寧江，男，1990年生。沈陽航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。趙吉賓，男，1970年生。中國(guó)科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所研究員。

Research on Tool Axis Vector Optimization Based on Graph

Liu Hongjun1Cao Ningjiang1Zhao Jibin2

1.Shenyang Aerospace University，Shenyang，110136

2.Shenyang Institute of Automation Chinese Academy of Sciences，Shenyang，110016

Abstract：According to the five axis NC machining of ball end milling, this paper presented a new method to optimize tool axis vector based on graph. Based on the characteristics of the cutter axis vector data, the minimum optimization model and algorithm of the cutter axis vector directed graph were proposed. This method can get global minimum cutter axis vector variation of cutter axis vector sequence and improve the computational efficiency of the algorithm by using the boundary of the feasible region of cutter axis vector joining in the directed graph calculation. Simulation and data analyses show that the proposed method improves the continuity and smoothness of cutter axis vector in a certain extent, and also has certain applicability in its optimal tool posture along the boundary of the feasible region.

Key words：tool axis vector; five-axis CNC machining; digraph; feasible domain boundary; space construction method

0引言

五軸數(shù)控加工是復(fù)雜零件高效加工的重要手段，使用非球頭刀可以在避免干涉的同時(shí)通過調(diào)整刀具位置和姿態(tài)，使刀具包絡(luò)曲面充分逼近理論設(shè)計(jì)曲面[1]。五軸數(shù)控加工中，刀具自由度的增加可以使刀具在一定范圍內(nèi)任意可控，提高了對(duì)于復(fù)雜曲面類零件加工成形的適應(yīng)性。然而刀軸矢量的任意可控也給刀具軌跡規(guī)劃帶來了新的課題——刀具位姿規(guī)劃。

刀具干涉處理是刀具位姿規(guī)劃中需要首先考慮的問題。Lee等[2]應(yīng)用曲面的凸包性質(zhì)來解決復(fù)雜曲面五軸數(shù)控加工中的全局干涉問題；Lee等[3]基于距離計(jì)算提出了CA算法，用于解決刀軸矢量與被加工曲面和周圍環(huán)境的干涉碰撞問題；Bi等[4]利用圖形顯卡中的遮擋查詢功能快速檢測(cè)干涉并且推廣了可視錐法的應(yīng)用。

刀軸矢量的連續(xù)性、光順性是國(guó)內(nèi)外的一個(gè)研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。Ho等[5]通過降低加工中的非線性誤差來得到較好的表面質(zhì)量；Beudaert等[6]在機(jī)床坐標(biāo)系下，通過光順機(jī)床關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)優(yōu)化刀軸矢量；畢慶貞等[7]提出了一個(gè)類似于彈簧力學(xué)的整體網(wǎng)格優(yōu)化模型，對(duì)相鄰行刀軸矢量變化進(jìn)行光順處理。

構(gòu)造空間法(C-空間法)[8]最初用來表示物體在三維空間中的自由度，就是將三維空間具有確定大小、形狀的活動(dòng)剛體轉(zhuǎn)化為空間內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，就等于將三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)降維到二維空間中的點(diǎn)移動(dòng)，在很大程度上降低了研究剛體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜度。Jun等[9]將構(gòu)造空間法引入到五軸數(shù)控編程的刀軸矢量規(guī)劃中。本文基于構(gòu)造空間法的基本思想，采用建立高斯球面映射的方法，在無干涉空間內(nèi)直接規(guī)劃出滿足相關(guān)要求的刀軸矢量序列。

1點(diǎn)集可行域的建立

三維空間中，每一個(gè)刀觸點(diǎn)處刀具位置的改變都可以看成是刀軸矢量的變化。為了降低優(yōu)化的復(fù)雜度，根據(jù)構(gòu)造空間的基本思想，將三維空間中的刀軸矢量轉(zhuǎn)化成二維空間中的點(diǎn)。刀軸始終垂直于被加工曲面，因此可用被加工曲面上的點(diǎn)(α，β)表示工件坐標(biāo)系下的刀軸矢量(i，j，k)。同時(shí)滿足加工工藝約束和幾何約束的點(diǎn)所形成的區(qū)域就是點(diǎn)集可行域。點(diǎn)集可行域中位于邊界處的點(diǎn)就形成了可行域邊界，如圖1所示[5]。圖1中，與黑色節(jié)點(diǎn)鄰近的白色節(jié)點(diǎn)組成了刀軸矢量可行域的邊界?？尚杏蜻吔绾瓦吔鐑?nèi)所有可行點(diǎn)構(gòu)成了刀軸矢量可行域。

