劉光星 翟坤 陶宇龍，2 李安樂 邵小華

(1.西安石油大學(xué)陜西省鉆機(jī)控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710065;2.陜西省煤層氣開發(fā)利用有限公司澄合天宇勘探建井工程有限責(zé)任公司，陜西 澄城 715200;3.陜西煤業(yè)化工集團(tuán)澄合合陽煤炭開發(fā)有限公司，陜西 合陽 715300;4.大慶鉆探集團(tuán)鉆井一公司，黑龍江 大慶 163700)

卡鉆是指鉆具既不能轉(zhuǎn)動(dòng)也不能上下活動(dòng)，是鉆井過程中常見的井下事故。當(dāng)卡鉆事故發(fā)生時(shí)，需要耗費(fèi)大量的人力、物力和時(shí)間來處理和排除卡鉆［1-4］，處理不好甚至?xí)?dǎo)致全井報(bào)廢。如果在鉆進(jìn)過程中能夠?qū)σl(fā)卡鉆的井下復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)警，就可以及時(shí)采取措施，預(yù)防卡鉆事故的發(fā)生。

在鉆井過程中，鉆井參數(shù)的變化與井下復(fù)雜情況的產(chǎn)生密切相關(guān)，因此可以通過分析鉆井參數(shù)的變化異常來預(yù)測(cè)卡鉆的發(fā)生。而時(shí)間序列分析法就是對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，提取其中特征信息的方法，因此利用時(shí)間序列分析法可以更有效地預(yù)測(cè)卡鉆事故的出現(xiàn)。

1 單因素時(shí)間序列

時(shí)間序列是指按時(shí)間順序排列的一組數(shù)據(jù)，從廣義上講是指一組有序的隨機(jī)數(shù)據(jù)。單因素時(shí)間序列［5］分析法作為其他時(shí)序分析的前提和基礎(chǔ)被廣泛應(yīng)用，其主要有3種時(shí)序模型，分別為:AR、MA和ARMA模型。ARMA模型是研究單因素時(shí)間序列的重要方法，由自回歸模型(AR模型)與滑動(dòng)平均模型(MA模型)為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成，基本形式如下:

式中:φ1，φ2，…，φp— 自回歸系數(shù);θ1，θ2，…，θq—移動(dòng)平均系數(shù);p—自回歸模型階數(shù);q— 移動(dòng)平均模型階數(shù);εt— 均值為0，方差為σ2的白噪聲序列。

模型(1)與模型(2)的組合形式，則為ARMA模型，記作 ARMA(p，q)，當(dāng) p=0 時(shí)，ARMA(0，q)=MA(q);當(dāng) q=0時(shí)，ARMA(p，0)=AR(p)。

2 建模與預(yù)測(cè)

在運(yùn)用單因素時(shí)間序列分析法建立ARMA模型預(yù)測(cè)卡鉆時(shí)，要求鉆井?dāng)?shù)據(jù)樣本序列必須是平穩(wěn)的，如果所給的序列是非平穩(wěn)序列，則必須對(duì)所給序列做預(yù)處理，使其平穩(wěn)化，然后建立ARMA模型。在此，我們對(duì)青海地區(qū)某地?zé)峥碧骄南嚓P(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，選取與卡鉆事故密切相關(guān)的5種數(shù)據(jù)，如:大鉤負(fù)荷、鉆壓、轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)盤扭矩和泵壓，作為預(yù)測(cè)模型的數(shù)據(jù)序列，進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)，直觀的闡述建模［1］的方法和步驟。在此，以大鉤負(fù)荷為例，建立其預(yù)測(cè)模型。表1為青海地區(qū)探熱井實(shí)際鉆井的部分樣本數(shù)據(jù)。

表1 實(shí)際鉆井的部分樣本數(shù)據(jù)

2.1 序列的預(yù)處理及平穩(wěn)性判斷

圖1為大鉤負(fù)荷的時(shí)序圖。表2為其自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)表，Autocorrrelation為自相關(guān)系數(shù)圖，Partial Correlation為偏自相關(guān)系數(shù)圖，AC為自相關(guān)系數(shù)，PAC為偏自相關(guān)系數(shù)，Q-Stat為Q統(tǒng)計(jì)量，Prob為拒絕原假設(shè)概率P值。由大鉤負(fù)荷時(shí)序圖、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)表可以明顯判斷出序列是平穩(wěn)的，最后一列白噪聲檢驗(yàn)的Q統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)的伴隨概率P值表明序列存在相關(guān)性，序列為平穩(wěn)非白噪聲序列，可以對(duì)序列進(jìn)行建模，且自相關(guān)系數(shù)圖出現(xiàn)典型的拖尾特性，偏自相關(guān)系數(shù)圖出現(xiàn)典型的截尾特性。