圖1　刀軸矢量點(diǎn)集可行域

傳統(tǒng)的可行域構(gòu)造方法基于計(jì)算視覺中的邊緣檢測(cè)技術(shù)，通過這種檢測(cè)技術(shù)獲得滿足加工工藝約束和幾何約束的約束條件的刀軸矢量。這些刀軸矢量所構(gòu)造的可行域空間和可行域邊界就是圖1中的白色區(qū)域。為了加快可行域邊界的確定，通常將刀軸矢量的構(gòu)造空間進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分，每一個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)刀軸矢量數(shù)據(jù)。這樣我們只需要對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行搜索，即可獲得可行域邊界。對(duì)于復(fù)雜曲面型腔類零件的五軸數(shù)控加工而言，最佳刀具姿態(tài)點(diǎn)通常位于可行域邊界處。這是因?yàn)榭尚杏虻倪吔缡怯杉庸すに嚰s束和幾何約束共同確定的，而可行域邊界上的點(diǎn)是使刀具盡可能地貼合被加工曲面而不違反約束的極限位置。對(duì)于開闊曲面的加工而言，局部最佳刀具姿態(tài)通常是可行域邊界上刀具傾角最小的點(diǎn)。

考慮刀軸矢量序列的光順性和運(yùn)動(dòng)學(xué)性能時(shí)，局部最佳刀具姿態(tài)點(diǎn)就不一定是在可行域邊界上了。為了獲得整體最優(yōu)的刀軸矢量序列，我們?cè)谶x取最佳刀具姿態(tài)點(diǎn)時(shí)將考慮可行域內(nèi)任意的可行點(diǎn)。刀具的矢量域范圍為-90°～90°，本文將刀軸矢量域以每3°為網(wǎng)格的單位距離進(jìn)行網(wǎng)格劃分，以下簡(jiǎn)稱3×3網(wǎng)格。取網(wǎng)格中每一節(jié)點(diǎn)的矢量構(gòu)造刀具實(shí)體，通過干涉檢測(cè)，并依據(jù)檢測(cè)結(jié)果對(duì)所有刀軸矢量進(jìn)行可行域和非可行域的歸類處理。

2刀軸矢量變化量全局最小優(yōu)化模型

工件坐標(biāo)系下，刀觸點(diǎn)軌跡上第i點(diǎn)的刀軸矢量為υi，因?yàn)閨υi|=1，所以把矢量υi的起點(diǎn)平行地移到原點(diǎn)O后，υi的終點(diǎn)就是以O(shè)點(diǎn)為球心的單位球面上的點(diǎn)，我們把這種映射稱為刀軸矢量的高斯球面映射。

如圖2所示，設(shè)第i個(gè)刀觸點(diǎn)處的刀軸矢量為υi，第i+1個(gè)刀觸點(diǎn)處的刀軸矢量為υi+1，那么兩個(gè)相鄰刀觸點(diǎn)之間的刀軸矢量變化量可以用刀軸矢量間的夾角表示：

θ(υi，υi+1)=arccos(υi·υi+1)

(1)

刀觸點(diǎn)序列上整體刀軸矢量變化量之和可表示為

(2)

式中，n為刀觸點(diǎn)總數(shù)。

圖2　刀軸矢量的高斯球面映射

因此，整體刀軸矢量的光順性優(yōu)化模型就可以轉(zhuǎn)化為，以沿刀具進(jìn)給方向刀軸矢量變化量最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型：

(3)

其中，C為可行域中節(jié)點(diǎn)的集合。θmax為相鄰刀軸矢量變化的閾值(根據(jù)進(jìn)給速度和走刀步長(zhǎng)共同計(jì)算獲得)，反映在高斯球面上就是球面上兩點(diǎn)的弧長(zhǎng)，閾值越小，弧長(zhǎng)越短，高斯球面上的離散點(diǎn)的分布就越密集。

3全局最小優(yōu)化模型求解

對(duì)于點(diǎn)集可行域而言，每一個(gè)刀觸點(diǎn)處都有一個(gè)刀軸矢量。相鄰刀軸矢量可行域內(nèi)，任意兩個(gè)刀軸矢量都可以認(rèn)為是相關(guān)的，都是可以存在于一個(gè)刀軸矢量序列內(nèi)的。對(duì)刀軸矢量變化量全局最小優(yōu)化模型(式(3))的求解可以簡(jiǎn)化為求從初始刀軸矢量到刀觸點(diǎn)末端點(diǎn)處所有刀軸矢量的最短路徑，該條路徑上的這組刀軸矢量即為所求的最優(yōu)的刀軸矢量。因此可以采用迪杰斯特拉算法進(jìn)行求解。

前文將刀軸矢量域進(jìn)行3×3的網(wǎng)格劃分，某一刀觸點(diǎn)處的刀軸矢量可行域最多可包含1800個(gè)矢量，而一個(gè)零件的刀具軌跡上往往需要幾萬甚至十幾萬個(gè)刀觸點(diǎn)。由于頂點(diǎn)數(shù)極為巨大，因此，我們不但需要對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行集域的劃分，而且需要在求解的過程中對(duì)原有數(shù)據(jù)算法進(jìn)行改進(jìn)。加工時(shí)，走刀路徑是沒有重復(fù)的，這種情況下刀軸矢量就可以按照加工時(shí)刀觸點(diǎn)的順序建立刀軸矢量的有向圖：假設(shè)每個(gè)可行刀軸矢量都是有向圖中的一個(gè)頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)i都唯一屬于集合C(pi)。兩個(gè)相鄰集合內(nèi)的頂點(diǎn)可以任意相關(guān)聯(lián)，連接兩頂點(diǎn)的連線稱為弧。初始刀軸矢量或前一刀觸點(diǎn)處的刀軸矢量稱為弧頭，后一刀觸點(diǎn)處的刀軸矢量稱為弧尾。將相鄰刀軸矢量的變化量θ(υi，υi+1)設(shè)置為與弧相關(guān)的權(quán)。θ(υi，υi+1)超過相鄰刀觸點(diǎn)處刀軸矢量的最大變化閾值θmax時(shí)，將這條弧設(shè)置為無效并從有向圖中剔除，從而建立帶權(quán)有向圖。建立有向圖后，將初始刀軸矢量與刀觸點(diǎn)軌跡末端點(diǎn)的每一刀軸矢量進(jìn)行連通性檢測(cè)。從初始點(diǎn)沿刀觸點(diǎn)軌跡的進(jìn)給方向向前逐一進(jìn)行搜索，求出每一頂點(diǎn)到初始點(diǎn)的最小權(quán)值并記錄；計(jì)算初始點(diǎn)到第二刀觸點(diǎn)處所有可行刀軸矢量的權(quán)值，并記錄；計(jì)算第三刀觸點(diǎn)處每一刀軸矢量到初始點(diǎn)的最小權(quán)值，記錄該權(quán)值和所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)路徑；依次向前搜索直至軌跡末端。最后，比較末端每一路徑的權(quán)值，找出對(duì)應(yīng)的最短路徑，以提高算法運(yùn)行的效率。

圖3　點(diǎn)集域的刀軸矢量有向圖(υ i為刀軸矢量)

4算例分析

算例1通過ACIS造型引擎建立工件幾何模型，根據(jù)已知刀觸點(diǎn)序列，構(gòu)造直徑為10mm的球頭刀具模型；在每一刀觸點(diǎn)處取該點(diǎn)刀具傾角α(0°≤α≤90°)、刀具擺角β(-90°≤β≤90°)的刀軸矢量變化區(qū)域，并以3×3進(jìn)行網(wǎng)格劃分。根據(jù)檢測(cè)結(jié)果對(duì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的刀軸矢量進(jìn)行可行域劃分，進(jìn)而建立點(diǎn)集刀軸矢量可行域。最后通過第3節(jié)所提算法進(jìn)行全局刀軸矢量計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如圖4所示，通過對(duì)機(jī)床各旋轉(zhuǎn)軸的角度變化進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，我們所求的刀具加工路線的刀軸矢量變化最小，但刀軸矢量變化不均勻，刀軸矢量序列不平滑。

(a)3D仿真效果

(b)旋轉(zhuǎn)軸角度變化曲線 圖4　3×3網(wǎng)格最短路徑刀軸矢量?jī)?yōu)化

(a)3D仿真效果

(b)旋轉(zhuǎn)軸角度值 圖5　網(wǎng)格最短路徑刀軸矢量?jī)?yōu)化

算例2將算例1中3×3網(wǎng)格變?yōu)?×1網(wǎng)格，再進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如圖5所示，對(duì)比圖4我們可以發(fā)現(xiàn)，各旋轉(zhuǎn)軸角度變化明顯均勻，但網(wǎng)格尺寸的減小極大地增加了刀軸矢量計(jì)算的時(shí)間。3×3網(wǎng)格劃分進(jìn)行計(jì)算所需要的計(jì)算時(shí)間為3294.21s。將3×3網(wǎng)格變?yōu)?×1網(wǎng)格再度進(jìn)行計(jì)算，所需要的計(jì)算時(shí)間大大增加，為276 581.67s。