圖1 大鉤負(fù)荷的時(shí)序圖

時(shí)序圖和自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)表判斷序列是平穩(wěn)的，ADF序列平穩(wěn)性單位根檢驗(yàn)結(jié)果(表3)進(jìn)一步證實(shí)了這個(gè)結(jié)論，表3中:t-Statistic為t統(tǒng)計(jì)值;Prob為拒絕原假設(shè)概率P值;Augmented Dickey-Fuller test statistic為ADF統(tǒng)計(jì)量;Test critical values為檢驗(yàn)的臨界值;1%、5%、10%指的是顯著水平。若ADF檢驗(yàn)值(t值)大于某顯著水平值(一般是5%)，則不通過檢驗(yàn)，即存在單位根(序列不平穩(wěn))，此時(shí)，可通過一階差分進(jìn)一步檢驗(yàn)單位根是否平穩(wěn)。在表3中ADF檢驗(yàn)值為-5.903 445，在1%、5%和10%這3個(gè)顯著性水平下，單位根檢驗(yàn)的臨界值分別為 -3.505 595、-2.894 332 和-2.584 325，顯然，ADF檢驗(yàn)值小于其他臨界值，則序列不存在明顯的趨勢(shì)，表明拒絕存在一個(gè)單位根的原假設(shè)，序列平穩(wěn)。

表2 大鉤負(fù)荷的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)表

表3 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

2.2 模型識(shí)別

由表2可以看出，偏自相關(guān)系數(shù)在k=2后很快趨于0即2階截尾，嘗試擬合AR(2);自相關(guān)系數(shù)在k=1，2處顯著不為0，當(dāng)k=3時(shí)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，可以考慮擬合 MA(1)、MA(2)或MA(3);同時(shí)可以考慮ARMA(2，1)模型等。

2.3 模型參數(shù)估計(jì)

在參數(shù)估計(jì)時(shí)，對(duì)原序列做描述統(tǒng)計(jì)分析，序列均值非零，通常對(duì)平穩(wěn)序列做建模分析，需要在原序列基礎(chǔ)上生成一個(gè)新的零均值序列，也就是用原序列的每個(gè)參數(shù)減去其均值所生成的一個(gè)新的平穩(wěn)非白噪聲序列，相當(dāng)于在原序列基礎(chǔ)上做了整體平移，統(tǒng)計(jì)特性不會(huì)發(fā)生根本改變。在以下建模結(jié)果中會(huì)出現(xiàn)部分英文參數(shù)，其中文解釋見表4。

分別嘗試AR、MA及 ARMA建模，AR(1)、MA(2)模型高度顯著，AR(2)、MA(3)模型不顯著，通過最優(yōu)模型比較選取，逐步剔除不顯著的滯后項(xiàng)或移動(dòng)平均項(xiàng)，最終發(fā)現(xiàn)適合擬合ARMA(1，2)模型，建模結(jié)果見表5，即大鉤負(fù)荷的自回歸滑動(dòng)平均模型為:

表4 建模結(jié)果參數(shù)信息

表5 ARMA(1，2)模型結(jié)果

2.4 模型檢驗(yàn)

參數(shù)估計(jì)后，應(yīng)對(duì)擬合模型的適應(yīng)性進(jìn)行檢驗(yàn)，實(shí)質(zhì)是對(duì)模型殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。若殘差序列不是白噪聲，說明還有一些重要信息沒被提取，應(yīng)重新設(shè)定模型。表6為ARMA(1，2)模型殘差相關(guān)系數(shù)表。

表6 ARMA(1，2)模型殘差相關(guān)系數(shù)表

可以看出殘差序列不存在序列相關(guān)，且各階滯后期的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)值都接近于零，所有的Q統(tǒng)計(jì)量均不顯著，因此可以判斷殘差為白噪聲，說明擬合模型有效，則可以確定大鉤負(fù)荷的ARMA模型擬合成功。

2.5 未來數(shù)值預(yù)測(cè)

由于原序列是實(shí)際參數(shù)值，所以這里使用靜態(tài)預(yù)測(cè)來得到第一個(gè)預(yù)測(cè)值;對(duì)于動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，除了第一個(gè)預(yù)測(cè)值是用原序列的實(shí)際值預(yù)測(cè)外，其后的各預(yù)測(cè)值都是采用遞推預(yù)測(cè)得到。用同樣的方法可以得到:

鉆壓的ARMA模型:

轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速的ARMA模型:

轉(zhuǎn)盤扭矩的ARMA模型:

泵壓的ARMA模型:

3 ARMA功率譜估計(jì)

ARMA功率譜估計(jì)是時(shí)間序列的一種頻域特性，對(duì)于給定的時(shí)間序列 X1，X2，…，Xt，為了近似未知的基本過程，其AR(p)模型對(duì)應(yīng)的功率譜理論表達(dá)式為:

ARMA(p，q)模型對(duì)應(yīng)的功率譜理論表達(dá)式為:

4 卡鉆預(yù)測(cè)

4.1 預(yù)測(cè)原理

針對(duì)青海地區(qū)地?zé)峥碧骄南嚓P(guān)數(shù)據(jù)，來對(duì)此方法進(jìn)行研究和分析，其中采用的ARMA模型是動(dòng)態(tài)的，其模型中的相關(guān)參數(shù)是隨著預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的更新而不斷變化的，這樣功率譜也隨著更新而出現(xiàn)差異，從而用于判斷和預(yù)測(cè)卡鉆。

以上模型的建立，其各ARMA模型的功率譜最大疊加偏差值是預(yù)測(cè)卡鉆的依據(jù)，即疊加偏差值波動(dòng)幅度越大，則可能引起卡鉆的幾率越高。首先，對(duì)當(dāng)前ARMA模型做功率譜估計(jì);然后，通過當(dāng)前ARMA模型推斷下一預(yù)測(cè)值，生成新的ARMA模型，且求出新模型的功率譜，判斷出前后模型功率譜最大值的偏差;最后，對(duì)5個(gè)特征參數(shù)的ARMA功率譜估計(jì)最大偏差值進(jìn)行疊加，則為最終進(jìn)行卡鉆預(yù)測(cè)的疊加偏差值。當(dāng)功率譜疊加偏差值明顯出現(xiàn)異常時(shí)，則這一時(shí)刻就很有可能出現(xiàn)卡鉆。

4.2 預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)

通過Eviews軟件進(jìn)行編程，運(yùn)用實(shí)際鉆井參數(shù)建立的ARMA模型預(yù)測(cè)下一未來值，從而生成新的ARMA模型。然后，通過Matlab軟件對(duì)各個(gè)模型進(jìn)行功率譜估計(jì)，比較前后不同模型功率譜［6-8］的偏差值。同樣以大鉤負(fù)荷的ARMA模型為例，做35次預(yù)測(cè)，其功率譜輸出見圖2。

對(duì)其他4種鉆井參數(shù)進(jìn)行ARMA模型功率譜估計(jì)，且對(duì)功率譜數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，綜合比較5種樣本的功率譜密度，得到綜合功率譜的疊加值及功率譜疊加偏差值(圖3、圖4)。

圖2 大鉤負(fù)荷ARMA(1，2)模型35次功率譜輸出

圖3 5種樣本參數(shù)ARMA模型功率譜疊加值

圖4 5種樣本參數(shù)ARMA綜合功率譜疊加偏差值

鉆進(jìn)在1 828 m時(shí)，5種樣本數(shù)據(jù)所生成的ARMA模型的功率譜疊加值和功率譜疊加偏差值波動(dòng)幅度明顯，與其他平穩(wěn)鉆進(jìn)進(jìn)尺相比有大幅度差異，則判定下一鉆進(jìn)深度有較大可能發(fā)生卡鉆，而在實(shí)際鉆進(jìn)中，當(dāng)鉆至1 834 m時(shí)發(fā)生卡鉆，在此，可以說明單因素時(shí)間序列建模方法可以達(dá)到預(yù)測(cè)卡鉆的效果，且在預(yù)測(cè)中可以提前預(yù)報(bào)，更具有較強(qiáng)的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)功能，可為鉆井技術(shù)人員提供較長(zhǎng)的提前預(yù)防鉆井事故的處理時(shí)間，為鉆井工程縮短周期、減少資源浪費(fèi)給予較好的輔助。

5 結(jié)語

國(guó)內(nèi)現(xiàn)有的專家系統(tǒng)、多元統(tǒng)計(jì)分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析等方法在卡鉆預(yù)測(cè)上都取得了一定的成績(jī)［9］，但與單因素時(shí)間序列方法在卡鉆預(yù)測(cè)上的應(yīng)用相比較，后者其良好的預(yù)測(cè)功能，及其提前預(yù)報(bào)和實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)功能都要優(yōu)于其他現(xiàn)有的方法，且其對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的依賴性較其他方法而言相對(duì)較低，該方法在青海地區(qū)探熱井?dāng)?shù)據(jù)的模擬中，得到的結(jié)果與實(shí)際較吻合，因此，將單因素時(shí)間序列分析方法運(yùn)用到鉆井卡鉆預(yù)測(cè)中是有必要的，其可信度較高。

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