算例3從算例2中我們可以發(fā)現(xiàn)，可行域內(nèi)存在大量對(duì)最終優(yōu)化結(jié)果無實(shí)際影響的刀軸矢量，占用了大量的計(jì)算資源，因此算例3沿用算例2的網(wǎng)格劃分尺寸，只提取出可行域邊界上的刀軸矢量加入有向圖，通過計(jì)算比較每一路徑末端的權(quán)值來確定高斯球面上對(duì)應(yīng)的最短路徑，從而確定出光順性最佳的路徑。如圖6所示，我們可以發(fā)現(xiàn)各旋轉(zhuǎn)軸角度更為均勻，刀具路徑更為光順。另外，本次計(jì)算總耗時(shí)為546s，相對(duì)算例1和算例2的計(jì)算時(shí)間大為縮短。

(a)3D仿真效果

(b)旋轉(zhuǎn)軸角度值 圖6　可行域邊界點(diǎn)集的最短路徑刀軸矢量?jī)?yōu)化

5結(jié)語

基于空間構(gòu)造法對(duì)刀具加工軌跡進(jìn)行優(yōu)化，在一定程度上解決了刀軸矢量不連續(xù)、不光順的問題，同時(shí)得到了滿足機(jī)床運(yùn)動(dòng)要求的刀具軌跡。對(duì)于最佳刀軸矢量位于可行域邊界上的實(shí)例，本文算法可快速計(jì)算出刀軸矢量序列。

本方法仍存在一定的不足：刀軸矢量?jī)?yōu)化方法雖然能獲得全局刀軸矢量變化量最小的刀軸矢量序列，但精度受網(wǎng)格尺寸的影響較大，網(wǎng)格劃分越細(xì)，精度越高。

參考文獻(xiàn)：

[1]盛耀元，鄭剛，朱利民．UG二次開發(fā)在三階切觸加工刀位規(guī)劃中的應(yīng)用[J]．組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2011，7(7)：12-15.

ShengYaoyuan，ZhengGang，ZhuLimin.UGSecondaryDevelopmentofToolPositioningforFive-axisMachiningUsingThird-orderPointContactApproach[J].ModularMachineTool&AutomaticManufacturingTechnique，2011，7(7)：12-15.

[2]LeeYuanShin，ChangTienChien. 2-PhaseApproachtoGlobalToolInterferenceAvoidancein5-axisMachining[J].Computer-AidedDesign，1995，27(10)：715-729.

[3]LeeLL，ZhangYF.CutterSelectionfor5-axisMillingofSculpturedSurfacesBasedonAccessibilityAnalysis[J].InternationalJournalofProductionResearch，2006，44(16)：3303-3323.

[4]BiQZ，WangYH，DingH.AGPU-basedAlgorithmforGeneratingCollision-freeandOrientation-smoothFive-axisFinishingToolPathsofaBall-endCutter[J].InternationalJournalofProductionResearch，2010，48(4)：1105-1124.

[5]HoMC，HwangYR，HuCH.Five-axisToolOrientationSmoothingUsingQuaternionInterpolationAlgorithm[J].InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2003，43(12)：1259-1267.

[6]BeudaertX，PechardPY，TournierC. 5-AxisToolPathSmoothingBasedonDriveConstraints[J].InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2011，51(12)：958-965.

[7]畢慶貞，王宇晗，朱利民，等. 刀觸點(diǎn)網(wǎng)格上整體光順五軸數(shù)控加工刀軸方向的模型與算法[J]. 中國(guó)科學(xué)：技術(shù)科學(xué)，2010，40(10)：1159-1168.

BiQingzhen，WangYuhan，ZhuLimin，etal.WhollySmoothingCutterOrientationsforFive-axisNCMachiningBasedonCutterContactPointMesh[J].ScienceChina：TechnologyScience，2010，40(10)：1159-1168.

[8]Lozano-PerezT.SpatialPlanning:aConfigurationSpaceApproach[J].IEEETransactionsonComputers，1983，32(2)：108-119

[9]JunCS，ChaK，LeeYS.OptimizingToolOrientationsfor5-axisMachiningbyConfiguration-spaceSearchMethod[J].Computer-AidedDesign，2003，35(6)：549-566.

(編輯張洋)